(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)

第二章离散型随机变量及其分布律第二节一维离散型随机变量及其分布律习题Page551、一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用表示所得球上的数字，求的分布律。解答：因为只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以的分布律为：-3122/63/61/62、在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用表示其中的次品数，问的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数为时，即有个次品时，则有10-个正品。所以：的分布律为：。3、一个盒子中有个白球，个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。设此时取到的白球数为，求的分布律。解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数等于，则第示第次取到的是白球；表示第次取到的是黑球。则的分布律为：次取到是黑球，以表。4、汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。以表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律。解答：因为只有3个路口，因此只可能取0、1、2、3，其中个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以相互独立。因此的分布律为：表示没有碰到红灯。以表示第，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以，，，。5、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率为用表示3个零件合格品的个数，求的分布律。。解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以表示第个零件是合格的，则。因表示零件的合格数，因此的分布律为：，，，。6、设随机变量的分布律为，式中为大于0的常数。试确定常数的值。解答：因如果是随机变量的分布律，则应该满足如下两个条件：1、对任意的，。，因此可得；2、，所以可得7、设在每一次试验中，事件发生的概率为0.3，当发生次数不少于3时，指示灯发出信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解答：因为进行的是独立试验，所以如进行次试验，则事件在次试验中发生的次数服从参数为和的二项分布。因为当在次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，。第一小题中的等于5，第二小题中的等于7。计算即可。8、某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于。9、把一个试验独立重复地做次，设在每次试验中事件出现的概率为，求在这次试验中至少出现一次的概率是多少。解答：同上一题，次试验中出现的次数服从参数为和的二项分布。因此，所要求的概率等于。10、甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，如果甲首先射击，求：（1）两人射击总次数的分布律；（2）甲射击次数（3）乙射击次数的分布律；的分布律。解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令表示甲第次射击时射中，则（）；令表示乙第次射击时射中，则。由此可知：（1），，（2）+（3）。11、一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。的泊松分布。求（1）一分钟内恰好有8次呼叫的概解答：因每分钟受到的呼叫数，因此，而==0.008132。（查表得到）12、某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数，因较大，而较小，因此可利用泊松定理近似计算，则令，即近似认为。即，查表可得等于0.090204。13、设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？解答：因每月耗用零件的数量，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量小于等于月初所备的零件数，也就是，查表可得。。14、设服从泊松分布，且，求解答：因，即。，由此可得，所以15、设服从参数为的泊松分布，即，求使得达到极大值的，并证明你的结论。解答：因,因此如果，则，而若，则。所以，若存在正整数使得，则取得最大；而若存在正整数，则，求和同时达到最大。16、设随机变量，若。解答：因，所以，由此可得。所以。17、设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次品数的分布？解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数只可能取0、1、2，因此的分布律为。