人教版数学中考复习：二次函数综合题(带答案)

-.z.二次函数综合题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与*轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.〔1〕求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；〔2〕假设点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；〔3〕一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当t为何值时，"〔4〕在*轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕∵抛物线与*轴交于A(1，0)、B(3，0)两点∴解得：∴该抛物线解析式为：〔2〕设直线BE的解析式为∵B(3，0)、E，∴解得：，∴直线BE的解析式为.因为F是抛物线与BE的交点∴整理得：解得：、〔舍去〕∴∴F〔〕连接AH，与BE交于点G，设直线BC的解析式为∵B(3，0)、C∴∴∴直线BC的解析式为∵H(1，y)在BC上∴H(1，)∵A(1，0)∴AH//y轴设点G坐标为∵G在BE上∴G(1，)∴，过点F作FK⊥GH于K，∴∵S△FHB=S△FHG+S△BHG∴〔3〕延长MD与*轴交于点N，∴MN⊥*轴，垂足为N，由题意可知：DM=t∵D(2，)，∴N(2，0)，∴，∵∴又∵∴而∴Rt△ONM∽Rt△MNB∴即∵，，∴∴，〔舍去〕∴秒时，〔4〕符合条件的P点坐标为(，)理由如下：作点F关于*轴的对称点F’，由〔2〕知：F〔〕，∴点F’〔〕连接BF’，∵B(3，0)设直线BF’的解析式为∴解得：∴直线BF’的解析式为联立抛物线有整理得：解得：、〔舍去〕故交点坐标为(，)由对称性可知，BF’交抛物线的交点即满足题意的P点，使得被BA平分.2.抛物线经过A，B两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．〔1〕求该抛物线的解析式及点D的坐标；〔2〕连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；〔3〕点M是线段AB上一动点〔不包括点A和点B〕，过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使？假设存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕如右图，∵抛物线经过A，B两点∴∴∴该抛物线的解析式是∵，∴点D坐标S1，S2，S3之间的数量关系是过点D作DE⊥*轴于点E，作DF⊥y轴于点F，∴E，F∵B,C∴∴,,则在中∴,,则在中∵∴△BCD是直角三角形∴∴,∴存在点M，使得，设点M，∴则在中，∵MN∥BC∴∴假设，∵∴△AMN∽△ACM∴∴∴∴∴，〔舍〕∴点M坐标设直线BC的解析式为∵B,C∴∴∴直线BC的解析式为∵MN∥BC∴*设直线MN的解析式为∵点M坐标∴∴直线MN的解析式为∴存在点M，使得，此时直线MN的解析式为3.抛物线y=a*2+b*+c经过A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，﹣2〕三点．〔1〕请直接写出抛物线的解析式．〔2〕连接BC，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标．〔3〕在〔2〕中的线段AD上有一动点E〔不与点A、点D重合〕，过点E作*轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△AFD的面积最大？求出此时点E的坐标和△AFD的最大面积．解：〔1〕∵抛物线y=a*2+b*+c经过A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，∴设抛物线解析式为y=a〔*+1〕〔*﹣4〕.∵C〔0，﹣2〕在抛物线上，∴﹣2=a×1×〔﹣4〕，∴a=.∴抛物线的解析式为y=〔*+1〕〔*﹣4〕=*2﹣*﹣2，①〔2〕设直线BC的解析式为y=k*﹣2，∵B〔4，0〕∴4k﹣2=0，∴k=，∴直线BC的解析式为y=*﹣2.∵直线BC平移，使其经过点A〔﹣1，0〕，且与抛物线交于点D，∴直线AD的解析式为y=*+，②联立①②，解得〔舍去〕，或，∴D〔5，3〕.〔3〕∵A〔﹣1，0〕，D〔5，3〕，∴以AD为底，点F到AD的距离越大，△ADF的面积越大，作l∥AD，当l与抛物线只有一个交点时，点F到AD的距离最大，设l的解析式为y=*+n，③联立①③转化为关于*的方程为*2﹣4*﹣2n﹣4=0，∴△=16﹣4〔﹣2n﹣4〕=0，∴n=﹣4.∴直线l的解析式为y=*﹣4，∴*2﹣4*+4=0，解得*=2.将*=2代入y=*﹣4得，y=﹣3，∴F〔1，﹣3〕，∴E〔1，1〕.∴EF=4.∴S△AFD的最大面积=EF×|*E﹣*A|+EF×|*D﹣*E|=×4×2+×4×4=12．4.如图，抛物线y=﹣*2+2*+3与*轴相交的于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴相交于点C，顶点为D．〔1〕直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；〔2〕连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点〔P不与C，B两点重合〕，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．解：〔1〕对于抛物线y=﹣*2+2*+3，令*=0，得到y=3；令y=0，得到﹣*2+2*+3=0，即〔*﹣3〕〔*+1〕=0，解得：*=﹣1或*=3，则A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕，抛物线对称轴为直线*=1；〔2〕①设直线BC的函数解析式为y=k*+b，把B〔3，0〕，C〔0，3〕分别代入得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为y=﹣*+3，当*=1时，y=﹣1+3=2，∴E〔1，2〕，当*=m时，y=﹣m+3，∴P〔m，﹣m+3〕，令y=﹣*2+2*+3中*=1，得到y=4，∴D〔1，4〕，当*=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F〔m，﹣m2+2m+3〕，∴线段DE=4﹣2=2，∵0＜m＜3，∴yF＞yP，∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣〔﹣m+3〕=﹣m2+3m，连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1〔不合题意，舍去〕，则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②连接BF，设直线PF与*轴交于点M，由B〔3，0〕，O〔0，0〕，可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF=PF•BM+PF•OM=PF〔BM+OM〕=PF•OB，∴S=×3〔﹣m2+3m〕=﹣m2+m〔0＜m＜3〕，则当m=时，S取得最大值．5.如下图，抛物线y=a*2﹣*+c经过原点O与点A〔6，0〕两点，过点A作AC⊥*轴，交直线y=2*﹣2于点C，且直线y=2*﹣2与*轴交于点D．