学习-1数列极限

nr,可知—、数列极限的定义引例.

设有半径为

r

的圆

,

用其内接正

n

边形的面积近圆面积

S

.当

n

无限增大时,

无限 近

S

(

割圆术)

,数学语言描述:

0

,

正整数

N

,

当

n

>

N

时,

总有An

S

上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或若数列称为通项(一般项).及常数a

有下列关系:当n

>N

时,总有几何解释:a

a

)(此时也称数列收敛,否则称数列发散.a

xn

a

(

n

N

)即xn

(a

,

)(

n

N

)nlim

xn

aN

1xN

2x则称该数列的极限为

a

,

记作或

xn

a

(n

)机动上页下页返回结束例如,,

,

,

,

,1

2

32

3

4n

n

1n

n

1xn

1 (n

)nxn

n

(1)n1

1(n

)2

,

4

,

8

,

,

2n

,

xn

2n

(n

)xn

(1)n1机动上页下页返回结束趋势不定收敛发散例1.已知证明数列的极限为1.证:xn

1

1nn

(1)n

0,欲使即只要n

1因此,

取

N

[

1

]

,

则当n

N

时,

就有n

(n故

1nn

(1)nlim

xn

limn

n机动上页下页返回结束例2.已知证明证:nx

0

11(n

1)2

n

1

(0,1),欲使只要1n

1

0

,n取

N

[

1

1]

,

则当

n

N

时,

就有

x故2

0(1)nn

(n

1)lim

xn

limn21(n1)也可由

xn

0

,

即

n

1

1.不一定取最小的N

.说明:

N

与

有关,但不唯一.取N

1

1

机动上页下页返回结束例3.设q

1,证明等比数列证:xn

0欲使只要即

ln

q因此

,

取

N

1

ln

,

则当

n

>

N

时,

就有qn1

0

故lim

qn1

0nln亦即n

1的极限为0.机动上页下页返回结束二、收敛数列的性质及且

a

b.取n2从而xn

ab同理,

因

lim

xn

b

,

故存在

N2

,

使当

n

>

N2

时,

有因lim

xn

a

,故存在N1

,使当n

>N1

时,1.收敛数列的极限唯一.证:用反证法.假设2n从而xnab取

N

max

N1

,

N2

,

则当

n

>

N

时,

xn

满足的不等式.

故假设不真!

因此收敛数列的极限必唯一.机动上页下页返回结束例4.证明数列是发散的.证:

用反证法.假设数列

xn收敛,

则有唯一极限

a

存在.2但因a

1

xn

a

12

2替取值

1

与－1

,

而此二数不可能同时落在取

1

,

则存在

N

,

使当

n

>

N

时,

有机动上页下页返回结束长度为1

的开区间(a

1

,a

1

)内,因此该数列发散.2

22.收敛数列一定有界.

xn

a

a

1

a21M

1

a

取则有xn

M

(

n

1

,

2

,

)

.由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.

例如,证:

设xn

a

1,从而有取

1

,

则

N

,

当

n

N

时,

有数列(1)n1虽有界但不收敛.机动上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若时,有(

0)

,且(

0).证:

对

a

>0

,

取(

0)推论:若数列从某项起(

0).(用反证法证明)机动上页下页返回结束4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.的任一子数列.证:

设数列 是数列若则

0,

N

,当时,有现取正整数K

,使nk

N从而有

x

n

klim

x

n

k

a

.k

*********************N

a

,由此证明于是当k

K

时,有xN机动上页下页返回结束说明:由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,

则原数列一定发散.例如，发散!lim

x

2k

1k

三、极限存在准则准则;

单调有界准则;机动上页下页返回结束(2)

lim

yn

lim

zn

a1.准则(准则1)(1)

yn

xn

zn

(

n

1,

2

,

)nlim

xn

a时,当当时,令

N

max

N1

,

N2

,

则当

n

N

时,

有由条件(1)a

yn

xn

zn

a

即

xn

a

,

故

lim

xn

a

.n

n

n

证:

由条件

(2)

,

0

,

N1,

N2

,机动上页下页返回结束例5.证明证:利用n2221

n

n

2112n

n

n

n2且2n

n2limn1n2

limn

1

1n lim

n

n

n

n

2221n

211

1准则.由机动上页下页返回结束2.单调有界数列必有极限(准则2)lim

xn

a

(

M

)lim

xn

b

(

m

)n(证明略)nab机动上页下页返回结束证明数列例6.设极限存在.证:利用二项式公式,有nxn

(1

1

)n2!1!

n

n2

1

n

1

n(n1)

13!n3

n(n1)(n2)

1

nnn!

n(n1)(nn1)

1

1

1

1

(1

1

)

1

(1

1

)

(1

2)

2!

n

3!

n

n

1

(1

1

)

(1

2)

(1

n1)n!

n

n

n机动上页下页返回结束

1

(1

1

)

(1

2)

(1

n1)n!

n

n

nxn

1

1

1

(1

1)

1

(1

1

)

(1

2)

2!

n

3!

n

n2!

n1

3!

n1

n1xn1

1

1

1

(1

1

)

1

(1

1

)(1

2

)

(1

1

)(

n1n

(2n11)(!

n1

n

1

大大正xn

xn1

(

n

1,

2,

)nxn

(1

1

)n

1

1

又机动上页下页返回结束比较可知nnlim

(1

1

)n

ee

为无理数,其值为e

2.718281828459045根据准则2

可知数列

xn

有极限.记此极限为e,即原题上页下页返回结束xn

(1

1

)n

1

1

n1

1

又

3

3

12n1内容小结数列极限的“

–N

”定义及应用收敛数列的性质:唯一性

;

有界性

;

保号性;任一子数列收敛于同一极限极限存在准则:准则

;

单调有界准则;机动