第三节二维离散型随机变量及其分布律习题Page621、设二维随机变量可能取的值为，相应的概率为。（1）列表表示其联合分布律；（2）分别求出和的边缘分布律；（3）分别求在（4）求和条件下的条件分布律；。解答：由题意可得二维随机变量的联合分布律及和的边缘分布律为：-101/31001/121/35/1221/6001/61/41/605/121/41/315/12（3）条件概率的定义得：，，；，，。（4）。2、在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只球，用和分别表示第一个和第二个球的号码。（1）求的联合分布律；（2）求在条件下的条件分布律；（3）问和是否独立？为什么？（4）把摸球从不放回改成放回抽样，问此时和是否独立？解答：（1）的联合分布律为：1122/3036/302/303/3006/30（注）3/30236/302/30注：。（2），因此，在条件下的条件分布律为：1232/52/5（注）1/5注：。（3）因为，所以和并不独立。（4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球和第一次毫无关系，因此由题意即可得知这两个随机变量是相互独立的。3、用和分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设和的联合分布律为。（1）试求和的边缘分布律；（2）求条件分布律和解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：（1），；（2），。4、设二维随机变量的联合分布律如下表所示，问表中取什么值时，和独立。11221/61/331/9x1/18y解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：，得：，验证可知正确。5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率；（3）写出它们的联合分布律。解答：以表示甲投中的次数、表示乙投中的次数。由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得的联合分布律为：001231230.0017280.0120960.0282240.0219520.0077760.0544320.1270080.0987840.0116640.0816480.1905120.1481760.0058320.0408240.0952560.074088其中：。由此可得：。第四节离散型随机变量函数的分布律习题Page661、设的分布律如下表所示，试求（1）+2；（2）；（3）的分布律。-2-1/21/40241/81/81/61/3解答：-2-1/20241/801/43/21/821/641/36-4-1/40-4-1699/4119由此得到：（1）的分布律为：03/21/42461/81/81/61/3（2）（3）的分布律为：-4-1/41/40-167/241/81/3的分布律为：19/41/497/2411/242、设和独立，解答：因和独立，则,求+的分布律。，，即。3、相互独立，都服从0-1分布，其分布律为，，，求证：。解答：因为相互独立，都服从0-1分布，因此的可能取的值为，，事件=，由此对任意，即。4、设的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）；（2）；（3）的分布律。解答：因为的联合分布律如下表：1123232/306/302/306/306/303/302/303/300因此：（1）的分布律为：234512/30（注）2/3010/306/30注：。（2）的分布律为：24615/30（注）10/305/30注：。（3）的分布律为：-3-2-101215/30（注）2/306/302/302/303/30注：。5、设的联合分布律如下表所示，001231230.030.040.050.04450.000.010.010.010.010.020.030.020.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求在（2）求条件下的条件分布律；的分布律；（3）求的分布律；（4）求的联合分布律；的分布律。（5）求解答：（1），0123451/262/264/265/266/268/26注：。（2）的分布律为：123450.040.160.28（注）0.240.28注：。（3）的分布律为：01230.280.300.25（注）0.17注：。（4）的联合分布律为：001231000020.020.020340.060.07（注）0.090.0650.040.070.0500.070.060.050.060.090.080.060.050注：。（5）的分布律为：123456780.240.020.060.130.190.190.120.05注：。6、设随机变量独立，分别服从参数为和的泊松分布，试证：解答：，且和相互独立，所以（例2.13）：。因此：，。复习题Page681、掷两粒骰子，用表示两粒骰子点数之和，表示第一粒和第二粒点数之差，试求和的联合分布律，并讨论和是否独立。解答：以表示第一粒骰子的点数、表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量和相互独立，且。