小学数学讲义寒假六年级寒超常班教师版下

第4讲第四讲组合模块综合选讲（一）知识站牌六年级寒假

六年级春季组合模块综合选讲六年级秋季抽屉原理进阶（一）六年级秋季数字谜中的计数六年级暑假最值问题综合主要是对加乘原理的计数方法技巧进行归纳总结，学习排列组合问题在解决应用题的一些解题技巧。组合原理的复习。漫画释义第12级上超常体系教师版 经典精讲容斥原理二量重叠：总量=满足一个条件的减去满足两个条件的，再加上满足零个条件的；三量重叠：总量=满足一个条件的减去满足两个条件的，加上满足三个条件的，加上满足零个条件的。抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式：抽屉原理2：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于m1排列组合公式： 排列数公式：Anmn(n1)(n2) (nm1) 组合数公式：

Cmn

n(n1)(n2) (nm1)m! 关于组合数的几个重要结论：C0Cnn

1

CmCnmn

C0C1C2 Cn2nn n n 例题思路模块一：例1、容斥原理例2、抽屉原理模块二：例3、加法原理例4、乘法原理例5、排列例6、组合模块三：例7、极端分析例8、构造2第12级上超常体系教师版第4讲例190于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．【分析】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040人，即x3x40，得x10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人．例2个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公因数大于1．数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数得证．组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，468，98100)(391521279399)(571113171923，…，95，97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二数，显然大于1．问题得证2）任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．【分析】设这11个数为a1，a2，a3，……，11，由5个数的结论可知，在a1，a2，a3，a4，a5中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设a1a2a33k1；在a4，a5，a6，a7，a8中必有3

a4a5a63k2；在a7，a8，a9，10

，a中必有3个数，11其和为3的倍数，不妨设a7a8a93k3．又在k1，k2，k3中必有两个数的奇偶性相同，不妨设k1，k2的奇偶性相同，那么3k13k2是6的倍数，即a1，a2，a3，a4，a5，a6的和是6的倍数3）证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．【分析】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可．从这6个点中随C之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3点组成蓝色三角形，也符合条件．所结论成立第12级上超常体系教师版 例3

n

约分为最简分数，其中n是小于120的正整数．请问共有多少个不同的最简分数，它的分子只有一位数？【分析】1202603404305246208151012，故：最简分数之分子为1时：分母有2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120等共15种可能，即有15个不同的最简分数；最简分数之分子为2时：分母有3、5、15等共3种可能，即有3个不同的最简分数；最简分数之分子为3时：分母有4、5、8、10、20、40等共6种可能，即有6个不同的最分数；最简分数之分子为4时：分母有5、15等共2种可能，即有2个最简分数；最简分数之分子为6时：不可能发生；最简分数之分子为7时：分母有8、10、12、15、20、24、30、40、60、120等共10种可即有10个不同的最简分数；最简分数之分子为8时：分母只有15这1种可能，即有1个最简分数；最简分数之分子为9时：分母有10、20、40等共3种可能，即有3个不同的最简分数；因此共有153624101344个不同的最简分数．例4想去南极城S旅游，它只能沿着棱往南走或横向走动，并且每个城市至多只去一次．那么这只小松鼠有 种不同的旅游线路可以选择．【分析】把上面的五个顶点称为“第一层”，下面的五个顶点称为“第二层”．从N进入第一层共有5种走法；进入第一层时，在进入第二层之前，可以一格不走，也可以顺时针走1~4格，或者逆时针走1~4格，共有9种走法；从第一层进入第二层有2种走法；进入第二层时，在进入S之前，与上同理分析，共有9种走法；从第二层进入S有1种走法．综上所述，根据乘法原理，共有5×9×2×9=810种走法．4第12级上超常体系教师版第4讲四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Fourcolortheorem)最先是由一位叫古德里（FrancisGuthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（AugustusDeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了方向。例51）用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【分析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；不同的两位数，共可组成248(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成A333216(个)不同的三位数，共可组成6424(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有A4432124(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有A554321120(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177(个)能被3整除的数，即3的倍数．2）用数字1～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法． 1～8中被3除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被3除所得余数以3位为周期”，所以8个数字，第1、4、73、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法．第12级上超常体系教师版 例65奇数个，那么共有________种不同的放法． 55的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有6个空格．由于棋子的数目较多，直接考虑棋子比较困难，可以反过来考虑6个空格．由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个．那么每行每列的空格数可那么这4个空格所在的列或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4个，只能为0个或2个．则肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个空格，如下：其中□表示空格，棋子的方格，其它的方格则全部有棋子．相当于每行每列选择1枚棋子)有3216种选法，所以总共有1006600种不同的放2）在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？⑴有3名内科医生和2名外科医生；⑵既有内科医生，又有外科医生；⑶至少有一名主任参加；析】

