导数研究函数单调性与极值

-.z.第35课导数研究函数单调性与极值【教学目标】知识目标1、使学生掌握运用导数研究函数单调性、极值和最值等问题的方法，提高解导数问题的能力。二、能力目标1了解函数单调性和导数的关系:能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间（其中多项式函数一般不超过三次）2了解函数在*点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）情感目标会利用导数解决*些实际问题【教学重点】分类讨论和恒成立问题；【教学难点】分类讨论。【考点分析】由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面。【知识点梳理】【导数在函数的单调性、极值、最值中的应用】1.函数的单调性与导数一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在*个区间，如果，则函数在这个区间单调递增；如果，则函数在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数若*=*0是函数y=f(*)的极值点，则f’(*0)=0。（反之不一定成立）注意极值点不是点，极值点与极值的区别求函数的极值的方法是:如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;如果在附近的左侧,右侧,则是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数在上的最大值与最小值的步骤求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题【典型例题】题型一利用导数讨论函数单调性例题1：1.(05广东卷)函数是减函数的区间为()A.B.C.D.解：函数为减函数，则有，所以答案为D.2．(05江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（）-22-22O1-1-11O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD解：观察图象可知：即答案选D变式：求函数的单调区间、根据函数单调区间求参数值、简单含参数函数单调性讨论已知函数(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是.(2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围.（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是解：，即即。因为上总是单调函数，则。若函数在区间（-3，1）上单调递减，即，解得：a=-3题型二：函数的极值问题（05全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则（）A．2B.3C.4D.5解:解得：答案选D变式：求函数极值；根据极值求解析式（根据山东2008年文21改编）设函数，已知为的极值点。（1）求的值；（2）讨论的单调性；解：解：(Ⅰ)因为又因此解方程组得(Ⅱ)因为所以令因为所以在（-2，0）和（1，+）上是单调递增的；在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.题型三：函数的最值问题求函数在[0,3]上的最大值与最小值解：，；所以在*=2时，取得最小值-15；*=3时，取得最大值5.变式：给定区间求函数最值、已知函数的最值求参数（恒成立问题）已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）定义域，，在时取得最小值（Ⅱ）,令，在恒，【方法与技巧总结】1.求函数单调区间的一般步骤：（1）求函数f(*)的导数f/(*)；（2）令f/(*)>0解不等式，得的范围就是单调增区间；令f/(*)<0解不等式，得的范围就是单调减区间；（3）对照定义域得出结论．2.若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件．要确定极值点还需在左右判断单调性．3.求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：①求在内的极大（小）值，=2\*GB3②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．【巩固练习】1．关于函数，下列说法不正确的是（）A．在区间（，0），为增函数B．在区间（0，2），为减函数C．在区间（2，），为增函数D．在区间（，0）,为增函数2．若a>0,b>0,且函数f（*）=在*=1处有极值，则ab的最大值等于() A．2 B．3 C．6 D．93.如果函数y=f(*)的图象如图所示，则导函数y=的图象可能是()4.现有一段长为18mA．1mB．1.5m5.右图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的极值点；③在处切线的斜率小于零；*yO12–*yO12–2则正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）6．（本小题满分10分）设.（Ⅰ）判断函数在的单调性；（Ⅱ）设为在区间上的最大值，写出的表达式.7.设函数.（Ⅰ）求f(*)的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式f(*)<m恒成立，求实数m的取值范围；8．已知f(*)＝a*3+3*2－*+1在R上是减函数，求a的取值范围.9．已知a为实数，。⑴求导数；⑵若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶若在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。10．已知函数在处取得极值。⑴讨论和是函数的极大值还是极小值；⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。【课后作业】1．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）2.