则和的联合分布律为：。它们的联合分布表如下表：-523456789-4000001/36000-300001/3601/36000-20001/3601/3601/36000-1001/3601/3601/3601/360001/3601/3601/3601/3601/36011/3601/3601/3601/360201/3601/3601/3601/3601/3603001/3601/3601/3601/36040001/3601/3601/36000500001/3601/36000000001/3600001011121/3601/360000000由随机变量独立性的定义可知，和相互不独立。2、设相互独立，。可取任意非负整数值，试求：和解答：因相互独立，则。。3、在盒子中有只球，分别标上号码，现有放回地随机摸次球，设是次中得到的最大号码，试求的分布律。解答：令表示第次摸到球的号码，则可得。由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件。即。4、设在贝努里试验中（成功的概率为），直到第次成功出现就停止试验，到此时为止所进行的试验次数为，求证：。解答：假设到第次成功时已进行的试验次数为，则我们可以知道，在第次试验是成功的，并且在前试验中有次试验是成功的、有次试验是不成功的，但显然的是：这次成功的试验可以发生在前试验中的任意次。并且由于每次试验是相互独立的，因此，我们可得。5、作5次独立重复试验，设，已知5次中至少有一次不发生。求发生次数和不发生次数之比的分布律。解答：以表示在5次独立重复试验中发生的次数，则。已知至少有一次不发生，令表示发生次数和不发生次数之比，则可知的概率分布律为：01/42/33/24/180/242（注）32/24280/24240/24230/242注：。。6、设（1）求相互独立，且服从相同分布的分布律；（2）求的分布律。解答：（1）；（2），。7、设随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。1/241/81/83/81/121/41/43/41/61/21/31解答：因随机变量相互独立，因此，继而得到，即得：，，，由，得到，，，。第三章连续型随机变量及分布习题3.1（p.86）1、设随机变量的分布律如下表所示，0127/23/81/31/81/6试求的分布函数，并利用分布函数求。解：2、函数在下列范围内取值⑴；⑵；⑶；它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？解：作为连续型随机变量的密度函数，在定义范围内满足①⑴⑵⑶；②且当时，，故可作为连续型随机变量的密度函数；，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；，但当时，，故不可以作为连续型随机变量的密度函数。3、要使下列函数成为密度函数，问式中的参数应满足什么条件（是已知数）？⑴；解：任意。⑵解：①②，，，③，，4、设连续型随机变量的分布函数为⑴求常数；⑵求的密度函数；⑶求解：⑴，，。连续，，⑵⑶5、设随机变量的密度函数为⑴求未知常数；⑵求解：⑴。⑵6、设随机变量的密度函数为⑴⑵求的分布函数，并画出和的图形。解：⑴，，，⑵，，，，7、设随机变量的密度函数为求，，。解：⑴⑵⑶8、设在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解：倘若方程有实根，则9、在区间解：当当上任意选取一点，用表示该点的坐标，试求坐标的分布函数和密度函数。是不可能事件，时，时，依题意，是某一常数。而是必然事件，故，所以，从而，于是当时，是必然事件，，故有10、在内任取一点，用表示点到底边的距离，上的高的长度为，求的分布函数和密度函数。解：，；，，概率为梯形面积和整个三角形面积之比，即为，故有11、设⑴求，，，；⑵求常数，使解：⑴。⑵12、设测量误差的密度函数，⑴求测量误差的绝对值不超过30的概率；⑵如果接连测量3次，每次测量相互独立，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。解：⑴，⑵设表示“测量误差的绝对值不超过30”，13、一工厂生产的电子管寿命服从参数为和的正态分布，，若要求，问最大允许为多少？解：，从而，，即允许最大为31.25。14、某地会考中学生成绩服从正态分布，现知不及格人数占总数15.9%，96分以上占总数2.3%，问成绩在60～84之间的占总数多少？解：①②由①，②得：15、设某元件寿命是个随机变量，其密度为问在1500小时内⑴三个元件中没一只损坏的概率；⑵三个元件全部损坏的概率。这里假设三个元件是否损坏是相互独立的。解：⑴⑵16、设随机变量的密度函数为用表示对进行三次独立重复观察中事件出现的次数⑴求的分布律；⑵求。解：⑴⑵17、设随机变量服从在上的均匀分布，现在对进行4次观察，试求至少有2次观察值大于3的概率。解：第三章连续型随机变量及分布习题3.2（p.105）1、设的联合分布函数为,⑴求参数⑵求的值；的联合密度函数；⑶求和的边缘分布函数和边缘密度函数。解：⑴，，⑵⑶，，2、设的联合密度函数为⑴求和的边缘密度函数；⑵求和。解：⑴当时，当时，⑵3、设的联合密度函数为，分别求的边缘密度函数⑴解：当时，当时，⑵解：当时，当时，⑶解：当时，当时，⑷解：当时，当时，⑸解：当时，同理，⑹解：，同理，4、设的密度函数为求下列事件的概率⑴；⑵；⑶⑷；⑸⑹已知时，的概率。