⑴先从6名内科医生中选3名，有C3

654321

种选法；再从4名外科医生中选2

C24

4321

种选法．根据乘法原理，一共有选派方法206120种．⑵用“排除法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有

C510

10987654321

2522526246种既有内科医生又有外科医生的选派方法．

4321

140

876321

选派方法．根据加法原理，一共有14056196种选派方法．例76第12级上超常体系教师版mmabc .① mmabc ，易知m8.将m8,9,10,11,代入 mmabc ，仅有2个解： 第4讲用57个边长等于1的小等边三角形拼接成一个内角都不大于180度的六边形,小等边三角形之间既无缝隙,也没有重叠部分.则这个六边形的周长至少是多少?【分析】这个六边形的周长至少是19.60小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部份，内角只能是120度.否则，如果出现内角度，且由三个60构成，即等于180，不可能.（2）选出六边形互不相邻的三条边，其他三条边长分别记为a,b和c，均为整数.如图，延长这三条边，可以交出一个大三角形，因为六边形的内角都是120度，因此所交出的这ac的三个等边三角形和原有的六边形拼接出一个大的等边三角形，因此六边形的周长等于（3）边长分别为a,b和c的三个等边三角形相当于分别用a2,b2和c2个小等边三角形拼接， （4）显然，六边形的周长从上式立刻可得abc

33mabcm2

1.②（5）若m11.由2 ①m9,a2,b2,c4，六边形的周长是19；②m10,a3,b3,c5，六边形的周长是19.例8若干台计算机联网，要求：①任意两台之间最多用一条电缆连接；②任意三台之间最多用两条电缆连接；③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆．若按此要求最少要用79条电缆．问：(1)这些计算机的数量是多少台?第12级上超常体系教师版 (2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?【分析】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件③表明图是连通图．(在圈上去掉一条线)，从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉．考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的．用同样的办法又可去掉一点及一条线．这样继续下去，最后从一点A向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线．合要求的联网．下面看看最多连多少条线．设与A1不相连的点是A2，A3…，m，则m+k=80，而A2，A3…, m每一点至多引出k条线，图中至多有mk条线，因为

mk(mk)2≤(mk)26400所以m×k≤1600，即连线不超过1600条．另一方面，设80个点分为两组：A1,A2…，40

；B1，B2…，B40第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有40×40=1600条线打数学家名字1．虎丘游春；2．博览群书．答案：1苏步青；2．张广厚．家庭作业 这样的数共有_______个．8第12级上超常体系教师版第4讲【分析】容斥原理，被2整除数有500个，被3整除数有333个，被5整除数有200个，被6整除案为1000－500－333－200+166+100+66－33=266个。 1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?【分析】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数．43为最小值，即为所求.3.从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？【分析】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，评注：1～2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；m为正整数). 袋子内有12颗珠子，规定每次只能从中取出2颗、3颗或4颗珠子．要将袋子中的珠子全部取光，请问共有多少种不同的取法？例如：以下是其中三种不同的取法：(1)先取4颗，再取3颗，再取3颗，最后取2颗；(2)先取2颗，再取3颗，再取3颗，最后取4颗；(3)先取2颗，再取2颗，再取2颗，再取3颗，最后取3颗．【分析】取2颗珠子有1种方法；取3颗珠子有1种方法；取4颗珠子有2种方法；取5颗珠子有2种方法；取6颗珠子有1124（种）；第12级上超常体系教师版 取9颗珠子有11种方法；取10颗珠子有17种方法；

不同的放法．【分析】分4步完成：第二步放B，由于不能和A放在同一行或同一列，放B的行数和列数都会减少1，所以根据乘法原理，共有16×9×4×1=576（种）不同的放法． 从0到9这十个数字中任选四个数字，组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？

从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问450420(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即A28756，由乘法原理，有1556280(个)．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742(个)．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分析】

