小学数学讲义暑假五年级第14讲必胜策略超常体系

第十四讲站牌五年级秋季神奇的级春季情况考虑级暑假级暑假级春季智巧趣题的数学称思想释义第9级上超常体系教师版1引入我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。这个故对策论这门新兴学科。今天我们将研究游戏中的必胜策略。目标1.掌握对策问题寻找胜局的方法；2.利用数论的知识解决相关的对策问题．精讲小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．对策问题研究的是一个“活的”对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面．这种局面称作“胜局”，么在一种游戏规则下，是否存在“胜局”？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键．概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题．对策问题的3个最基本要素：①局中人在一场竞赛或．他们为了在对策中取得最终胜利定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞”策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．2 第9级上超常体系教师版思路1根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？胜。获胜，如果双方都采用最佳方法，那么谁将获胜？【分析】每次可以和对方凑11。2012÷11……10，甲可以先取走10个，之后乙拿走n个，甲就拿2根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？(学案对应：带号1)【分析】显然，每次只能取走奇数根，55只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜。3向下，向右或向右下走一格．如图中棋子可以走入A、B、C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？(学案对应：超常1)CBCB 第9级上超常体系教师版3保证每次走之后向下和向右都是偶数格，就行了，甲必胜法2:（倒推法，选讲）要想最后一步走到右下角的方格1中，必须让对方倒数第二步走入2“3的方格中；依次类推，倒数第六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到B32胜．因此，甲就必胜．弈论中诺贝尔奖关，分别为：J1996年，授予英国剑桥大学的詹姆斯•莫里斯（JamesA.Mirrlees）与美国哥伦比亚大学2001年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的乔治•阿克尔洛夫（GeorgeA.Akerlof）生于1940年、美国斯坦福大学的迈克尔•斯宾塞（A.MichaelSpence）和美国纽约哥伦比亚大2005年，授予美国马里兰大学的托马斯•克罗姆比•谢林(ThomasCrombieSchelling)和耶路•2007年，授予美国明尼苏达大学的里奥尼德•赫维茨（LeonidHurwicz）、美国普林斯顿大学的埃里克•马斯金(EricS.Maskin）以及美国芝加哥大学的罗杰•迈尔森(RogerB.2012年，授予美国经济学家埃尔文•罗斯（AlvinE.Roth）与罗伊德•沙普利因（LloydS.一门工具学科能够在经济学中如此广泛运用并得到学界垂青实为罕见。4甲、乙两人玩数字游戏，他们按甲先乙后的顺序轮流在“□□□□□□”的任一方框里填1～9中的一个数字(数字可重复)。规则是：填完的六位数如果是N的倍数，则乙获胜，否则甲获胜．问：当N为1到15中的哪些自然数时，甲能获胜？【分析】N=1,乙胜.N=2,4,6,8,10,12,14时，甲胜，甲只要在个位填奇数即可．4 第9级上超常体系教师版3N=5，15时，甲胜，只要个位不填5即可．谁有必胜策略？【分析】甲一上来必填E，否则乙在E填1，肯定不是4的倍数，于是甲需要在E填一偶数，如果有必胜策略。5子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．如果甲先移，甲是否有制胜的策略 2 3 4 5 6 …… 20072008这样每次甲移动后还剩下4的倍数格，而乙每次移动后剩下的格数都不是4的倍数，所以【拓展】有一堆石子，小张和小刘两人玩取石子游戏，两人轮流取，轮到自己取的时候，可以取1颗、3颗或4颗，谁取到最后一颗谁赢。第一局一开始只有1颗石子，以后每一局开始的石子颗数1假设小张和小刘都是足够聪明的人都会选择最优的策略，小张一共赢了多少局【分析】先从比较简单的石子数讨论，找出输赢的规律。213颗，从而先取者赢。6赢。取者赢。98赢。者赢。第9级上超常体系教师版51416个数为止．如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜．⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略?必胜策略是怎样的?(学案对应：超常4)划一个数，甲就划去与乙划去的数同组的数，这样最后必然剩下两个在同一组的数．由于同组的数都是互质的，所以甲必胜．⑵乙有必胜策略．无论甲如何划，乙在前47次只划去奇数，并且留下3，9，15这三个奇3，7，时的棋子数的因数，规定谁取完盒中的棋子谁输如果甲先取，谁有必胜的策略“余下奇数粒，因为奇数的因数一定是奇数，所以乙只能取走奇数粒，于是余下偶数粒．甲再取奇数粒，乙只能再取奇数粒，如此下去，甲每次取棋子时盒中都有偶数粒棋子，因而甲必定不会取走最后一粒，因为每次余下的棋子数逐次减少，而1又是任何整数的因数，所以必定有一人取走最后一粒棋子，而这个人只能是乙．至于甲每次取棋子的粒数，可以根据每次余下棋子数的具体情况来取，也可以采取更简单的方法：每次取1粒棋子．由于1是任何整数的因数，又是奇数，所以这种方法满足上面的必胜策略．8。，2数呢？(学案对应：带号4)6 第9级上超常体系教师版8【铺垫】甲、乙两人轮流在黑板上写1～20之间的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不能再写了，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？【分析】甲先写1，那么乙什么都不能写了，甲胜取走棋子谁就败．甲要保证必胜，第一次该取走 【分析】到某个人取时，首先取完后剩0颗就可以获胜，这样记0是他的一个获胜点．同样可以推7、8、9、10．这样11应该是获胜点，因为这个点的三种取法都只能取到失败点．这样很容易看出失败点是比获胜点多的．将1-100的获胜和失败点全部推出，其中有下划线的数博弈假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应97槽边，收益比是∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果小猪选择等待还是按控制按钮。