小学数学讲义秋季五年级超常第9讲工程问题超常体系

第9讲第九讲站牌级寒假应用题级暑假级秋季级秋季级暑假解应用题工程；多人合作；变速工程；交替施工；水管问题；工程经济释义第9级下超常体系教师版 引入小明买了根超长的面条，不知几百米．小华和小明一起吃需要吃4天吃完，小华和小伟一起吃12困扰了他们三个好几天，小明想了九天九夜，打了九摞草稿，发现三个条件合起来不就是每人算两次么？然后兴冲冲的列下算式：(4612)211（天）．小朋友们，你们同意小明的算法吗？假如我们知道面条有600米长呢？换成60米长呢？学完本讲后再来看看这道题吧！目标1、熟练掌握“工作效率工作时间=工作总量”和基本工程问题解法；2、灵活运用量化总量法、单位“1”法、方程法和列表法等几种常见方法解决多人合作问题；3、学会简单的变速工程问题和交替工程问题．精讲一、基本概念工程问题的三个基本量是工作效率工作时间和工作总量工作效率就是单位时间内完成的工作总量，类似于行程问题中的速度，它是衡量一个人工作快慢的量，简称工效．工作时间成工作总量所需的时间．工作总量工作效率工作时间．问题的本质就是研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系．二、常用方法和技巧工程问题综合性极强，在工程问题背景下，解题方法几乎囊括了鸡兔同笼问题、牛吃草问题、行程问题、和差倍分问题等问题的基本解法，而且与经济问题结合起来以后，能够形成更为复杂的模型，需要用到更复杂的解法．所以同学们在拿到工程问题时一定要擦亮眼睛，认真分析，仔细审题，才能使用正确的方法．关于工程问题有如下一些常用的解题方法和技巧：⒈常规方法⑴量化总量法（整数思想方法，适用于还未从整数思想完全过渡到分数思想的学生）在某一项工程中，甲需要A天完成，乙需要B天完成，而总工作量没有明确指出，而且如果设工程总量为1的话会导致工作效率是一个分数，这样会使计算显得很复杂，这个时候可以假设总工作量为W，其中W[A,B]，这样甲、乙两人每天完成的工作量就可以用整数表示，而不需要用繁琐的分数，从而达到简化计算的目的；⑵单位1”（整数到分数的过渡，已知数到未知数的过渡）者独立完成该工程的工作时间或工作效率来确定他们的工作效率或者工作时间，需要注意此时的工2第9级下超常体系教师版第9讲作效率用分数来表示，前后的单位“1”必须一致；⑶方程法（从未知数到代数的过渡）通过设未知数，根据题意找准工作总量、工作效率和工作时间，利用三者之间的关系，列出方程式求解．方程法不仅仅适用于大多数工程问题，也适用于大多数应用题．⑴基本工程问题一个人干活的问题自然无需多算，基本工程问题考虑至少两个人以上的合作问题，包括简单的程问题里，两人合干要求两人同时开始，同时结束，否则就不叫合作．于是有：也就是合作工效工作时间=合作总量；工作时间也是作为公因数提取出来的，各自在合作中的工作时间也就是合作的时间，所以工作⑵多人合作问题（已知合作求独做）——等量代换包括和差倍分法、比例法和假设法）这类题目包含两种类型的等量关系：一种已知工效或时间之间的和差倍分关系，另一种靠工作总量建立等量关系，前者按照和差倍分问题解决即可，后者依靠总量关系先列出等式，化简后往往获得比例关系，这时设出一个最小的“1份”数来表示其他未知量，和已知数建立起关系来就可以解决问题了．