微分几何习题解答(曲线论)

第一章曲线论§2向量函数向量函数(t)具有固定方向的充要条件是t) ×'t)= 。(t)一般可以写成(t)(t)t)t)为单位向量函数，t)为(t)具有固定方向的充要条件是t)t)（因为t)的长度固定）。证对于向量函数(t)，设t)为其单位向量，则(t)t)t)，若(t)具有固定方向，则t)为常向量，那么't)='t) ，所以×'='（×）=。反之，若×'=

对(t)=(t)t) 求微商得'= ' +

于是）=则有=0或×'=

当(t)=0(t)

0×'=，而（×')2=2'2-(·')2＝'2，量。所以，r(t)具有固定方向。

·'=0）所以'，即为常向向量函数平行于固定平面的充要条件是（r'）=0。分析：向量函数(t)(t)，使(t)·以我们要寻求这个向量及'，''的关系。

=0，所证若(t)平行于一固定平面π，设是平面π的一个单位法向量，则为常向量，且(t)·=0。'·即（r'）=0

=0，''·

=0，即向量r'''垂直于同一非零向量，因而共面，（r'''=0，则有×'=

若×'=由上题知(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若

，则存在数量函数t)、t)，使''= r+' ①令r'

(t)(t)''''（r'），于是'

有固定方向，而(t)，(t)平行于固定平面。§3曲线的概念求圆柱螺线x=cost，y=sint，z =t在（1,0,0）的切线和法平面。解令cost=1,sint=0,t=0得t=0,(0)={-sint,cost,1}|t0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为x1yz ，法平面为y+z=0。0 1 1求三次曲线{at,bt2,ct3}在点t 的切线和法平面。0解r'(t

){a,2bt

2

xat0

ybt 0

zct3 0，0 0

a 0

3ct20法平面为a(xat

)2bt(ybt2)3ct2(zct3)0。0 0 0 0 0k证明圆柱螺线r={ acos,asin,b}()的切线和z轴作固定角。k证明a2a2b2

{-a

sin

,acos,

},设切线与z轴夹角为,则cos

= b||||为常数，故为定角（其中kz）。，求悬链线r

a

t}（-t）t=0aa解= {1，

t}，|| a

aya

= cosht1sinh1sinh2t

， ｓ＝t0

tdtasinht 。a ax

3a2y,2xza2在平面 3 与y=9a之间的弧长。解 曲线的向量表示为

{x,

x3 ,a2

ya

y9ax=a与x=3a,

x2,

＝a2}

2x ，r'

3x2a2

所求弧长为＝ ，｜ ｜＝a2 2x2

＝ ，1x4a4 1x4a4 4x4a4s3a(x2a2)dx9a 。a a2 2x2将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。解={-asint,acost,b}，s

t| a2b2t，所以t s ，a2a2b2a2ba2b2

s ,asin s , bs }a2b2a2b2求用极坐标方程a2b2a2b22)'2)解 由x()cos，y()sin知={')cos-()sin，'2)'2)||=

22)'2)

到s=0 0

d 。§4空间曲线x=acosty=asintzbt在任意点的密切平面的方程。解'={-asint,acost,b''={-acost,-asint,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为xacosasintacost

yasinacostasint

zb0

=0，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0.求曲线r ={tsint,tcost,tet }在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线副法线。解原点对应t=0,(0)={ sint+tcost,cost-tsint,et+tet} ={0,1,1}，t0'(0){2cost+tcost,cost-tsint,2et+tet} ={2,0,2}，t0所以切线方程是xy

，法面方程是y+z=0；0 1 1x y z密切平面方程是0 1 1=0，即x+y-z=0，2 0 2xyz主法线的方程是

x

yz ； yz0

2 1 1从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式xy z 。1 1 1x=acosty=asintzbtz证'={asint,acost,b}, ''={-acost,-asint,0}，由'⊥''知''为主法线的方向向量，而''

k0所以主法线与z轴垂直；主法线方程是与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。x=coscost,y=sint,z=组成的新曲线的密切平面。解'={-cossint,coscost,sin }, ''={-coscost,-cossint,0}

