4.6 正弦定理和余弦定理doc-高中数学

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4.6正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝

eq\r(3)

，则

eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)

的值为()

A.

eq\f(26\r(3),3)

B.

eq\f(2\r(39),3)

C.

eq\f(\r(39),3)

D.

eq\f(13\r(3),3)

解析：∵S△ABC＝

eq\r(3)

，即

eq\f(1,2)

bcsinA＝

eq\r(3)

，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝

eq\r(13)

，

∴

eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)

＝

eq\f(a,sinA)

＝

eq\f(2\r(13),\r(3))

＝

eq\f(2\r(39),3)

.

答案：B

2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2

eq\r(2)

，b＝

eq\f(4\r(3),3)

，则∠A等于()

A．15° B．75° C．105° D．75°或15°

解析：根据正弦定理

eq\f(c,sinC)

＝

eq\f(b,sinB)

，sinC＝

eq\f(csinB,b)

＝

eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(4\r(3),3))

＝

eq\f(\r(3),2)

.

∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.

答案：D

3．在△ABC中，设命题p：

eq\f(a,sinB)

＝

eq\f(b,sinC)

＝

eq\f(c,sinA)

，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：若△ABC是等边三角形，则

eq\f(a,sinB)

＝

eq\f(b,sinC)

＝

eq\f(c,sinA)

；若

eq\f(a,sinB)

＝

eq\f(b,sinC)

＝

eq\f(c,sinA)

，

又

eq\f(a,sinA)

＝

eq\f(b,sinB)

＝

eq\f(c,sinC)

，则

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝bc，,b2＝ac，,c2＝ab，))

即a＝b＝c.∴p是q的充要条件．

答案：C

4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是()

A．(1,2) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)

解析：设△ABC三内角为A、B、C，其对边为a、b、c，且A<B<C，由2∠B＝∠A＋∠C，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，可得∠B＝60°，由已知∠A<30°.m＝

eq\f(c,a)

＝

eq\f(sinC,sinA)

＝

eq\f(sin(60°＋A),sinA)

＝

eq\f(\r(3),2)

cotA＋

eq\f(1,2)

>2.

答案：B

二、填空题

5．在△ABC中，sinA＋cosA＝

eq\f(7,13)

，则

eq\f(5sinA＋4cosA,15sinA－7cosA)

＝________.

解析：由已知2sinAcosA＝－

eq\f(120,169)

，∴cosA＜0，即A为钝角，∴(sinA－cosA)2＝

eq\f(289,169)

，

∴sinA－cosA＝

eq\f(17,13)

，则sinA＝

eq\f(12,13)

，cosA＝－

eq\f(5,13)

.原式＝

eq\f(8,43)

.

答案：

eq\f(8,43)

6．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则

eq\f(a,b＋c)

＋

eq\f(b,c＋a)

＝________.

解析：因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab，所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(c＋a)，所以

eq\f(a,b＋c)

＋

eq\f(b,c＋a)

＝1，故填1.

答案：1

7．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC为________．

解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.

在△ABC中，由余弦定理得cosA＝

eq\f(b2＋c2－a2,2bc)

＝

eq\f(bc,2bc)

＝

eq\f(1,2)

，∴∠A＝60°.

由b2＝ac，即a＝

eq\f(b2,c)

，代入a2－c2＝ac－bc整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，

∴b＝c.则△ABC为正三角形．

答案：60°正三角形

三、解答题

8．(2009·湖南)在△ABC中，已知，求角A、B、C的大小．

解答：设△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，

由，得

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosA＝\r(3)，①,bc＝\r(3)a2，②))

由①cosA＝

eq\f(\r(3),2)

，又0°＜A＜180°，则A＝30°，

根据余弦定理cosA＝

eq\f(b2＋c2－a2,2bc)

，即

eq\f(b2＋c2－a2,2bc)

＝

eq\f(\r(3),2)

，③

②代入③整理得

eq\r(3)

b2－4bc＋

eq\r(3)

c2＝0，

则b＝

eq\f(4c±\r(16c2－12c2),2\r(3))

，解得b＝

eq\r(3)

c，或c＝

eq\r(3)

b.

当b＝

eq\r(3)

c时，c＝a，则C＝A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝120°；

当c＝

eq\r(3)

b时，b＝a，则B＝A＝30°，C＝180°－(A＋B)＝120°.

综上可知：A＝C＝30°，B＝120°或者A＝B＝30°，C＝120°.

9．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．

解答：如图，连结BD，

则有四边形ABCD的面积

S＝S△ABD＋S△BCD＝

eq\f(1,2)

AB·ADsinA＋

eq\f(1,2)

BC·CDsinC.

∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC．∴S＝

eq\f(1,2)

(AB·AD＋BC·CD)sinA

＝

eq\f(1,2)

(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.

由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA

＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.

在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC.

∵20－16cosA＝52－48cosC，∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－

eq\f(1,2)

，

∴A＝120°，

S＝16sin120°＝8

eq\r(3)

.

10．在△ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为

eq\f(\r(3)＋1,2)

，求△ABC的最大角．

解答：解法一：设最大边为a，最小边为c，边a、c所对角为A、C，

则

eq\f(a,c)

＝

eq\f(\r(3)＋1,2)

，由正弦定理

eq\f(sinA,sinC)

＝

eq\f(\r(3)＋1,2)

，即sinA＝

eq\f(\r(3)＋1,2)

sinC.

又sinA＝sin[180°－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝

eq\f(\r(3),2)

cosC＋

eq\f(1,2)

sinC，

∴

eq\f(\r(3)＋1,2)

sinC＝

eq\f(\r(3),2)

cosC＋

eq\f(1,2)

sinC，

即sinC＝cosC．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.

解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则

eq\f(a,c)

＝

eq\f(\r(3)＋1,2)

，由

eq\f(a2＋c2－b2,2ac)

＝

eq\f(1,2)

，则b2＝a2＋c2－ac.

cosC＝

eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

＝

eq\f(2a2－ac,2a\r(a2＋c2－ac))

＝

eq\f(2·\f(a2,c2)－\f(a,c),2·\f(a,c)\r(\f(a2,c2)－\f(a,c)＋1))

＝

eq\f(\r(2),2)

.

又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.

1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝2

eq\r(3)

，tan

eq\f(A＋B,2)

＋tan

eq\f(C,2)

＝4,2sinBcosC＝sinA，求A，B及b，c.

解答：由tan

eq\f(A＋B,2)

＋tan

eq\f(C,2)

＝4得cot

eq\f(C,2)

＋tan

eq\f(C,2)

＝4，∴

eq\f(cos\f(C,2),sin\f(C,2))

＋

eq\f(sin\f(C,2),cos\f(C,2))

＝4，∴

eq\f(1,sin\f(C,2)cos\f(C,2))

＝4.

∴sinC＝

eq\f(1,2)

，又C∈(0，π)，∴C＝

eq\f(π,6)

，或C＝

eq\f(5π,6)

，

由2sinBcosC＝sinA得2sinBcosC＝sin(B＋C)，

即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝

eq\f(π,6)

，A＝π－(B＋C)＝

eq\f(2π,3)

，

由正弦定理

eq\f(a,sinA)

＝

eq\f(b,sinB)

＝

eq\f(c,sinC)

得b＝c＝a

eq\f(sinB,sinA)

＝2

eq\r(3)

×

eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))

＝2.

2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.

(1)证明sinα＋cos2β＝0；(2)若AC＝

eq\r(3)

DC，求β的值．

解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，

∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即