高等数学（上册）课件：第四章 第1节 定积分的概念与性质

1一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、定积分的几何意义五、定积分的性质六、小结2abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、问题的提出3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）4观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．5求曲边梯形面积的步骤：6实例2

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．71、分割3、求和4、取极限8上述两个问题的共性:1、解决问题的方法步骤相同9二、定积分的定义定义把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点作乘积记10被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和11说明12定理1定理2（4）存在定理两个实例均可以用定积分来表示13曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义abxyoyxoab1415例1

利用定义计算定积分解1617对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．四、定积分的性质18（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2性质319推广：不论的相对位置如何,下式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则20性质4性质521性质5的推论：证（1）22证说明

可积性是显然的.性质5的推论：（2）23证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6在区间上的

24解令于是25解26证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式则在积分区

27使即积分中值公式的几何解释28六、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限29（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．3．定积分的性质

3031观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．32观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．33观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．34观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．35观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．36观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．37观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．38观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．39观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．40观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．41观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．42观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．43观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．44观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