小学数学讲义秋季五年级超常第6讲神奇的9超常体系

第六讲神奇的9站牌级寒假倍数进阶级春季级暑假合数进阶级秋季级秋季倍数初步数字谜和数论的弃九法释义第9级下超常体系教师版1引入的明珠，它太神奇，太美妙啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱.看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽.可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已！要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研.那么我们今天就研究一下九到底神奇在什么地方？目标1、掌握加减法数字和与9的关系2、掌握多位数的计算中数字和与9的关系3、了解9在余数与数字谜中的应用点回顾9的整除特征：一个数各数位数字和能被9整除，这个数就能被9整除.1. 并检查自己填的是否正确【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数.2. 【分析】1089×9=98013. 12345679思路2 第9级下超常体系教师版1通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A的数字之和为5,B的数字之和为

A+B的和的数字之和为____.(3)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B没有借位,则A-B的差的数字之和为____.(4)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B借了1次位,则A-B的差的数字之和为____.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：超常1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可发现结果为5+3=8;(2)591+58=649,555+904=1459,…可发现结果为15+13-9=19()555535=2051274126=1115-13=2(4)555418119,…可发现结果为13+9=11xx原因:求和时,会将低位的10当成高位的1用,因此数字和会减少9;求差时,会将高位的1【巩固】A的数字之和为46,B的数字之和为54,A+B进位9次,则A+B的和的数字之和为____.【分析】46+54-9×9=1926 1209（学案对应：带号1）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位2次，由例3（1）111111×999999乘积的各位数字之和为______.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_____.（3）1993×123×999999乘积的各位数字之和为______.第9级下超常体系教师版3k个9

k个9

)乘积的各位数字之和为_______．1989个

乘积的各位数字之和为_______.（学案对应：带号2）于是我们采用添项凑整，简化运算.数字之和为9654法2：原式=111111×(1000000-1)213×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……n个3

22...2177...78(n-1)个2(n-1)个7

，则原式数字之和26176863法2：原式9999999222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法3：原式99999992222222222222200000002222222（3）我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是1993×123是有点繁琐．则M×999999=M×（1000000-1）=1000000M-M=abcdef000000-abcdef相减时借位6次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54（4）

999...91000k个9 k个0

MM

的数字之和+9k=9k4 第9级下超常体系教师版1989个1 1989 1989个9 1989 ..99

99...9919891989个

的各个位数字之和为：9×1989=17901奇的九“九九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位；作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。《易经》上说，九数含有吉祥的意思，如果按照"阴阳"来说，奇数为阳，偶数为阴，而九数中最大的，称为"极阳数"。十是一个完美的数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。4根据整除的特征，我们知道一个数能否被9整除，只需要看其各个数字之和即可.而一个数除9样的.（）57359687245735698456789（2）12345678910…99（4）12345678910…20122013的数字之和为A，A的数字之和为B，……，直到某个数字之和为一位数为止，则这个一位数是______.【分析】（1）除以9的余数可以在数中将和为9的数直接划去，再用剩下的数计算余数.结果分，80，，，999第9级下超常体系教师版5 个数直接划去.99可以分成11组连续9个数.因此余数为0.（3）等差数列中9个连续的也可以直接划去.1到99中的奇数共50个.50÷9余数为5，（4）实际是求除以9的余数.2013÷9余6，剩下前6个数.而123456÷9余3，因此最后剩下的一位数为3.【拓展】设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的【分析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以

