沈阳外国语学校2023学年高三下第一次测试数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在原点附近的部分图象大概是（）A． B．C． D．2．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B．64 C． D．324．已知复数，则（）A． B． C． D．5．已知函数，若所有点，所构成的平面区域面积为，则（）A． B． C．1 D．6．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、7．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．9．已知复数，为的共轭复数，则（）A． B． C． D．10．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为()A． B．40 C．16 D．12．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）A． B． C．1 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个．14．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.15．记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是.16．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，证明：∥平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18．（12分）一张边长为的正方形薄铝板（图甲），点，分别在，上，且（单位：）.现将该薄铝板沿裁开，再将沿折叠，沿折叠，使，重合，且重合于点，制作成一个无盖的三棱锥形容器（图乙），记该容器的容积为（单位：），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖，求，的值；（2）试确定的值，使得无盖三棱锥容器的容积最大.19．（12分）已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.20．（12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.21．（12分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N分别为、的中点.​（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.22．（10分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【题目详解】令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，，则函数为奇函数，排除C、D选项；当时，，，则，排除B选项.故选：A.【答案点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2、B【答案解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【题目详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【答案点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.3、A【答案解析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【题目详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，故.故选：A【答案点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.4、B【答案解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【题目详解】，故.故选：B【答案点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.5、D【答案解析】

依题意，可得，在上单调递增，于是可得在上的值域为，继而可得，解之即可.【题目详解】解：，因为，，所以，在上单调递增，则在上的值域为，因为所有点所构成的平面区域面积为，所以，解得，故选：D.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到是关键，考查运算能力，属于中档题．6、A【答案解析】

设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，得到，进而变形即可求解.【题目详解】由题意，设，则，又由，所以，即函数在R上单调递增，则，即，变形可得.故选：A.【答案点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.7、B【答案解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解.【题目详解】，，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B【答案点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.8、C【答案解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【题目详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【答案点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.9、C【答案解析】

求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【题目详解】.故选：C【答案点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.10、D【答案解析】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.11、D【答案解析】

如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.【题目详解】如图所示：过分别作于，于.，则，根据得到：，即，根据得到：，即，解得，，故.故选：.【答案点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.12、D【答案解析】

根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.【题目详解】因为复数z满足，所以，所以z的虚部为.故选：D.【答案点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

根据数据先求出，再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【题目详解】解：，.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为：.【答案点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.14、【答案解析】

先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.【题目详解】解：若取最小值，则异号，，根据题意得：，又由，即有，则，即的最小值为，故答案为：【答案点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.15、【答案解析】试题分析：显然，又，①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而综上所述，的取值范围是．考点：不等式、简单线性规划.16、1【答案解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。【题目详解】由，得，作出可行域，如图所示：平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。由，解得，代入直线，得。【答案点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).【答案解析】试题分析：(Ⅰ)连接，由比例可得∥，进而得线面平行；（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.试题解析：（Ⅰ）证明：连接，梯形，,易知：；又，则∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）侧面是梯形，，,,则为二面角的平面角，；均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则,故点，；设平面的法向量为，则有：；设平面的法向量为，则有：；，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.18、（1），；（2）当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大.【答案解析】

（1）由已知求得，求得三角形的面积，再由已知得到平面，代入三棱锥体积公式求的值；（2）由题意知，在等腰三角形中，，则，，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．【题目详解】解：（1）由题意，为等腰直角三角形，又，，恰好是该零件的盖，，则，由图甲知，，，则在图乙中，，，，又，平面，平面，；（2）由题意知，在等腰三角形中，，则，，．令，，，．可得：当时，，当，时，，当时，有最大值．由（1）知，平面，该三棱锥容积的最大值为，且．当时，取得最大值，无盖三棱锥容器的容积最大．答：当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大．【答案点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【答案解析】

（1）利用均值不等式即可求证；（2）利用，结合，即可证明.【题目详解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【答案点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.20、（1）；（2）存在，【答案解析】

（1）把点代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点的坐标，再由，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点．【题目详解】（1）由题可得∴，所以椭圆的方程（2）由题知，设，直线的斜率存在设为，则与椭圆联立得，，∴，，∴若以为直径的圆经过点，则，∴，化简得，∴，解得或因为与不重合，所以舍.所以直线的方程为.【答案点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【答案解析】

（1）取中点，连接，，证明平面，由线面垂直的性质可得；（2）由，即可求得三棱锥的体积．【题目详解】解：（1）证明：取中点D，连接，.因为，，所以且，因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因为平面，平面，所