(5)自动控制原理-考研复习必备

第五章控制系统的频率响应分析［教学目的］:掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist图和Bode的 绘制方法，根据系统的Nyquist图和Bode图分析系统的性质。本章的难点是Nyquist稳定性分析。［主要内容］:一.频率特性的性质二.典型环节的Nyquist三.Bode图方法典型环节的Bode图Bode图的作图方法最小相位系统和非最小相位系统四.Nyquist稳定性分析sF(s)平面的映射Nyquist稳定性判据五.Bode图与Nyquist六.系统稳态性能分析七.系统相对稳定性分析八.二阶系统动态响应指标与频率特性的关系§5-1频率特性的基本概念一、 正弦输入信号的稳态输二、 频率特性的定义1. 频率响应，2.频率特三、 频率特性的表示法(一)解析式表示1.幅频一相频形式:G(j3)H(j3)=IG(j3)H(j3)IZG(j3)H(j3)2.指数形式：6。3)!5(］3)=人(3)应"')3.三角函数形式:G(j3)H(j3)=A(3)cos(3)+jA(w)sin4>(w)4.实频一虚频形式:G(j3)H(j3)=X(3)+jY(3)(二)常用的图解形式极坐标图 Nyquist图G(j3)H(j3)=IG(j3)H(j3)l匕G(j3)H(j3)=A(3)匕小(3)3=0—8,A(3)6(3)3而变，以A(3)(3)s平面上形成的轨迹，称Nyquist曲线-—Bode图对数幅频特性L(①)=Lm|G(j①)H(j3)|=201gG(w)H(w)(db)(3)=匕G(j3)H(j3)(rad)横坐标是①的对数分度，纵坐标是L(3)和小(3)的线性分度§5-2极坐标图一、典型环节的极坐标图重点讨论振荡环节G(s)=T-s-+2^Ts+\

s'+2<^cons+con2A(3)=,

一=,由(3)=-arctg2T,7(1-®2T2)2+(2^T2 1-mT-、开环控制系统的极坐标图一般系统的绘图方法将开环传递函数按典型环节分解敬平+1)...("+1)G(s)H(s)=

sS+l)・・・(7>+l)G(s)1/s'k外的其他典型环节确定幅相曲线的起点和终点(1) 低频段(3—0*)lim----------f八*7G(jO*)H(j(r)F*(用产=t3Z_9O。.>0C2)高频段(3-8)G(j3)H(j3)=