〔1〕求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；〔2〕求点A关于直线y=2*﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；〔3〕点P〔*，y〕是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与*的函数关系式及l的最大值．解：〔1〕把点O〔0，0〕，A〔6，0〕代入y=a*2﹣*+c，得，解得，∴抛物线解析式为y=*2﹣*．当*=6时，y=2×6﹣2=10，当y=0时，2*﹣2=0，解得*=1，∴点C坐标〔6，10〕，点D的坐标〔1，0〕〔2〕过点A′作AF⊥*轴于点F，∵点D〔1，0〕，A〔6，0〕，可得AD=5，在Rt△ACD中，CD==5，∵点A与点A′关于直线y=2*﹣2对称，∴∠AED=90°，∴S△ADC=וAE=×5×10，解得AE=2，∴AA′=2AE=4，DE==，∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，∴==，解得AF=4，A′F=8，∴OF=8﹣6=2，∴点A′坐标为〔﹣2，4〕，当*=﹣2时，y=×4﹣×〔﹣2〕=4，∴A′在抛物线上．〔3〕∵点P在抛物线上，则点P〔*，*2﹣*〕，设直线A′C的解析式为y=k*+b，∵直线A经过A′〔﹣2，4〕，C〔6，10〕两点，∴，解得，∴直线A′C的解析式为y=*+，∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为〔*，*+〕，∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，∴l=〔*+〕﹣〔*2﹣*〕=﹣*2+*+，∴l与*的函数关系式为l=﹣*2+*+，〔﹣2＜*≤6〕，∵l=﹣*2+*+=﹣〔*﹣〕2+，∴当*=时，l的最大值为．6.如图，抛物线y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的对称轴为直线*＝－1，且经过A〔1，0〕，C〔0，3〕两点，与*轴的另一个交点为B.⑴假设直线y＝m*＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴*＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的对称轴*＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标解：〔1〕依题意，得解之，得∴抛物线解析式为．∵对称轴为*＝－1，且抛物线经过A〔1，0〕，∴B〔－3，0〕．把B〔－3，0〕、C〔0，3〕分别直线y＝m*＋n，得解之，得∴直线BC的解析式为．〔2〕∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC.∴使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴*＝－1的交点.设直线BC与对称轴*＝－1的交点为M，把*＝－1代入直线，得y＝2.∴M〔－1，2〕〔3〕设P〔－1，t〕，结合B〔－3，0〕，C〔0，3〕，得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①假设B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.解之,得t＝－2.假设C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．假设P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．综上所述，满足条件的点P共有四个,分别为(－1，－2),(－1，4),(－1，),(－1，)．7.在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如下图的.〔1〕求经过、、三点的抛物线的解析式；〔2〕连结，点是位于线段上方的抛物线上一动点，假设直线将的面积分成两局部，求此时点的坐标；〔3〕现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠局部面积的最大值.解：〔1〕∵、，将经过旋转、平移变化得到如下图的，∴.∴.设经过、、三点的抛物线解析式为，则有，解得：.∴抛物线解析式为.〔2〕如图4.1所示，设直线与交于点.∵直线将的面积分成两局部，∴或，过作于点，则∥.∴∽,∴.∴当时，，∴，∴.设直线解析式为，则可求得其解析式为，∴，∴〔舍去〕，∴.当时，同理可得.〔3〕设平移的距离为，与重叠局部的面积为.可由求出的解析式为，与轴交点坐标为.的解析式为，与轴交点坐标为.①如图4.2所示，当时，与重叠局部为四边形.设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.由，得，∴.∴.∴的最大值为.②如下图，当时，与重叠局部为直角三角形.设与轴交于点，与交于点.则，，.∴.∴当时，的最大值为.综上所述，在此运动过程中与重叠局部面积的最大值为.8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C，对称轴与*轴交于点D〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点M是抛物线上的一动点，过点M作MN//CD交*轴于点N，当以D、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的坐标；〔3〕假设点E在*轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PDE≌△PDC？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕∵抛物线经过点A，B，可设两点式:又∵C在抛物线上∴∴∴〔2〕∵抛物线对称轴为∵以D，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴应分CM∥DN，CN∥DM两种情况．①当CM∥DN时．情况如下图，因为D、N均在*轴上，所以当CM∥DN时，CM是一条平行于*轴的线段，∵C∴CM直线为，∵M是抛物线上一动点，所以C、M关于对称轴对称，∴M②当CN∥DM时．情况如下图，假设CDMN为平行四边形∴MN可以看做线段CD向下平移4个单位而得，即M点纵坐标可看做D点纵坐标向下平移4个单位，∴点M的纵坐标是∵点M在抛物线上，∴化简得解得：点M的坐标为或〔3〕∵CD∴假设△PDE≌△PDC∴∵E在*轴上，∴E，假设点E假设△PDE≌△PDC∴P点在CE的垂直平分线上则EC中点F设直线DF的解析式为∴∴∴联立得∴则点P或假设点E则EC中点F设直线DF的解析式为∴∴∴联立得解得：则点P或9.二次函数y=a*2﹣2a*+c〔a＜0〕的最大值为4，且抛物线过点〔，﹣〕，点P〔t，0〕是*轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．〔1〕求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；〔2〕求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；〔3〕设Q〔0，2t〕是y轴上的动点，假设线段PQ与函数y=a|*|2﹣2a|*|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．解：〔1〕∵y=a*2﹣2a*+c的对称轴为：*=﹣=1，∴抛物线过〔1，4