2

C26

21

15

小组，有158120场；4

C24

4321

场，共4个小组，有6424场；10第12级上超常体系教师版第4讲根据加法原理，整个赛程一共有120244148场比赛． 写出11个不同的自然数，使得它们中的每一个都是它们的和的因数，且使得这11个数的和最小： 个数和的倍数，这几个自然数中一定要有2，3，5．就是这几个数的和一定是2，3，5的公倍数．据此解答．根据以上分析知：30的因数除了1和它本身只有2，3，5，6，10，15共6个因数，不合题意．120的因数除了1和它本身只有2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60共14个因数其中1，2，3，4，5，6，8，12，15，24，40的和是120，符合题意．故答案为：1，2，3，4，5，6，8，12，15，24，40．第12级上超常体系教师版11第5讲第五讲应用题模块综合选讲知识站牌六年级寒假应用题六年级秋季应用题模块综合选讲综合（二）六年级秋季经济问题六年级暑假应用题综合（一）六年级暑假浓度问题济类问题等知识点。漫画释义第12级上超常体系教师版 AA甲溶液与混合溶液的浓度差 B经典精讲一、鸡兔同笼问题，假设法，或列方程解应用题。二、经济问题经济问题主要相关公式：

0%

0%

售价=标价×折扣三、浓度问题浓度问题相关公式：溶液=溶质+溶剂，浓度=

常用方法： 十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达：

2.列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．四、工程问题率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。⑴解题关键一项工程看成一个单位，运用公式：工作效率工作时间量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。例题思路模块一：例1、鸡兔同笼问题例例2、工程问题例3、比例应用题例4、5、分百应用题模块二：例6、浓度问题例7、经济问题模块三：例8、综合应用题2第12级上超常体系教师版第5讲例1三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀，116条腿．其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜒是2对翅膀6条腿，蝉是1对翅膀6条腿，问这三种昆虫各多少只？【分析】蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿．因此，先从腿数入手，求出蜘蛛的只数．我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为618108(条)，所差1161088(条)，是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的．所以，应有8(86)4(只)蜘蛛．这样剩下的18414(只)便1际数少20146(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求6(21)6(只)，蝉有8只．此题也可用方程。例2

1了几天？析】

如果A工程的工作量是1，则B工程的工作量是1

1 ，三4 量是14 4 420 24

183，24 剩下的工作量是丙完成，所以丙与乙合作的天数是1115（天）230例3运动会男女运动员比例为17:13，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20:17；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为25:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多214人，则现在的总运动员人数为多少？析】男女比例，统一不变量：男：女=17:13=(2017):(2013)=340:260=(34019):(26019)=6460:4940男：女=20:17(2017):(1717)340:289(34019):(28919)6460:5491男：女=25:19(25289):(19289)7225:5491女子艺术体操运动员为54914940551份，男子象棋项目运动员72256460765例4第12级上超常体系教师版 数5给小林，这时两人各有邮票

24张，两人原来各有邮票多少张？【分析】倒推还原法一般列表格比较方便241130 181127 3027121方法二：小林给小丽而小丽还未给小林前小丽有： 3 解得x21

241

2）甲、乙、丙三堆石子共196块.先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次。结果丙堆石子数为甲堆的22。那么原来三堆石子中，最少的一堆石子数为多少?析】由题中条件知，甲堆最后的石子数为甲堆第一次分给另外两堆后数的2×2=4倍，那么最后甲堆的石子数为4的倍数；又因为丙堆石子数为甲堆522，所以甲堆石子数应为22的倍数．[4，22]=44，所以甲堆最后的石子数为44的倍数，丙堆最后的石子数为10的倍数．（1）当甲堆最后的石子数为44时：此时丙堆为奇数块，而丙堆在乙堆分配后应为甲堆分配后块数的2倍，为偶数块，所以不满足．（2）当甲堆最后的石子数为88时：4第12级上超常体系教师版第5讲显然满足．验证甲堆最后的石子数为132时，不满足．所以在原来的三堆石子中，最少的一堆是丙堆，石子数为27块．最少的一堆是丙堆，石子数为27块同意第二天把驴带来给他。第二天，Kenny却发现他得到的是一头死驴。Kenny很不高兴，但是农民拒绝把钱还给他，还说：“我并没告诉你这是一头活的驴子呀。”一个月以后，农民遇到了Kenny，农民问他：“那头死驴后来怎么样了？”Kenny说：“我靠它赚了499美元。”农民觉得很惊讶。Kenny说：“我举办了一次幸运抽奖，并把那头驴作为奖品，我卖出了600张票，每张1块钱，就这样我收了600块钱。”农民好奇地问：“难道没有人对此表示不满？”Kenny回答：“只有那个中奖的人表示不满，所以我把他买票的钱还给了他，最后扣除成本100元，我赚了499美元。”许多年后，长大了的Kenny成为了安然公司的总裁。例5辅导员给参加夏令营的某一组营员发苹果，给第一个人1个苹果和余下的