vV顷顶时"+晶(加)"1+•••+々“仃口)"+a心初)I+•••+%,G(j3)H(j3)2

b°W(j时

b0n=m-<0Z-90°(n-m) n>m确定幅相曲线与实轴和虚轴的交点确定与实轴交点令Im[G(j3)H(j3)]=0或匕G(j3)H(j3)=(2k+l)Ji,k=0,±l,±2,…3代入Re[G(j3)H(jW)]中即可确定与虚轴交点令Re[G(j3)H(j3)]=02k+1或匕G(j3)H(j3)=—Ji,k=0,±l,±2,…3代入Im[G(jco)H(j(0)]中即可A(GJ)(3),即可得Nyquist图的大致形状§5-3对数频率特性一、Bode图及其特点Bode图的构成对数幅频L(①)=Lm|G(j①)H(j3)|=201gG(w)H(w)对数相频小(3)=匕G(j3)H(j3)半对数坐标纸2Bode2Bode图的优点-*、典型环节的对数坐标图比例环节（K）1L（3）=201gK积分环节（』）S（db）,由(3)=0.巾（3）=3.L(co)=201gl—1=-201g3,j刃微分环节(s)L(3)=201glj31=201g①，一阶滞后环节(惯性环节)(^—)z—=-90°巾(3)=zjCJ=90°4.L(3)=201gl1—l=-201gJ1刃2丁2=-101g(l+T2)jo)T+16(3)=-arctgwT讨论：对数幅频特性1)低频段«T«1,L(co)-101g(l+T)^0db2)高频段wT»l,L(co)-101g(l+(T2)^-201gwTdb3)交接频率处3T=1,3令-201goT=0,3=}L(w)=-101g(l+(2T)^-101g2=-3.01db渐近曲线与精确特性间有误差须修正。(3)相角曲线模板(Ts+1)L(3)=201gJl+妒史=101g(l+(2T),(3)=arctgsT二阶振荡环节（L(3)=201g| |=-201gJ(lw32)2+(2^T)2T(肿)+2宾()+1由(3)=-arctg(2&切丁,)\-m-T-讨论：对数幅频特性低频段wT«l,L(3)Q-201gl=0db2)高频段3T>>1,L(3Q-201g((2T)^401g«Tdb3)交接频率处3T=1,3=f,令-401g3T=0,3=?误差修正曲线与&有关对数相频特性3=亍时，4)(co)=-90°(+2"I)L(co)=201gJ(l2曾)2+(2林#)2由(3)=arctg(]2手;2)延迟环节(e~T°s)—jcoT°L(3)=201gl=0, /e—-3TD§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法环节曲线迭加法步骤：C1）将传递函数分解成典型环节并按转角频率从小到大排序，计算斜率累加值。（2）（1,-20ndB/dec,n为积分因子的个数O（3） 根据斜率累加值，每遇转角频率即改变渐进线斜率，作出幅频特性。C4）用描点连线的方法绘制相频特性一、最小相位系统和非最小相位系统系统的开环传递函数在右半s平面没有极点和零点，该系统称为最小相K(7>+1)位系统。如G(s)H(s)=

5(7^5+1)(7^5+1)系统的开环传递函数在右半s平面有零点或极点，或系统含T,该系最小相位系统。具有相同幅值的两个系统，最小相位系统的相角最小1+7>2如: G21+心

(T>TI>0)2A1(3)=A2(3)=

立+例尸J1+（破3—8

（n-m）（-90°）非最小相位因）含eTs2）小回环不稳定产生二、闭环系统的频率特性单位反馈闭环系统的频率响应中(加)=也砂=GE5)1+Go(m)Nyquist图确定闭环频率特性：作图法3=31时，Go(jw1)=G(jwi)H(jwi)=OA1+G(js)H(js)=

=G(j3|)H(j3i)j*(<J1)⑶中饱)=^2="S)比R(glGo(M)PA逐点测量函和函的幅值和相角，即可得闭环频率特性。M圆()设G(j3)H(j3)=X(3)+jY(3),则时)Rg G+以="必仞+1+X+jY

X+/Ka((u)=Z1+X+jY

(1+X)2+Y22(1—M2)-2X-M2+(—M?)丫2=0讨论：(1)M=l,得X=--2M2 M-(2)M手1,M--1

+y2

(M2-I)2M2 M圆心(-史」，0),半径的圆方程。M2-1 2-1结论：(1)M<1时，Ml,M圆变小，M-0时收敛于原点M>1时，Mt,M圆变小，M-8(-1J0)点M=1(-?,jO)点平行于虚轴的直线⑷M圆是以实轴和M=1直线为对称的簇圆3, N圆()g)一X+"1+X+jY

工1+X、 Y Y设tga=N,贝0N=tg[arctg-----arctg ]X1+XYY由爆A-3)=件殴，得N= 。1+tgAtgB 1\Y(Y)X-+X+Y2最后化为：(X+L)2+(K—_)2=L+(J_)22 2N42N圆心半径2'2N