'|'|

{sinsint,-sincost,cos }新曲线的方程为r={coscost+sinsint，cossint-sincost，tsin +cos }对于新曲线={-cossint+sincost，coscost+sinsint，sinsin''={-cos(-t),sin(-t),0},其密切平面的方程是

}={sin(-t),cos(-t),即sin sin(t-)x–sin cos(t-)y+z–tsin –cos =05．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证 方法一： 设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径具有固定长，所以r·=0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。 r·'=0(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：rr(tr0

（是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的半径）使(rr0

)2R22(rr0

r0 ，即(rr0

)r0 （﹡）rr(t(rr0（﹡）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证明过原点平行于圆柱螺线

={acostasintbta2(x2y2)bz2.证'={asint,acost,}, ''={-acost,-asint,0}，'×''=bsint,bcost,}为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是 x

y z

，消去参数t得a2(x2y2bz2。求以下曲面的曲率和挠率⑴cosht,asinht,at},⑵a(3tt3),3at2a(3tt3)}(a0。

bsint bcost a解 ⑴sinht,acosht,，'cosht,asinht,0} ，''t,cosht,0} ，sinhtcosht,1}，所以k|||'|3

2a2cosh

1( 2acosht)( 2acosht)3,','') a2

1 。')

2a

cosh2t 2acosh2t⑵t2,2t,1t2}，'t},''，

''

=18a2

1,2t,t

k|'|

18a2 2(t2 127a22 2(t21)3， ,'27a22 2(t21)3，

|r'|3 186a32 1 。

3a(t

2')

182a42(t22 3a(t22{cos3t,sin3t,cost},,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。cos2tsint,3sin2tcost,2sin2tsintcoscost,3sint,4，dst5sintcost,（sintcost>0），则

3cost3 t,4}，dt

, ,

dt 1 3 3

|5 5 5 { sint, cost,0} ， {sint,cost,0}，dtds 5sintcost 5 5 ||

4 4 3}{ cost, sint, ，}5 5 5⑵ k| 3

，

4 sint,cost,}

与方向相反，所以|

25sintcost 25sintcost425sintcost⑶显然以上所得,k,,满足

,

，而

1 {cost,sint,}5sintcost

也满足伏雷内公式。证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。r＝，则曲线在任意点的切线方程t，由条件切线都过坐标原点，所以t，可见r，所以r具有固定方向，故r＝是直线。r＝，则曲线在任意点的切线方程是(t)'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以t)'t)，于是'＝''，'×''＝，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。r0

r＝r(s，r(s(s，由条件切线都过定点r0

，所以r0

r(s)(s，两端求导得:(s)(s),即((s)0 ，而(s),(s)无关，所以10可知0,(s)0，因此曲线是直线。证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。r＝，则曲线在任意点的密切平面的方程是(

t))('t)''t))0，由条件(t)('(t)''(t))0，即（r'''）=，所以r平行于一固定平面 ，即r＝是平面曲线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝，则曲线在任意点的密切平面(

0，由条件0，两边微分并用伏雷内公式得 0。若0,又由0可知

(s),所以r＝(s)r＝(s)表示直r线,结论成立。否则0，从而知曲线是平面曲线。rr＝，则曲线在任意点的密切平面方程是(

t))('t)''t))0(t)('t)''t))0（r'''=r，'，''r'，则r＝(t)r''rr'r'''rr''r',r'',r'''共面，所以0，从而知曲线是平面曲线。证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。所以·又因e0e而0k=||=0所以·又因e0e而两边微分得

·=０，

k=０,

=０，

∥， e即·可知e即·

为常向量，于是||

|0，即0，此曲线为平面曲线。r＝(t)'·＝０两边微分得''·＝０'''·＝０'，''，'''共面，所以（''''''）＝０0，故曲线为平面曲线。当'×''＝

时是直线。r＝·（p是常数rep是平面的方程，说明曲线r＝有固定方向时为直线。证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明设曲线（C）：r＝)的曲率k其曲率中心的轨迹（C）的方程为：(s)