能熟练运用比例法的同学思维相对比较敏捷；在多人合作问题中，如果出现在工作效率和工作时间同时改变而工作总量不变的情况，这种情形非常类似以前学过的鸡兔同笼问题和盈亏问题，这时可以假设相同工作时间，利用多做的部分建立等量关系来解决问题；有些问题不光要求完成工程，更要核算支付的金钱，所以产生了工程经济问题．因为题目一般⑶（已知部分合作求全体合作列表法整体思想列表法不仅在逻辑推理中有用，在很多其他类型的数学题中都很有用，工程问题就是其中之一．当遇到多人共同完成某项工程，且他们在工程完成的过程中有时休息有时工作，从而导致每天完成的工程量都各不相同，或者已知多人中不同的几个人完成工作的情况不同时，用其他方法来解题有一定的难度．而如果采用列表法，把各个工程参与者实际工作情况通过表格的形式反映出来，可以利用将问题中的几个队伍工效合在一起的整体思想或者通过多元一次方程的消元思想解决题目的问题；⑷——合并工程法常规题型为已知三人工效，其中两人各干一项工程，第三人分别帮助两人，使最后同时结束，求帮助时间的问题．基本做法为将两项工程合二为一，按照三人合作的题目来求出完成时间，最后再将两项工程分拆，求出第三人分别帮忙的时间；⑸——转化与方程由于合作、天气等原因，工效发生变化，这时可将特殊条件的工效假设为一个新工程队，而且这个工程队的工效与原有工程队的工效有等量关系，这样就转化为一个多人合作问题，利用上述方法解决即可，此外，用方程法解决变速工程问题也是一种极为方便的方法；⑹——周期与估算在多人共同完成某项工程的时候，有时出现很多人交替完成的情形，这时可以从不同人开始的交替中找出周期性，去掉几个完整周期，最后一个不完整周期按顺序依次微调即可；⑺（注排水工程追及问题第9级下超常体系教师版 对于刚接触水管问题的同学，将水管问题的题干翻译为工程问题可能会帮助其更易理解题意，相比于工程问题而言，水管问题最独特的地方在于排水管，其工效需要减去，同学们可以将其想象为“捣乱的工程队”，与其说是工程问题的一个分支，不如说是工程追及问题更恰当一点；水管问题中的渗水问题中因为假设单位时间的渗水量不变，符合牛吃草问题的基本假设，可以参照牛吃草问题及其变型来解决．⒊易错点分析孩子们容易在时间相加上犯错，尤其在交替工程问题中已知部分合作时间时，最后全加时往往的队作比较，发现合作慢于独做的矛盾，再用提取公因数分析讲解，强调有“同时”条件的题目里，时间不可加．点回顾1.一堆砖，小明每天搬200块，3天搬完，则这堆砖共有___块，小明每天搬这堆砖的____（填分数）．答案：600，12.挖一条1000米的渠道，需要10天完成，则平均每天挖_____米，每天完成全部的_____（填分数）．答案：100，13.一本100页的书，每天看20页，则____天可以看完，每天看完全书的____（填分数）．答案：5，14.仓库里有60吨货物，甲单独10天可以搬完，乙单独15天可以搬完，若甲乙合作，则___天可以搬完．答案：65.仓库里有一堆货物，甲单独10天可以搬完，乙单独15天可以搬完，若甲乙合作，则___天可以搬完．答案：6思路例1：两人合作问题例2：休息问题4第9级下超常体系教师版第9讲例3：等量代换例4：列表法例5：工程经济问题例6：变速工程问题例7：交替工程问题例8：助人为乐问题1有一批零件，由师傅单独做需14天完成，如果和徒弟合做10天完成．如果徒弟单独做，需多少天才能完成任务？(学案对应：超常1)】出，就可以求出他的工作时间．我们可以求出师傅的工作效率，也可以求出师徒合作的工作效率，徒弟的工作效率也就可以求出了．徒弟的工作效率：1111014 徒弟的工作时间：1