112，给第2个人2个苹果

112，又给第3个人3个苹果和余下的

1相同，问共有多少个苹果？这一组共有多少人？析】（法1）设第2个人分到(2x)个苹果，则第一个人分过后还剩(212x)个苹果，则第一个人分到的

(1

212x)11

x1

212x11

1每人分得2911（个）苹果，苹果总数为：1(111) 121（个）或212911121（个），12（法2）设有n个人，由于最后恰好分完，所以第n个人分到n个苹果后苹果恰好分完，而第(n1)个人则分到n1个苹果后又分到余下苹果的111，由于第n个人和第(n1)个人分到的苹果数相等，所以第(n1)个人又分到余下苹果的1 12为1个苹果，所以第n个人分到1 111个苹果，即12n11，1111121，故共有121个苹果，这一组共有11个人．n

1(n1) n，11n11n11n，n11。有，解得11人。11例6第12级上超常体系教师版 相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【分析】由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的．这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金中两种合金的质量比2）A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%，它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水．如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克，那么A瓶盐水有多少克？【分析】设C瓶盐水有x克，则B瓶盐水为x30克，A瓶盐水为100(xx30)702x克．则所以A瓶盐水为：7021050(克)．例71)商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180件，于是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利2300元．求商店一共进了多少件衬衫？析】则以100元售出的衬衫和以80元售出的衬衫的数量相等，也就是说除了这30件衬衫，剩下的衬衫的平均价格为90元，平均每件利润为10元，如果将这30件100元衬衫也以90元每件出售，那么所有的衬衫的平均价格为90元，平均利润为10元，商店获利减少3010300元，变成2000元，所以衬衫的总数有200010200件．20些衬衫中有的按利润为10元售出，有的按利润为20元售出，于是将问题转化为鸡兔同笼问题.可求得按100元价格售出的衬衫有50件，所以衬衫一共有50150200件衬衫．（法3）假设全为90元销出：180(9080)180（元），可以求按照100元售出件数为： 2)书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者（包含200元）优惠5%。每次买价是第三次书价的8。问：这位顾客第二次买了多少钱的书？析】8x元。6第12级上超常体系教师版第5讲也就是说合买的总价属于200元至499.99元这个范围之内，或句话说第一次和第二次合买的总价为270元，那么三次合买的总价为270x元。下面分类讨论：②若200x500，那么必有x27050（不然的话就与第一种情况相同了），可列方程 3，解得x248，符合条件。顾客第二次购买书的价钱为

5248115元。8例8 才能把这些箱货物一次全部运走。【分析】有人认为19.51.513，因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走。这就完全把题意理解错了。因为货物是整箱装的，每辆汽车不一定能满载。请先看一个反例，它说明15辆车不一定能一次运完。1只箱子的重量是236千克，那么总重量为3016423619500（千克），即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨，因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装41560（只）重量为301千克的箱子。这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了。说，每辆汽车可以装4只重量为301千克的箱子，并外加1只重量为236千克的箱子。所以，16辆汽车足够一次运完这些箱货物。问题到这里仍然没有彻底解决。因为每箱货物的重量只要求不超过353千克，除此别无具也能一次运完全部箱子：12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，12315（辆）车就装完原来前12辆车上的全部货物，总重量超过1.51218（吨），而且每辆车载重不超过1.5吨。于是剩下未装车的箱子总重量不足19.5181.5（吨），可以把它们全部装在第16辆车上运走。第12级上超常体系教师版 去哪挣钱更多？有甲、乙两个公司招聘经理。甲公司年薪10万元，每年提薪一次，每次加薪2万元；乙公司半年薪金5万元，每半年提薪一次，每次加薪5千元。问去哪个公司挣得的薪水更多？答案：去乙公司挣得的薪水更多。家庭作业 两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？【分析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题．观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿．因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数．我们假设三种动物都是6条腿，则总从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数11313(对)，比实际数少20137(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求 甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数

12，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的3，丙生产了50个。这批玩具共有__________个。 条件“乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的3”可得到：乙生产的个数三人生产个数之33