看+象 的圆结论：⑴a>0时，a|,N

在实轴上方a〈0时,a|,N圆变大， 在实轴上方关于实轴和X=--(-1,点2N±180。的两段孤组成一完整的圆§5-5系统稳定性分析一、Nyquist稳定判据的基本原理利用开环Nyquist图判断闭环稳定性(-)映射原理日。、_K(s—&)(s—Z2)-(s—“)设复变函数H⑶-- - -一( r(s-P1)(S-P")s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系S平面 F(s)平面F(s)的零点 原点F(s)的极点 无限远点s平面上的其他点 原点外的有限点S1s平面的封闭曲线C上沿顺时针方向绕行取值时，在F(s)平面上将映射出一条绕原点的闭合轨迹r.s平面与F(s)平面的映射关系C中只含零点时C中只含极点时C中既含零点，也含极点时C中含Z个零点，P个极点，则「围线逆时针包围原点的次数N=P-Z——映射原理(二)特征函数F(s)与G(s)H(s)的关系设开环传递函数为G(s)H(s)=险A(s) 则闭环传递函数为中(s)=巡= G(s)=G(s)A(s)'R(s)l+G(s)H(s)A(s)+3(s)'系统特征方程为F(s)=l+G(s)H(s)=O=>G)+龄)A(s)曲线绕F(s)平面的原点运动相当于绕G(s)H(s)平面的(-l,jO)点运动F(s)的零点为6(s)曲线绕F(s)平面的原点运动相当于绕G(s)H(s)平面的(-l,jO)点运动(三) Nyquist轨线由虚轴和右半s保卫整个右半s平面二、Nyquist稳定判据(一)第一种情况G(s)H(s)s,Nyquist稳定判据为：P=O-88Nyquist(T,N=0,则Z=0,闭环系统稳定，否则不稳定P#03从-8—8Nyquist(-1,jO)NZ=N+P=0系统稳定，否则不稳定Nyquist(T,(二)第二种情况G(s)H(s)s平面的虚轴或原点处有极点时，需修正Nyquist轨线无限小半圆上的动点s可表示为：s=£eJ"(e—0,90°<9<90°)映射到G(s)H(s)平面上，则为G(s)H(沪土="讨论：1型系统G(s)H(s)=8/9()o~-90。2型系统G(S)H(S)=8/180°~—180°虚轴上有开环极点时，可仿此处理Nyquist时，系统G(j3)H(j3)Nyquist3-8-+8变化时逆时针包围(-1,jO)N等于开环右极点数P,否则不稳定。(三)条件稳定系统系统志定性随某一K值的变化而变化，在某一K值范围内稳定(四)采用逆极坐标的Nyquist稳定判据3从-8-+8变化时，l/G(j3)H(j3)Nyquist曲线逆时针包围(-1,jO)N次。N为位于右半s平面的l/G(s)H(s)的极点数，即G(s)H(s)的零点数。注意：Nyquist稳定判据不适用于含延迟环节的系统。§5-6控制系统的相对稳定性分析(一)相对稳定性的表述Nyquist(T,点的程度可反映系统相对稳定的裕度。(二)相角裕量Y和幅值裕量Kg

的定义1-相角裕量YG(j3)H(j3)l=ln3=s幅值交界频率Y=180°+巾3)Y>0,系统稳定Y〈0,系统不稳定2.幅值裕量KgZG(j3)H(j3)=T80° =>3=3gK/品切或Kg(db=2/-。12心瑚心K>lK(db)系统稳定g gK<lK(db)系统不稳定g g工程上要求：Y=30°60°,K>6db。也可只对Y提要求。g(三)系统的Nyquist图和Bode图的如应关系Nyquist图Bode图单位圆 Odb线实轴负方向 T80°四.Bode的稳定性分析(一) Bode图上稳定裕量的分析3g>3C,Y>0,K>0稳定g(二) Bode定理及应用.,为：±n,20db/dec±n•90°相位移。应用：为使Y3”-20db/dec且在-w,.2s、范4围内保持不变。§5-7时频域间的指标关系一.二阶系统的时域响应与频域响应的关系闭环频率指标中(S)=C(s)A(s)O(j(y)= =------」 =Meja(1-Z)+遂立M=

)d)2+(2/)2]S'/

2包1 co，a=-arctg y1-岂咯0MgM0.707时，产生谐振n令——=0cor-n

J1-2&2aco将(o=a)r代入M表达式，得谐振峰值Mr=—1=M=—©B20g间的频率段称频带宽度，简称带宽。二