2017-2018学年全国高中联合竞赛加试(B卷)数学试题

2017-2018学年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）设实数a,b,c满足a+b+c=0,令d=max{a|,|b|,|c|}，证明：|（1+a）（l+b）（l+c）'1—d2二、（本题满分40分）给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集+A,A,,A，每个子集A中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab-cd=m.l2ki三、（本题满分50分）如图，点D是锐角AABC的外接圆®上弧BC的中点，直线DA与圆®过点B,C的切线分别相交于点P,Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，求证：AT平分线段XY.四、(本题满分50分)设a,a,,ag{1,2,,5}，b,b,,bg{1,2,,10}，集合l220l220X={(i,j)|1<i<j<20,(a-a)(b•-b)v0}，求X的元素个数的最大值.ijij试卷答案证明：当d>1时，不等式显然成立以下设0<d<1，不妨设a,b不异号，即ab>0,那么有(1+a)(1+b)=1+a+b+ab>1+a+b=1—c>1—d>0因此|(1+a)(1+b)(1+c)|>|(1-c)(1+c)|=1-c2=1-|c|2>1-d2二、,m+1证明：取k=m+1，令A={xx三i(modm+1),xeN}，,m+1i设a,b,c,deA，贝yab一cd三i•i一i•i=0(modm+1)，=m=m故m+1|ab—cd，而m+1|m，所以在A中不存在4个数a,b,c,d，满足ab-cdi三、AXAYTOC\o"1-5"\h\z证明：首先证明YX//BC，即证=XCYBSSS连接BD,CD，因为AACQ•AABC=aacq，SSSAABCAABPAABPAC•CQsinZACQ1AC•BCsinZACB1AC•AQsinZCAQ所以4•4=岭一-AB•BCsinZABC-AB•BPsinZABP-AB•APsinZBAP22由题设，BP,CQ是圆①的切线，所以ZACQ=ZABC，ZACB=ZABP，又ZCAQ=ZDBC=ZDCB=ZBAP(注意D是弧BC的中点)，于是由①知AB•AQ=CQ②AC•APBP因为ZCAQ=ZBAP，所以ZBAQ=ZCAP，S于是才A购SS于是才A购SAACP1AB•AQsinZBAQ2AC-APsinzcapAB•AQAC•APS1BC•CQsinZBCQcqWABCQ=2=_QS1BpSABCPBC•BPsinZCBPBPS入S入CBQSABCP由②，③，④得疋沁SAACPSS即AABQ=AACPSSACBQABCPSAABQ乂SAABQ乂SACBQAXAY故=—XCYBAXSAACPSABCPAYys设边BC的中点为M，因为AX•CMBYXCMBYA所以由塞瓦定理知，AM所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T,故由YX//BC可得AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数(勺—a解：考虑一组满足条件的正整数(勺—a20,b1,b2,,b20)对k=1,2,,5，设a,,a中取值为'k的数有t个,••根据X的定义，当a=a时,TOC\o"1-5"\h\z120kij(i，力申X'…因此至少有为C2个(i,j)不在X中，注意到另tk=20，则柯西不等式’我k=1k=1工C2=1•(工12-工t)>1•(丄(工t)2-工t)=1•20•(空-1)=30

2kk25kk25k=1k=1k=1k=1从而x的元素个数不超过C2-30=190-30=16020另一方面，取a=a=a=a=k(k=1,2,,5),b=6-a(i=1,2,,20),4k-34k-24k-14kii则对任意i,j(1<i<j<20),有(a-a)(b-b)=(a-a)((6-a)-(6-a))=-(a-