35（天）2所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？2727 20 20 法2（假设法）：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的(11)279，超过了单位“1”的940 60

11，则甲休息了115（天）． 3那么完成这件工作需要几天时间？【分析】甲乙合作2天，可以认为甲2天干的活正好补上乙超过规定时间3天的活，这样乙正好在定时间完成任务．

作量．第9级下超常体系教师版

有了上面工作效率的关系，就可以求出甲、乙工效，然后求出规定时间，后面的问题就可甲工效(x2)乙工效(x3)(x2)甲工效(x3)x12所以甲工效

，乙工效

1

（天）甲效：乙效3:2，甲时：乙时2:3，由于甲单独完成的时间与乙单独完成的时间相差

，乙工效

1

成了任务．这条路全长________千米．实际上总共多修的公路即等于按原计划3天修的公路，所以实际

720米 4能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要18天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？(学案对应：带号1)【分析】首先将各个小队之间的组合列成表：从表中可以看出，一队、三队在表中各出现3次，二队、四队、五队各出现2次，那么，6第9级下超常体系教师版第9讲如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了3次．所以五个小队的工作效率之和为：

1 11 ++2+1298

，五个小队一起合干需要1=6

【拓展】水池上安装有A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门注水．如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用的时间如下表A、BC、DB、C试求注水效率最高的水管几小时可以将空池注满？放水效率最高的水管几小时可以将满水池水放完？【分析】∵五管效率之和为 1 612

，E为出水管，效率为：11111，A为进水管，效率为111012 60；11119，B为进水管，效率为19 60；115，D为进水管，效率为5312 12；511，C为出水管，效率为1 4；∴注水效率最高的是D管，注水时间为：1 2.4（小时）放水效率最高的是C管，放水时间为：1 4（小时）5一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？(学案对应：带号2)【分析】⑴甲、乙、丙、丁的工效和是：

甲的工效是：1311

；乙的工效是：1311 丙的工效是：1311；丁的工效是：1311． 可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天．要确⑵甲、乙、丙每天需要的工程款27004560元；甲、乙、丁每天需要的工程款28004070元；第9级下超常体系教师版 乙、丙、丁每天需要的工程款28803680元；甲、丙、丁每天需要的工程款27003090元．甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为(60708090)3100元．1006040元．如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付30902700元；如果由丁队来完成，需要支付40722880元．将两者进行比较，丙队的总工程款更少，所以工程应该交给丙．尔伯特旅馆假设有一家旅馆，里面有很多房间，但所有的房间都已经住满客人．这时来了一位新客人，想订一个房间，旅馆主人只能抱歉地说：“对不起，所有的房间都住满了．”现在又有一家旅馆，里面有无限个房间，而且所有的房间也都客满了．这时也来了一位新客人，想订一个房间，这时旅馆主人却说：“不成问题！”接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间，就这样继续移下1我们再假设一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人．这时又来了无数位想房间的客人．“好的，先生们，请等一会儿．”旅馆主人说．原来他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去．现在，所有的都腾出来了，新来的无数位客人也都可以住进去，问题解决了！此时，又来了无数个旅行团，每个旅行团有无数个旅客，只见这个老板不慌不忙，气定神足的去解决问题了．同学们，你能猜猜旅馆主人怎么解决这个棘手的问题的吗？6的天数是多少？【分析】法1：在晴天，甲队、乙队的工作效率分别为10和16，甲队比乙队的工作效率高113；在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为11016

队的工作效率比甲队高131．20100 由3∶115∶8知，8个晴天15个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的8050

151.25

，所以在施工期间，公有81.256.4个晴天，151.2512个雨天．8第9级下超常体系教师版第9讲x1

队在下雨天的工作效率是：

所以有：

1 x y1 1 ，解得：x y1

x

易错点分析：在晴天，甲队、乙队的工作效率分别为10和16，甲队比乙队的工作效率高113；在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为11016

队的工作效率比甲队高131．20100 80:50

15:8

知，8个晴天15个雨天，忽略了此时其实已经完成工程的1.25倍，而实际上只需要45的时间，即6.4个晴天，12个雨天即可．3【分析12÷

3600÷6060（个）……甲工效3600÷5072（个）……乙工效

7蓄水池有甲丙两条进水管，和乙丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需5小时，要排光一池水，单开乙管需4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有6池水，如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少小时后水开始溢出水池？【分析】甲、乙、丙、丁各开1小时后，水池中的水就增加： 注意每次四个水管轮流打开后，水池的水不能超过池的23 4 所以甲、乙、丙、丁循环次后，水池中的水还不到3，所以第五次循环不会有水溢出．第9级下超常体系教师版 循环5次后（20小时）池中的水已有：175 由甲注入