解：⑴⑵⑶⑷⑸6、第3题各随机变量是否独立？解：若随机变量和相互独立，则不独立。，因此⑴、⑵、⑹相互独立；⑶、⑷、⑸7、设二维随机变量在图示的区域上服从均匀分布。试求⑴的联合密度和边缘密度函数；⑵求解：⑴落在区域内的概率。当时，当时，⑵求交点，，；，8、设相互独立，在上服从均匀分布，的密度函数为⑴求和的联合密度函数；⑵求。解：⑴因为和相互独立，所以⑵9、设一电子器件包含两个部分，分别用和表示它们的寿命（单位：小时）。设的联合分布为⑴问和是否独立；⑵求。解：⑴，因为，所以和相互独立。⑵10、设服从二维正态分布⑴设参数⑵若，写出它的联合密度函数和边缘密度函数；的联合密度函数为求参数和的值，并写出和的边缘密度函数。解：⑴；⑵由公式，，，；12、设的联合密度函数为求证：和的边缘分布分别为。（注记：本题说明，即使布。）的边缘分布分别为正态分布，也不能保证联合分布函数为二维正态分解：当时，当时，（式中高斯积分，且即为偶函数，故，同理，）。第三章连续型随机变量及分布习题3.3（p.122）1、⑴设的密度函数为求的密度函数。解：，，，严格单调。由，则。当时，⑵若的密度函数为，求的密度函数。解：解法同上，2、设随机变量在上服从均匀分布⑴求解：的密度函数；，，严格单调，由时，，得。当⑵求的密度函数；解：当，，严格单调，由，得。时，⑶求解：的密度函数。，，严格单调，由，得。当时，3、设，求下列各随机变量函数的密度函数。⑴；解：当，严格单调，由得。时，⑵；解：，分段单调，由得。当时，⑶求解：。，分段单调，由得。当时，4、设的密度函数为求的密度函数。时，解：当，分段单调，当时，，严格单调，5、设的密度函数为⑴⑵分别求出解：⑴在当的密度函数。内，严格单调，，。时，⑵在内，分段单调，，。当时，6、设电流是一个随机变量，它在安培内均匀分布，若电流通过欧姆的电阻，求功率的密度函数。解：当，严格单调，，时，7、设的密度函数求的密度函数。解：令，，8、设独立同分布，服从指数分布，密度函数为求⑴；⑵的密度函数。解：⑴，当，当，⑵9、设独立，在上服从均匀分布，服从参数为1的指数分布，求的密度函数。解：，当当当，，；，10、设相互独立，，，令⑴；⑵；⑶，求各的密度函数。解：⑴⑵，，⑶，11、设某种商品每周的需要量是一个随机变量，其密度函数为并设各周的需要量是相互独立的，试求⑴两周需要量的密度函数；⑵三周需要量的密度函数。解：⑴，和独立同分布，；当时，⑵，和相互独立；当，时，12、设的密度函数为⑴求的密度函数。；当时，解：，，13、在长为的线段上随机地任取两点，求这两点间距离的密度函数。解：，，14、假设一电路装有三个同种元件，其工作状态相互独立，且无故障时间服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障时电路工作正常，否则电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间的概率分布。解：，15、设独立同分布，其密度函数求的密度函数，并求。解：当独立同分布，故；时，时，当，。16、设某种元件寿命近似服从小时的概率。，随机地选取4只，求其中没有1只寿命小于180解：故所求概率为。第四章随机变量的数字特征习题4.1期望（P136）1.一整数等可能性地在1—10中取值，以记除得尽这一正数的正整数地个数，求。解：2.已知随机变量，验证：。解：3.设在某一规定的时间段里，某电气设备用于最大负荷的时间（单位：分）是一个连续型随机变量，其概率密度为求。解：4.已知在搜索时间内发现沉船的概率为求为了发现沉船所需的平均搜索时间。解：记为搜索时间，则5.已知连续型随机变量服从柯西分布试验证其数学期望不存在。解：＝＝＝发散6.已知二维随机变量的联合分布律如表所示，求，。解：7.设二维随机变量在区域上服从均匀分布，求，。解：8.一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布（1）随机地取一页，求在这一页上错误不少于2个的概率；（2）随机地取4页，求在这4页上错误不少于5个的概率；（3）随机地取8页，求在这8页上错误不少于5个的概率解：（1）（2），，（3）习题4.2（P146）1.设随机变量的分布律如表所示求。解：2.设随机变量的概率密度为求的数学期望。解：（1）（2）3.对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的数学期望。解：设直径为，其密度函数为球体积是一个随机变量。4.试求连接以为半径的圆周上一已知点和圆周上任意点的弦长的数学期望。A解：设过A的直径为AB，AB和弦的夹角为，则在上服从均匀分布5.公共汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望值（准确到秒）。解：设乘客到达的时间为，则其密度函数为则乘客等候时间的期望为6.设随机变量的概率分别为求。解：（1）（2）7.设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求。解：（1）(2)独立。=独立.(3)8.设随机变量的概率密度为试确定常数，并求。11解：9.承习题4.1，第6题，求。解：设10.设二维随机变量服从二维正态分布，其概率密度为求随机变量解：的数学期望。11.将只球放入只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能性的，求有球的盒子数的数学期望。