20092009与A、B、C、D除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而2664除以9的余数为1，所以220092633452633425除以9的余数为各位数字之和不超过9803672324，即A72324；那么A的各位数字之和B9545，B的各位数字之和C9218，C小于18且除以9的余数为5，那么C为5或14，C的【拓展】1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________.写，所得到的数也能被9整除.由于200992232，所以除以9为4.5如果等式成立，则等式两边除以同一个数的余数也一定是相等的.利用这一特点，如果等式两边除以同一个数的余数不相等，则这个等式一定是错误的.在长期的计算中，人们发现用两边都除以9可以比较快的验算出等式是否成立.这种方法也叫弃九法.检验下面的算式是否正确（1）46872×9537=447156404 （2）383831÷253=1517（2）化除为乘，即判断253×1517=383831是否正确.253÷9余1，1517÷9余5，最终左注：弃九法仅能判断出错误，若左右两边余数相等，等式不一定成立.如：18×365=6480.左右两边均是9的倍数，但算式却是错误的.】，1031．.【分析】根据弃九法可得知，乘积是310313171113，适当组合可得知两数为317217和6 第9级下超常体系教师版1113143，和为360.6（1）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=2010

10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，（2）将0-9放入下面的10个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_____.□□□□+□□□+□□－□=2010（3）下面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是_______.最大值是_____.（学案对应：超常3）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数9余数相同.右边的余数是3，当x=3时，左右余数会相等.所以减数处的数字是3.除以9的余数相同.当x=6时成立，即未选中的数字为6.为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位案.-.-75个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是 第9级下超常体系教师版7【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应此所求的最大值为．注：最值问题，需要证明出理论最值，之后构造成功后才行.8下图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，不同的汉字代表不同的数字.如果“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数，并且说明理由.北奥运会京梦想成真于是：“D”＋“E”＋“F”＋“G”为9的倍数而：“D”＋“E”＋“F”＋“G”最大为：8＋7＋6＋5=26最小为：2＋3＋4＋5=14所以：“D”＋“E”＋“F”＋“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“G”分别代表2-8所以：“A”＋“B”＋“C”=2＋3＋……＋8-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四组中的一组：8、7、2 A B DE F 9倍再加原来的数，即为原来的数的10倍。

ABC+DEFGABC035-17=18，说明进了两次位，个位一定向十位进一位，百位一定向千位进一位，所以十位没有向百位进位。所以有CG10,BF1C,进而有BFG9234所以有G2,3,48 第9级下超常体系教师版当G2时，C8:情况1：B3,F4,A=6(8,6,3的组合),有63857426380以下只写正确答案.当G3时，C7,B4,F2,A=6,有64758236470当G4时，C6,B3,F2,A=8,有83675248360所以“奥运会”有836，647，638共3种取值．有人写了一个横式：ABCDEFF=999999,不同的字母代表不同的数字，相同的字母代点总结xk个9k个9

)乘积的各位数字之和k.作业1. 【分析】100-50+5×9=952. 下边的加法算式中，每个“□”内有1个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到

第9级下超常体系教师版9法2：三个数字相加，最高可进2位.上式中均可进2位，因此方框内的数字之和最大为=60

5553332007 2007个3

乘积的各位数字之和为_____.【分析

555333 2007个3

5552007个5

999N999 2007个9 2007个9，N为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为2007×9=18063.4. 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：.自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：1200820082017036，它被9除的余10111213141516171819992000200120022003200420052006200720085. 求4782569352除以9的余数.【分析

47819291，2561394，3521091，4782569351除以9的余数等于1414．6. 将数字1至9分别填入下边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？ 10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845．所以三个加数的10第9级下超常体系教师版6最小是1125．7.

CFDG10 AB【分析】因为ECF9DG10AB，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即10AB是9的倍数，由于AB7815，所以AB8，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的最大值是 十六届华杯初赛 .进一位数字和减少9，0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36，所以共进4位.所以个位和十一需要进两位，有两种可能：9为了让“华杯初赛”尽量大，“”应尽量大，“十”应尽量小(1)班学案【超常班学案1】甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有2次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是____.【分析】9-10+2×9=175a.第9级下超常体系教师版1176.所以，a被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4.【超常班学案3】把0，1，2，…，8，9这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？ 【分析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的134. 【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的最高的前2位和最小为10+10+23+24+34=101，而和的数字均是奇数.因此前三位最小为9.646+3735=11115123班学案5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、712第9级下超常体系教师版

第十一2006【分析】法1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是2现进位，那么“一”“杯”9，“届”“赛”16