课件-力学10.5波叠加和干涉

第十章

波动和声§10.5

波的叠加和§10.5.1

波的叠加·群速1.波的叠加原理·驻波波的叠加原理——当几列波在介质中的某点相遇时，该质元的振动位移等于各列波单独时在该处引起的位移的矢量和.第十章

波动和声下页第十章 波动和声波的叠加原理的基础是波动方程为线性微分方程

2

y

a

2

2

yt

2

x

2若y1、y2

分别是它的解，则(y1+y2)也是它的解,即波动方程遵从叠加原理.注：此原理只适用于线性行波，对非线性行波(如)不适用.重要性：可将任一复杂的线性行波分解为简谐波的叠加.2.群速群速度——

波任一给定振幅第十章

波动和声的速度.在有色散的介质中,

群速度

相速度下面先来 两个频率相近，振幅相同的简谐波的同向叠加.y1

Acos[(

∆

)t

(k

∆k

)x]y2

Acos[(

∆

)t

(k

∆k

)x]y

y1

y2

2

A

cos∆t

∆kx

cos

t

kx

v

∆∆k振幅被调制的波包的速度，即群速

群第十章

波动和声(a)xv群x(b)kv

波在无色散的介质中

∆

∆k

∆k k

∆k相速度

∆k

∆k第十章

波动和声§10.5.2

波的波的之模拟演示图1.

波的两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变.称这种稳定的叠加图样为现象.第十章所要求的条件.波动和声2.

相干条件——得到①两波源具有相同的频率;②具有恒定的相位差;③振动方向相同.r1r2S1S2p满足相干条件的波叫相干波,波源叫相干波源,叠加叫相干叠加.两波源的波振幅相近或相等时现象明显.第十章

波动和声3.

强度计算设有两个频率相同的波源S1和S2其振动表达式为10

101y

A

cos(

t

)

A20

cos(

t

2

)y

201r2rS

2pS1到P

点引起的振动为：y1

A1

cos(

t

kr1

1)y2

A2

cos(

t

kr2

2

)在P点的振动为y

y1

y2

A

cos(

t

)第十章y

y1

y2

A

cos(t

)波动和声A2

A2

A2

2

A

A

cos

∆1

2

1

2其中：∆

(1

2

)

k(r2

r1)合振动的强度为：I

I1

I2

2

I1

I2

cos∆对空间不同的位置，都有恒定的，因而,合强度在空间形成稳定的分布(

特点).第十章

波动和声4.加强、减弱条件相长(强度最强点)∆

(1

2

)

k(r2

r1)

2

n

πA

Amax

A1

A2n

0,1,2,3,I

Imax

I1

I2

2

I1I2如果

A1

A2I

max

4

I

1第十章

波动和声n

0,1,2,3,相消（强度最弱点）∆

(1

2

)

k(r2

r1)

(2n1)πA

Amin

|

A1

A2

|I

Imin

I1

I2

2

I1

I2如果

A1

A2,

Imin

0第十章

波动和声当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：n

0,1,2,3,波程差

r2

r1

n,22

1

r

r

(2n1)

,n

0,1,2,3,

相消相长是能量的重新分布实现的艰难任务是实现初相差恒定第十章 波动和声§10.5.3

驻波驻波——沿相反方向1.形成t

0T4t

t

4T23Tt

yxuuuuy的两列等幅相干波的叠加.2

Ayuxuxuuy2

Ax动画演示第十章

波动和声2.

驻波特点(1)振幅特点各质点的振幅各不相同.位移恒为零——波节,振幅始终最大——波腹./2/2波节 波腹在波节—波腹之间各点作稳定的振动，其A有0

A

2A第十章

波动和声(2)

相位特点两相邻波节之间的各质元振动相位相同，每一波节两侧各质元的振动相位相反.在驻波中却没有能量的定向传递.第十章

波动和声3.

定量计算

A

cos

t

kx

A

cos

t

kx

y1设

y

2则y

y1

y2

(2

Acos

kx)

cos

t振幅因子谐振因子k

2πy

(2

Acos

2π

x)

cos

t(1)驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体第十章 波动和声波腹——振幅取最大值.2

A

cos

2π

x

2

A2x

ii

0,1,2,波节——

振幅为零.

波节处的质元

不动.2

A

cos

2π

x

04x

(2i

1)

i

0,1,2,相邻两波腹间或两波节间的距离均为半个波长.第十章

波动和声(2)相位相邻波节的坐标x

(2i

3)

4i

14x

(2i

1)

i代入振幅因子2

A

cos

2π

x中得2π

x

iπ

πi

iπ

3π2π

xi

1

2

2相邻波节间各体元余弦同号，即具有相同的相位.第十章

波动和声相邻波腹的坐标2

i

1

xi

12ix

i

y

(2

Acos

2π

x)

cos

t中得代入驻波方程中yi

(2

Acos

iπ)

cos

tyi

1

[2

A

cos(i

1)π]cos

t

(2

Acos

iπ)

cos(

t

π)相邻两波腹的相位相反.第十章

波动和声4.

驻波的能量2dE

k

1

∆mu

2

2dVA

2

2

cos

2

(

2π

x

)

sin

2

t

2d

V

v

2

A

2

(

2

π

)2

sin

2

2

π

x

cos

2

t

动能与势能相位相反，没有能量的定向

.pd

E

1

G

d

V

(

y

)22

x第十章 波动和声[例题]已知入射波的表达式写反射波的表达式2入若全反射rA

AxObSI1v1

2v2y

Acos(

t

kx

π)l2yb

A

cos(

t

kl

π

)入以b为参考点写反射波1u1

>

2u2b点的振动2y

A

cos(

t

kl

π

)b反2y

Acos(

t

kl

π

π)b反1u1

<

2u2第十章

波动和声若波从波疏向波密介质入射，反射波在b点的振动为：2yb

Acos(t

kl

π

π)反2y

Acos[t

kl

π

kl

x]反2y

Acos[t

kx

2kl

π]反正号表示沿x负方向的波.第十章§10.5.4

弦与空气柱的本征振动1.两端固定的弦中的驻波设弦长l,其上形成驻波的波长必须满足:波动和声线nn

2l2l

n

n即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续.这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为简正模式.最低的频率称为基频，其它整倍数频率为谐频.n2l

n

vv

F

/

n

1,2,3,第十章

波动和声l弦线中的驻波Fn波长

2ln=12nn

nv波频n=2其中n

1,2,3,n=3系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件,一般是各种简正模式的叠加.第十章 波动和声2.空气柱的振动设管一端封闭，另一端敞开，开端形成波腹，闭端形成波节.固有振动的波长和频率为nn

4l4ln

n

vn

1,3,5,A

NA

N

ANAN