4x，所以丙生产了x

3 xxx。所以4

5x50 40，4这批玩具一共有120个。8第12级上超常体系教师版第5讲 袋子里红球与白球的数量之比是19:13．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋子里共有 只球．【分析】根据第一次操作白球的数量不变，把19:13改写成57:39，5:3改写成65:39．第二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把13:11改写成65:55，这时我们可以看出，经过两次操作后，红球共增加了65578份，白球增加了553916份．原来红球有 一捆电线第一次剪去全长

14多

3米，第二次剪去剩余的

12

米，最后剩余10米，这捆电线的长是多少米？【分析】此题可用倒推法来做。 1 10512131 2 2 3 3 43454电线全长为60米。

辅导员给参加夏令营的某一组营员发苹果，给第一个人1个苹果和余下的

110，给第2个人2个

110，又给第3个人3个苹果和余下的

1苹果数量相同，问共有多少个苹果？这一组共有多少人？析】（法1）设第2个人分到(2x)个苹果，则第一个人分过后还剩(210x)个苹果，则第一个人分到的

(1

210x)9

x1

210x9

1每人分得279（个）苹果，苹果总数为：1(91) 10（法2）设有n个人，由于最后恰好分完，所以第n个人分到n个苹果后苹果恰好分完，而第(n1)个人则分到n1个苹果后又分到余下苹果的19，由于第n个人和第(n1)个人分到的苹果数相等， 10为1个苹果，所以第n个人分到1 109981，故共有81个苹果，这一组共有9个人．n

1(n1)n，9n9n9n，n9。有，解得9人。9 季，为了加快资金周转，服装店按定价的七折出售，将剩下的童装全部卖出，这样所得的利润%第12级上超常体系教师版 营业税300元．服装店买进这批童装花了（）元．析】解得ab=2500，所以服装店买进这批童装花了2500元． 有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%，42%，28%，其中甲瓶有11千克。先将甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为35%的糖水。请问：原来丙瓶有多少千克糖水？【分析】对甲、乙混合用十字交叉法：甲63% 49%

故乙溶液有11×21=22kg乙42% 1433kg49% 35%

故丙瓶溶液有33×21=66kg?g28% 148.货运公司要用若干辆最大载重2.1吨的汽车一次性搬运总重18.6吨的货物。为方便搬运，公司把这18.6吨货物包装成若干箱，每箱重量相同。由于包装规格所限，每箱的重量不能超过320千克，且包装好后，货物只能整箱搬运，不得拆箱。请问：要保证一定能一次搬运所有货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重量为多少千克？【分析】（1）考虑最不利的情况，让每辆车浪费的空间尽量多。由于每一箱最多是320千克，因此每辆车最多浪费不超过320千克载重。那么我们计算一下需要几（2）若需要11辆车来运走，那么每辆车必须浪费多于21001860010240（千克）载重。15620859

千克，不符合条件；56

2100304

6270

5630461千克。10第12级上超常体系教师版第5讲第12级上超常体系教师版11第6讲第六讲行程模块综合选讲知识站牌六年级秋季变速问题年级寒假行程模块综合选讲六年级暑假多次相遇与追及五年级春季比例法解行程五年级寒假时钟问题复习小学阶段学习的所有行程模块中的知识。包括公式类行程、方程法解行程、比例法解行程。漫画释义第12级上超常体系教师版 的路程和的路程的路程2nN经典精讲一、行程问题基本公式：路程速度时间，二、比例法由于S甲V甲T甲，S乙VT乙，有如下关系：三、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：

同一出发点的直线型多次相遇问题的路程和2n1例题思路模块一：例1、平均速度例2、比例法例3、多人相遇或追及例4、多次相遇或追及模块二：例5、变速变道例6、时钟问题模块三：例7、8：综合例12第12级上超常体系教师版vv 120 86 60vv 120 86 60第6讲A从B地经C地驶往A地，已知两车同时出发，相向而行，结果两车同时到达C地后，甲车因两车之间的距离为ykm，如图的折线表示y与x之间的关系。（1）甲车的速度是多少千米/小时？（2）乙车的速度是多少千米/小时？（3）如果两车开始出发时间是早上8：00，那么D点所表示的时间是几点？（4）从D点的时间开始，又过了多少个小时两车相距90千米？此时的时间是几点？【分析】⑴9006150（千米/时）乙 （千米⑵乙 （千米84820，那么D点所表示的时间是20点.⑷9090603时，再过3时，20323时例2一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶3把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【分析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：A 10 因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍，乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信第12级上超常体系教师版 A 10分钟 10分钟B 5分钟 10分钟5分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟若丙先去追及甲，因时间相同丙的速度是甲的3倍，比甲多走两倍，甲走需要20分钟，所以丙用时间为：20÷（3－1）=10（分钟）此时拿上甲拿错的信 当丙再回到B点用10分钟，此时乙已经距B地有10+10+10=30回甲应该送的信例3A二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．【分析】如图所示：A D E C 甲 丙假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处．根甲走的路程的6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么