31 43

（小时）204小时后开始溢出．（1）如果甲、乙、丙、丁四个人同时打字，那么需要多少小时完成？么需要多少小时完成？（3）能否把（2）题中所说的甲、乙、丙、丁的次序做适当的调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时？如果不能，请说明理由；如果能，至少说出一种轮流次序，并求出能提前多少小时完成打字任务？分析（1作效率为 2420161280198016小时完成

76=1 再由甲做1小时，还剩下11= 120的工作量未完成；原来少用了

73=17 530（小时）＞半小时【铺垫】一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做第四天甲做，样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独完成这项工程需要20天，则甲单独完成这项工程需要多少天？(mn)(mn)(mn)m1(nm)(nm)(nm)n0.5m1m=知n

1,10第9级下超常体系教师版第9讲即甲单独完成这项工程需要1 8现有甲、乙、丙、丁四个工程队，甲、乙、丙各接受一个工作量相同的工程．这四个队单独完成一，（(学案对应：超常4)“完工”所以共需用时间：

1 28 乙的工程还剩：1 丙的工程还剩：1 于是，乙队帮甲、乙工作的天数分别为：

x3010，

y30

丁帮丙工作的天数为：1 从而，得到x,y不全是整数的矛盾结论．

（天）18天．从而，甲、乙、丙三队是在第19天“内”完工的．由于x,y皆为整数，所以：x 18

9 19 28

⑵丁帮乙工作的天数y不多于： 18 30

y6，乙的工作时间为： 6 24

>19∴

y7．

第9级下超常体系教师版11

y；且丁队帮丙队天作的天数（未必是整数）为4 15．（教师可以在学生做本题掉入陷阱后铺垫一个内容：区别同一天完成和同时完成，最好先改题让学生自己发现寻找乐趣，然后引导．此外教师还要清楚常规助人为乐问题并非这么难，而是像铺垫题这样，属于整体法的一种）【铺垫】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵．已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然甲种了9002425900600300（棵），也就是3003010（天）．所以乙在开始后第，2

，师傅每小时加工多少个1. ，共同合修了多少天才完成【分析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为1111，6天完成的工程量为1101215

有干的天数： 2102. 实际每天生产50个零件．若干天后，乙车间完成了任务甲车间还剩一部分未完成，这时，甲乙两车间合作，2天后全部完成问：这批零件有多少个12第9级下超常体系教师版第9讲3. 42？【分析】首先将各个小队之间的组合列成表：32果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了3次．所以五个小队的工作效率之和为：

2

，五个小队一起合干需要1

4. 如图，有一个正方体水箱在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？11于打开一个出水孔，则需要用65分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这65分钟内的出水量等于进水管5分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：51，同理可60 知打开两个出水孔时两个孔出水量为：121，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔60 时多出了72657分钟水，所以一个孔每分钟出水量为：(112)72512

开一个孔的实际出水时间为：1135（分钟）．这说明在前面的653530分钟内 即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水．11水．所以，开三个出水孔所需的时间为：30 ( 60

第9级下超常体系教师版135. 完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？【分析】丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:359:7来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配．

983

人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45369人，乙村帮丙村派出了35323人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按9:33:1来分配给甲、6. 3

而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟【分析】法1：首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成2006010（米），开始的时候甲的速度比乙快1 3，也就是说乙开始每分钟完成为问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间．这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125（米），比实际少了法2：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案．我们不妨设乙开始每分钟清理的3，甲每分钟可以清理4，60分钟之后，甲一共清理了460240份的工作量，乙和他的工作总量相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3，换工具后的工作效率为6，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了7. 一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？【分析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：135716，246820， 此时剩下的工作量为1(1620)1．还需甲做112（小时）， (1357)(2468)

