概率统计第一章课件

第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念需要研究事件A发生的概率PA)是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率PA)进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的需要考查B下，事件A发生的概率。一般地说，这两种概率未必相同。为了区别起记为PA|B)B下事件A的概率。条件概率是概率论中一个既重例1有两个小孩的家庭其样本空间为

其中b代表男孩g代表表示大的是男孩、小的是。其S4个样本点等可能情况下，来如下一些事件的概；4显然PA)；4若已知事件B“家中至少A发生的概率，；P(A|B)；3（3）P(B)

P(AB)，， ，，2434P(A|B)224343

P(P(B) 为了合理地给出条件概率的定15030是一级品，10件是二级50件产品中任意1（设B由于50件产品中有30一;P(A)30; P(A|B)30 可见P(A|B)P( 定义呢？从分析上面的例1着手，先计算P(BPAB。由于5040;P(B)40; AB表示“取得的产品是合50中只有30件既是合格品又是一级,P(AB)30, P(A|B)34

P(3545,3545,由上式的启发，定义条件定义7AB为试验E的两个事件，且P(B)0,则称P(A|B)

P(

BA发条件概率也具有一般概率的性质。当P(B)0时有：A； P(A|B)P(AB)；P(S|B)

P(SB)；；nn则P(

nn|B)P(

|B) P(Ai|B)P(Ai|B) AP(A|B)1P(A|B)事实上PA|B)

P(AB)

P(BP(B)P(AB)1P( 1P(A| 记PB(A)P(A|B（AF

也是定义在(SF

上的一个概率测度函数（B有关(SFPB2106设A2B1

P(A|B)

P(P(B)C4CC4而P(B)P(B0)1P(B0)1 6 C4 事件AB表示所取4ABB1B2,且

,故由概率的有限可加性及概率的古 2C , ,C4C1

C4C10P(A|B)

P(AB)

.若P(B)0,由PA|B)

P(P(B)P(AB)P(B)P(A|B),(P(B)0)若PA)0,由P(B|A)

P(PA)P(AB)P(A)P(B

A),(P(A)0)上述式(1.7)和式(1.8)均称为乘法公式。它在概率的计算中有重要作乘法公式可推广到任意有限多个事件的情P(A1A2An1)0P(An|A1A2An1),P(An|A1A2P(A)P(A1A2)P(A1A2A3)

P(A P(AA

P(AA

P(A1A2An（证毕3袋中有5白球和4球。从中作不放回抽取两次，每次A“取到两个白球”,B“取到两种颜Ai“第i因为AA1A254 (或直接求PA)5459 由于B

且A1A2与A1A2互不相容，5445 C(或直接做P(B) 4 C 或P(B)

5445)9 )4已知PA)0.6P(B)0.8PA|B0.35,求P(BA和PA|解：由PA|B)0.35P(A|B)1P(A|B)0.65P(AB)P(B)P(A|B)0.80.650.52P(BA)P(BA)P(BA)1P(A1[P(A)P(B)P(1P(A)P(B)[1P(A|1P(A)P(B)P(A|10.60.80.350.40.280.12(或P(BAP(BAP(ABPAP(A)P(1P(A)P(B)P(A|10.60.80.350.40.280.12P(A|B)

P(AB)

P(A)P(AB)0.6

0.41

例设PA)aP(B)b,(b0)试证PA|B)

ab.b.1P(AB)P(A)P(B)P(AB)abP(AB)得P(AB)ab1 P(A|B)

P(AB)

ab1 第四节全概率公式与公定理一设事件组B1B2,

满足：nn（1）BiS（3）P(Bi)0,i1,2,nA，恒有nnP(A)P(Bi)P(A|Bi),A

AS

nnA

nn(ABi)

互不相容知AB1AB2,ABn亦互不相容，故由概率 P(A)P(ABi)P(Bi)P(A|Bi 问题复杂化了，其实不然。在实际中事件A比较复杂不容易计算其概率PAP(BiPA|Bi都比较容易计算，那么，应用全概率公式就容易把PA概率公式的关键往往在于找到满足定理中条件的事件B1B2,,Bn。一般地说，事件B1B2,,Bn是可能导Ann（定理一中的条件Binn可减弱为BiA B1B2,Bn,（1）

SB1B2,Bn,，P(Bi)0,i1,2,,，P(A)P(Bi)P(A|Bi),(1.10)（1.10例1某厂用三台机床生产了同样规格的一批产品,各台机床的产60%,30%,10%,次品率依次为4%,3%,7%.现从这批产品中随机ABi“取到第ii B1B2B3是可能导致事A发生的全部“原因.

S,且B1B2B3P(B1)

,P(B2)

,P(B3)

10又已知PA|B)4PA|B)3PA|B)7

33P(A)P(Bi)P(A|Bi

例2设某昆虫产k个卵的概率e为

0

p(0p1),且各个卵能否孵化成幼虫是相互独立的,求该昆虫有后代的解设ABk

该昆虫产k易知,事件组B0B1B2,Bn,满足P(Bk)

ek

A每个卵都没孵化成幼P(A|Bk)(1

p)k,

P(A) P(Bk)P(A|Bkkk

e

p)k

k

[(1p)]ke

e(1

ep从而P

1

P(

1ep xx

xxk0 (有人这样作PA|Bk

pk,

P(A)k

)P(A|Bk

k

ekpke(ep 两种结果不一样，谁对谁错,P(A|Bk)

pkk个卵都孵化幼虫了,其实该昆虫k个卵中至少有一个孵化幼虫

P(A|Bk)

pkP(A|

))Cp(1k

p)k

p)kP(A)k

)P(A|Bk

k

[1(1p e1

二、(Bayes)公A已经发生了,问这件次i台机床生产的概率多大？即求

|

,i 由上例知

P(A)

件概率定义、乘法公式及全概

|A)

P(ABi)P(

P(Bi)P(A|Bi P(Bj)P(A|Bjj因此概率P(Bi|A定理二设事件组B1B2,

满足：nn（1）BiSA(PA)0)

|A)

P(ABi)P(

P(Bi)P(A|Bi P(Bj)P(A|Bj 例3根据以往的临床记录,某 的试验具有如下的效果:以A表“试验反应为阳性”,C表示“被者患有”,则PA|C0.95,PA|C0.95.现对一大批人进行普查,设被试验的