设f(*)=*2(2-*),则f(*)的单调增区间是（）A.(0,B.(+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(,+∞）3.若函数f(*)=*3-a*2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.a≥1B.a=3 C.a≤3 D.0<a<34.若函数f(*)=*3-3b*+3b在（0，1）内有极小值，则（）A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<5.若f(*)=*3+3a*2+3(a+2)*+1没有极值，则a的取值范围为.6.如图是y=f(*)导数的图象，对于下列四个判断：①f(*）在［-2，-1］上是增函数；②*=-1是f(*)的极小值点；③f(*)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；④*=3是f(*)的极小值点.其中判断正确的是.7.函数f(*)的导函数y=的图象如右图，则函数f(*)的单调递增区间为.8.已知函数f(*)的导函数为,且满足f(*)=3*2+2*,则=.9.已知函数f(*)=*3-*2+b*+c.(1)若f(*)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;(2)若f(*)在*=1处取得极值，且*∈［-1,2］时，f(*)<c2恒成立，求c的取值范围.10.函数.（I）若在点处的切线斜率为，求实数的值；（II）若在处取得极值，求函数的单调区间.11．设，函数.（1）当时，求曲线在（3，）处切线的斜率；（2）求函数的极值点。12．已知函数在处有极值.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）判断函数的单调性并求出单调区间.13.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性.14.（本小题满分13分）设，其中为正实数.（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.【拓展训练】1、已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.2、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）当时，讨论的单调性．【参考答案】1、巩固练习答案1、解：，所以2、解：,,，所以答案选D3、解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案A满足。4、解：设底面一边长为*，另一边长为2*,则高为（4.5-3*）,，令，即*=1时V有最大值，所以底面的较短边长是1.选A5、观察图象可知选①②③④6、解：（Ⅰ）定义域因为,所以；（Ⅱ）7、解：（Ⅰ）由*+1＞0，得：f（*）定义域为（-1，+∞），*∈（-1，+∞）由得*＞0所以f（*）递增区间是[0，+∞）（Ⅱ）由f'（*）＜0，*+1＞0，得-1＜*＜0．所以f（*）递减区间是（-1，0）∴f（*）在上递减，在[0，e-1]上递增．又且8．解：函数f(*)的导数：（Ⅰ）当（）时，是减函数.所以，当是减函数；（II）当时，=由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数.综上，所求的取值范围是（9．解：⑴由原式得：∴⑵由得,此时有.由得或*=-1,又所以f(*)在[－2,2]上的最大值为最小值为⑶解法一：的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得即∴－2≤a≤2。所以a的取值范围为[－2,2].解法二：令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当*≤-2或*≥2时,≥0,从而*1≥-2,*2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].10．解：⑴，依题意，，即解得。∴。令，得。若，则，故在上是增函数，在上是增函数。若，则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。⑵曲线方程为，点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足。因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得。所以，切点为，切线方程为。2、课后作业答案1、解：图D中，如果上面的曲线是，则当为增函数，同理，若上面的曲线是，则则当为减函数，同样不满足题意。2、令解得所以选A.3、解：，需要解得a≥1。选A4、解：在（0，1）内有极小值，则解得0<b<15、解：，函数无极值，即恒大于等于0，，解得：6、①②③。解析：函数的极值点在处取得，*=3不是极值点7、解：取，8、解：令，，令9、10、解：（I）由得（II）由，所以11、解：(1)，当时，所以切线方程可以写为化简得：(2)令，得所以的极值点有12、解：（Ⅰ）,,所以b=-1（Ⅱ）定义域，13、解：（Ⅰ），，化简得：（Ⅱ）当当当14、解：（Ⅰ）当，令解得（Ⅱ）设，若为上的单调函数，若当时，即时满足条件。3、拓展训练答案1、解（1）………2分∴曲线在处的切线方程为，即；……4分（2）记令或1.…………6分则的变化情况如下表增极大减极小增当有极大值有极小值.………10分由的简图知，当且仅当即时，函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分2、解：（Ⅰ），所以切线方程为化简得：（Ⅱ）因为所以令g（*）=a*2-*+1-a，*∈（0，+∞），（1）当a=0时，g（*）=-*+1，*∈（0，+∞），所以，当*∈（0，1）时，g（*）＞0，此时f′（*）＜0，函数f（*）单调递减；(2)当a≠0时，由f（*）=0，即a*2-*+1-a=0，解得当a=时，，g（*）≥0恒成立.此时≤0，函数f（*）在（0，+∞）上单调递减.当0＜a＜时，*∈（0，1）时，g（*）＞0，此时f′（*）＜0，函数f（*）单调递减；*∈（1，-1）时，g（*）＞0，此时