8. 一项工程甲先做若干天后由乙继续做2时前来帮忙，待工程完成6时离去，14第9级下超常体系教师版第9讲结果恰按计划完成任务其中乙做了工程总量的一半如果没有丙的参与替甲后一 33天完成3倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的43倍，所以乙、丙合做这13的工程所用的时间为10(41)10天．那么乙的工效为1 10(1) 了工程总量的一半，所以乙工作的天数为1120天，其中有10天是乙、丙在合做， 另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的111 7，根据题意，这7 4031012 12的工程如果由甲独做，只需要20614天，那么甲的工效为14 ．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天点总结1.工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量．2.工作效率是单位时间内完成的工作总量．3.工作时间是完成工作总量所需的时间．4.工作总量工作效率工作时间．5.解决工程问题的常规方法有：量化总量法、单位“1”法、方程法．6.多人合作问题的解题方法有：和差倍分法、比例法、假设法、列表法．作业1. 队合作4天，余下的工程由乙队单独做，还要多少天才能完成？

第9级下超常体系教师版152. 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了15天才完成．问甲休息了几天？【分析】在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了15天，完成了全部工程的1 1 3. 一项工程，甲、乙二人合作5天完成;乙、丙二人合作4天完成;乙先做6天，剩下由甲、丙合作2天完成．若乙单独做，完成工程需要多少天？间为20法2：设甲1人需x天，乙1人需y天，丙1人需z天，工程量为单位“1”，可得：111，x y y 1 2 z

，解得：x5，y20，z 故乙单独做，完成工程需要204. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲丙两人合作需60天完成．问甲一人独做需多少天完成？1丙两人合作每天完成145，甲、乙、丙三人合作每天完成

)2 ，减180 去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成111，甲独做需要1190（天） 5. 一项工程34天，需支付工程款2400元；甲、丙两队合干需27天，需支付工程款2400元．如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？【分析】甲、乙一天完成工程的 12512；乙、丙一天完成工程的 13415；甲、丙一天完成 12720．所以，甲的工效为

(574)21；乙的工效为511；丙 2015 的工效为 ．甲、乙一天需工程款 22082

24003640

2840

工程款为840560280（元）．单独完成整个工程，甲队需工程款56042240（元）；乙队需工程款36062160（元）；丙队需工程款280102800（元）．所以应该选择乙队．6. 两项工作量相同的工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成工作要12天，二队完成工程16第9级下超常体系教师版3636需要用1121第9讲要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【分析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为12和15，一队比二队的工作效率高1215601；

比一队高

由1:1 5:360100

知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的 7. 工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作。那么（1）完成任务时共用了多少小时？少小时呢？（1）本题解法中要注意估值．甲每小时完成全部工程的1 12，乙每小时可完成全部工程的1214小时可完成全部工程的57 ，这时全部工程还剩下1 没有完成．甲独做全 工程的

（2）如果把乙独做完成工程的时间改为“15”小时，其他条件不变，那么甲、乙交替工作2小时将完成全部工程的113，于是，甲、乙交替工作12小时可完成全部工程的1215 6

1 剩下的部分是111，乙还要用1012 136015 8. 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物．开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲______小时，帮乙______小时．【分析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所总时间为 2( ) 在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是1217，所以丙帮甲搬了

1 的货物，丙帮甲做的时间为 814 14小时，帮乙32小时．第9级下超常体系教师版17超常班学案【超常班学案1】甲、乙两人共同完成一件工作．如果甲、乙两人合作2天后，剩下的由乙单独做，．求完成这件工作规定的天数【分析】第一种情况，除去甲工作的两天，还剩下1

，都是乙做．设规定需要x天完成，用乙的工作效率列方程

，所以x24．【超常班学案2】甲、乙合作一件工作，由于配合好，甲的工效比单独做时提高65，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件30尚未完成如果这件工作始终由甲一人单独来做需要多少小时【分析】本题关键是要根据两人合作时的工作效率和，求出两人单独做时的工作效率．第二天乙单做6小时完成的工作量是：1 故乙每小时完成的工作量是：161； 36

故甲单独做时，每小时完成的工作量是：161

1 10

所以甲单独做这件工作需要的时