小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择等待的原因很简单：在大猪选择行动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到4个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅可以获得大猪吃剩的1个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小1么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。点总结对策问题的3个最基本要素：①局中人在一场竞赛或争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞“”策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得第9级上超常体系教师版7失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．均以同样的速度沿正方体的棱动，任何时候它们都知道彼此的位置预判爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案【分析】1、其中一只蜘蛛先不动，控制正方体的其中一个面，我们定义这个面为A1面。A面。开始追击爬虫，另一个面的蜘蛛则不动，不论爬虫如何逃跑，爬虫和追击的蜘蛛始终能保持的最大距离为2个棱的长度，随着爬虫的移动，爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离为1个棱的长度，这时等待的蜘蛛出击，必然能抓到爬虫。2.桌子上放着两堆糖果，一堆x颗，一堆y颗，A和B轮流对这些糖果进行如下操作。①操作者先选择吃掉其中一堆糖果；相等）留给对方操作。，。A况下A有必胜策略？A的必胜策略是什么？【分析】从简单想起：………的时候，A必胜。必胜策略是：吃掉另一堆，并把剩余的一堆（被5除余4、0、1的）分成两个被5除余2或余3的数。如果两堆都是2、3、7、8、12、13……（被5除余2、3）里面的数时，A必输。【深思】其实能够发现，被5除余2或3的数拆成两个正整数时一定至少有一堆会是被58 第9级上超常体系教师版3.桌上有15根火柴甲乙两人轮流取火柴，每人每次可以取一根或质数根，取到最后一根者为胜方，问甲应如何取才能取得胜利？【分析】从简单情况入手分析寻求一般规律：18……形式的数时，甲先取，就存在必胜策略．作业1. 果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【分析】80÷（1+9）……0，甲不管先取几根，乙都能和甲凑10，最终乙胜。2. 只能向下或向右走一格．如图中棋子可以走入A、C两格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？CB【分析】一共差8个格，每次走一个格，所以肯定要走8次，肯定乙赢。3. 如图，在棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格．二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者．问必胜的策略是什么？第9级上超常体系教师版9【分析】先走者胜，可知每走一步，行或者列要走一个奇数格，那么现在距离胜利剩9行9列，可以先走一步对角线，现在差8行8列，对方无论怎么走，一定会让行或者列差奇数个，先手的任务就是把奇数个都变成偶数个，最后就胜利了。4. 请你参加一种游戏：有2011个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中1个、2个、4个或8个，谁最后把棋子取完，就算获胜．如果你先取，那么第一次你取多少个？先取的人有一个必胜的办法，如果你已想出这个办法，请写出来．【分析】由于每次只能拿1个、2个、4个或8个，如果先拿者每次拿后剩下的棋子数能被3整除，这样对方拿后剩下的数一定不能被3整除，由于8412，1+8＝9，426，1+2＝3.因此不论对方拿了几个，先拿者再拿时又一定能使剩下的数被3整除．因为0能被3整除，5. 甲、乙两人玩数字游戏，甲先乙后，他们轮流用1~9中任一数字（数字可重复使用）代表五位谁有必胜策略？【分析】甲，因为甲写最后一个数字，1~9中必有一个能让数字和是9的倍数，所以甲胜。6. 9999最后的两张上的数是互质数，则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜．问：甲要想获胜应该怎样抽取卡片？【分析】甲抽１，把剩下的数两两分组为2,3，4,5，…，98,99，无论乙抽何数，甲都抽同组另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻，必定互质，甲胜．从上面的分组方法可以看出，甲第一次不一定要抽1，实际上第一次他可以抽其中的任何一个奇数，然后把剩下的数每相邻的两数分为一组即可．7. 甲，乙轮流从1～17这17个数中标记数，规定：（4）不能标记已标记数的

现在甲先标记了乙要保证自己必胜乙接着应该标记【分析】甲标记了8后，4和16就不能再标记。剩下的数分成以下几组：第一组（，6，12后一个可标记数是乙标记的。乙必胜。10第9级上超常体系教师版8. 的任何因数都不能是黑板上已写的数最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，能胜？必胜策略是什么？3～9呢？93班学案开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？22右；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走，就能发现甲走完之后向上和.方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜【超常班学案】甲、乙两人玩数字游戏他们轮流在数7□82□”的方框里填一个数字规则是：怎么填如果没有说明理由2只要在较小的和中填一个数是较大的和比较小的和大1，甲就获胜。所以甲在左边的方框里填6.此时这个六位数变成了7682□6,从而所有奇数位数字的和是62614,偶数位数字和为78□15□，现在乙想让奇数位上的数字和与偶数们上的数字和的差是11的倍数，只能在方框里填10,而这是不可能的，所以甲有必胜策略。或甲在右边的方框内14，8，…(2的任何次方)根火柴．谁先无火柴可取谁输．试问：在正确的玩法之下，谁会取胜？是先动手取的，还是其对手？【分析】先动手的会取胜．他只要在每一次都只取走一根或两根火柴，使得桌上所剩的火柴数目是由于他都只能取走2k根(k为自然数)，所以剩下的根数a都不是3的倍数；于是第二次时，先开始之人只要取走a被3除的余数根(1根或2根)，即可使所剩根数仍恢复为3的倍数，这表明先动手的人不会输．人轮流擦去其中的一个数，由小明先擦，小聪后擦，若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．：小聪和小明谁有必胜策略说明理由不互质．第9级上超常体系教师版11123班学案根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？