(6ADAD)2

AC

3.5AD

5，可见CD AC．那么丙从C到D所用的时77，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(AC加BC，即全程)的5

5CDCE4907

350

而CDCEDE210，可得CD280，CE70．4第12级上超常体系教师版第6讲相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为240460(米/分)，即乙每分钟走60米．当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的2103，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都490

37例4如图，甲、乙两艘快船不断往返于A、B两港之间。若甲、乙同时从A港出发，它们能否同时到达下列地点？若能，请推出它们何时到达该地点；若不能，请说明理由：（1）A港口；（2）B港口；（3）在两港口之间且距离B港30千米的大桥。【分析】（1）甲往返一次的时间是180 3010300

135h

乙往返一次的时间是180 .5h，501050013.5和7.5的最小公倍数是67.5，

（2）设甲、乙能同时到达B港，此时，甲、乙各完成了m,n次往返（m,n是自然数），则有1803010

13.5m

1805010

7.5n即 9m15n。当m的个位数是6或1时，有满足上式的自然数n。，最小的m=1,最少需要4.5+13.5=18小.,。①若此时甲、乙向下游行驶，则1503010

13.5m

1505010

7.5n

135m125.75n，②若此时甲、乙向上游行驶，则180 30103010

13.5m

180 50105010

7.

第12级上超常体系教师版 ③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则180 30103010

13.5m

1505010

7.5n即 27m715n④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则1503010

13.5m

180 50105010

7.5n即 9m5n当m的个位数是0或5时，有满足上式的自然数n，所以在甲、乙出发后的1503010

13.55c3.7567.5cc

0,1,2,小时，它们同时到达大桥。1503010

苏步青和他的行程题当苏步青教授在德国访问时，一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每410即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路？本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果。但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同。由此便能求出答案：有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试这样思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪明！例5如图，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4

15．当小王到达

6第12级上超常体系教师版第6讲就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分从A至B下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；A至D全程长是(36+54)×

660+30×

560=11.5千米．例61）从10点到11点之间，时针与分针在何时互相垂直？2）3点到5点之间，分针与时针在什么时刻位于一条直线上？3）8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?4）一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放映了多长时间？55早上8时，手表和闹钟都对准了标准时间，到了晚上8点，手表指示的是什么时刻？【分析】⑴10点时，分针与时针夹角为60度，分针速度为6度/分，时针为0.5度/分，速度差

5(9060)5.5511分，即10点

5511分第一次垂直；2(18030)5.53811分第二次垂直。第12级上超常体系教师版 4⑵在3点与4点之间，3点1611分时分针与时针在一条直线上；3点

14911分时分针与时针在一条直线上。在4点与5点之间，4点

92111分时分针和时针重合，4点

65411分时分针和时针成一条直线针走过40x格，所以时针、分针共走过x40x40格．于是，所需时间为140(112

12)36分钟，即在8点13

123613分钟为题中所求时刻．4）根据题意可知，时针恰好走到分针的位置，分针恰好走到时针的位置，它们一共走了一

5360(60.5)5513（分）走了60分，即时间正确。所以，晚上8时时，手表指的也是晚上8时例7地送信。一分钟后又派出第2号信使用比1号信使快1米/分的速度向B送信，一般地，第k分派出第2014号信使用比第2013号快1米/分的速度向B送信。每个信使都是匀速行进。问其中哪些号的信使能同时到达B地？ 2014 nmm 191共4对。例8的次序：12341 8第12级上超常体系教师版第6讲3米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。【分析】从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在A、B两点处相遇（本题中，虽然在B处时两人人的速度之比为3:5，那么两人跑200米所用的时间之比为5:3．设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单

4020035 3个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是说，出发后40456003 也可以画表如下：从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在B点，经过30个时间单位后两人同在A点，经过45个时间单位后两人同在B点，这是两人第三次相遇．答案是40456003 第12级上超常体系教师版 某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。答案：把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想象有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。家庭作业 武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C地营救受困群众，途经B地时，将所携带的