1，（k

为曲线（C）的主法向量），对于曲线（C）两边微分得'(s)1() ，，分别为曲线C）的单位切向量，副法向量和挠率），|||3k2||3k3 ''

2

，|'||，''3

，曲线（C）

|'''|

k 为常k k k k2

k |'3数。x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2证'={3+4t,-２+10t,-2t}，''={4，10，'''＝｛０，0，0｝,','')曲线的挠率是 0，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平(r'')2面。对于ｔ=０,r =｛１,２,１｝，'={3,-２,０}，''={4，10，-２}，'''＝｛０，0，0｝。所以曲x1 y2 z1线的密切平面，即曲线所在平面是34

2 010 2

0 2x+3y+19z–27＝０．Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证设曲线Γr=(s)与(s)s与s(s)(s),两端对s求微商得s,即(s)k(s)s 这里k 0若k=||=则无定义所以ds ds，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。Γ、它们在对应点的切线作固定角。证设

,

Γ

Γ(s)(s)

d)

ds

＝

k(s)ds

将①式代ds ds ds入

dsds

0所以

＝常数，故量曲线的切线作固定角。若曲线Γ的主法线是曲线的副法线,Γ,k=0

(2+2),其中0

为常数。证设Γ的向量表示为r=(s)则=(s)+(s)(s)'=（－k+与'·＝'＝（１－k

。0 0 0''＝－0

k＋（１－0

k）k＋0

－0

，''·＝（１－0

k）k－0

2＝k=0

2+2)。曲线r={a(t-sint),a(1-cost),4acost}在那点的曲率半径最大。2}解r'=a{1-cost,sint,-2sint}2

''=a{sint,cost,-cost},2},

|

2|2

t|,2'×''=a22sin

t,2sin2tcost,4acos }2a2sin2t{sint,cost,t 22t2 2 2 2 2 2 2t 22t|

''

|=2a2sin2

, k

|'||3

1 ,R8a|t

t|,t=(2k+1)为整数处曲2率半径最大。

r| 8a|sin2已知曲线(C)C3:上一点)的邻近一点s)，求s)点到)0 0 0 0点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点的曲率、挠率分别为,）。0 0 0解 0

s)－r(s0

)＝(s0

)s

12

)s

1

)s

＝0

s

12 0

s3＋1(k2 k

)s3，设

，其中lim0 。则

s)－6 0 0 0 0r(s)0

0 0 0

1 0 2 0 3 0

s0 0＝[s

(216 0 1

)s3

[10 2

s

1)s36 0 2

[1 )s30 6 0 0 3 0上式中的三个系数的绝对值分别是点s)到)的法平面从切平面密切平面的距离。0 0§5一般螺线证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.证法一:当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量的挠率的绝对值等于||为零，所以曲线为平面曲线。

是常向量.即

=

。曲线证法二：设是固定直线一向量，则'·=0，积分得r·=p ,说明曲线在以为法向量的一个平面上,因而为平面直线。证法三：设是固定直线一向量，则'·=0，再微分得''·=0，'''·=0。所以'、''、'''三向量共面，于是（''''''）=0，由挠率的计算公式知=0，因此曲线为平面曲线。7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证设一曲线为Γ：r＝，则另一曲线的表达式为：(s)，为曲线Γs在对应点的副法线的方向向量。'＝＋－与正交，即'·＝０，于是＝０，为常数。'＝－ ，''＝k－－（－k＋

）也与正交，即''·＝-2=0,而 ０,所以有

＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线为平面曲线。Γr＝(s)为一般螺线,、为Γ的切向量和主法向量，R为Γ的曲率半径。证明=R也是一般螺线。证因为Γ为一般螺线,使与成固定角,其切向量'=

R

与共线,因此也与非零常向量成固定角,所以也为一般螺线。证明曲线r＝(s)为一般螺线的充要条件为(,,)0证，2

,...

(

2(,,..)3(2)33