解：设则12.将只球随机地放进只盒子中去，一只盒子装一只球，将一只球装入和球同。号码的盒子中，称为一个配对，记为配对的个数，求解：设习题4.3（P159）1.设离散型随机变量的分布律如表所示求方差和均方差。解:2.随机变量服从几何分布，其分布律为：求。解:3.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过。解:设4.已知随机变量解:，且，求。5.随机变量的分布函数为求。解:6.设随机变量服从指数分布，其概率密度为其中为常数，求。解:7.设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中为常数，求。解:8.设二维随机变量在区域上服从均匀分布，求，，。11解:同理同理9.设随机变量解:由相互独立，且，求。10.设随机变量相互独立，都服从参数为的泊松分布，求，。，求，。解:(1),(2)11.某射手每次射击结果可表示为随机变量，且已知现独立地射击三次，记随机变量为三次中射中的次数，（1）若，求；（2）若记为射击9次射中的总次数，求解:。P(1)(2)12.设在同一组条件下独立地对某物的长度进行了次测量。又设要进行的第次测量的结果为，它的是随机变量且所有的数学期望和方差。服从。试计算次测量结果的平均长度解:13.袋中有球3只，编号为1,3,5。袋中有球5只，编号为2,4,6,8,10。甲从袋中有放回地摸球三次，乙从袋中有放回地摸球二次。求五次摸球中所摸到的球的号码之和的数学期望和方差。解:设A袋中摸球3次号码之和3579111315PB袋中摸球3次号码之和468101214161820P14.已知随机变量相互独立，且它们的分布律分别如表所示若，求。解:15.证明：如果随机变量相互独立，则解:16.一台设备由10个独立工作的元件组成，每一个元件在时间发生故障的概率为0.05。设在时间发生故障的元件数为随机变量，试用契比雪夫不等式来估计和它的数学期望的离差（1）小于2的概率；（2）不小于2的概率。解:=(1)(2)17.已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200－－9400之间的概率。解:习题4.4（P172）1.已知二维随机变量的联合分布律如表所示：求。解:01P2.设随机变量具有概率密度试求。解:(奇函数在对称区间上积分为零)3.设随机变量具有概率密度求。解:4.设随机变量解:，且令，求证不相关。(奇函数)所以不相关.5.已知随机变量服从二维正态分布，的概率密度。，求解:6.两随机变量解:的方差分别为25及36，相关系数为0.4，求。7.随机变量相互独立，且已知。若，，其中为常数，证明：随机变量和之间的相关系数为。解:8.设随机变量的联合分布律如表所示验证：和不相关，但和不是相互独立的。解:不相关但而所以不相互独立.第四章复习题（P177）1.袋中有五个相同的球，印有号码1,2,3,4,5。任取三个球，用表示取出的三个球的号码之和，并求。解:取球1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;设为三球之和6789101112P2.设随机变量的概率密度为求。解:3.设随机变量的分布函数为求及。解:4.设散型随机变量仅取两个可能值和，而且。这里以概率取，还假定的数学期望，方差，求随机变量的分布律。解:12P0.60.45.已知随机变量的概率密度为：又令，求的概率密度。解:即6.方向盘有整分度为，如果计算角度时是把零头数化为最靠近的正分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望和均方差。解:设误差为,它在(-0.5,0.5)内服从均匀分布7.航海雷达的环视扫描显示器是半径为的一个圆，由灯塔反射回来的信号光点均匀分布在这个圆内，求光点到圆心距离的数学期望和方差。解:8.设随机变量（1）若相互独立，并且。，求，求（2）若解:的概率密度函数。相互独立,所以(1)(2)9.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量是个随机变量，它服从正态分布，其数学期望为50千克，均方差为2.5千克，问装多少袋水泥能使总重量超过2000千克的概率为0.05。解:查表得10.设解:和，用契比雪夫不等式估计的最小值。11.已知甲投篮命中率为，设表示甲在18次投篮中投中的次数，用契比雪夫不等式估计家在18次投篮中投中9到15次的可能性。解:12.设随机变量的概率密度为试求：（1）系数；（2）。解:(1)(2)同理13.袋中有2只红球，4只黑球，任取3只，设分别表示取出红球数和黑球书。求。解:00123000000012000114.若随机变量的概率密度是偶函数，且，求。解:设的密度函数为则15.已知三个随机变量中，，设，求。解:=16.二维随机变量的联合分布律如表所示：求：取何值，能使不相关。解:第五章大数定律和中心极限定理复习题Page1941、设是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为的泊松分布。记，试用中心极限定理计算。解：由中心极限定理可认为，则。2、一部件包括10部分。每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解：由中心极限定理可认为总长度，则。3、一个加法器同时收到20个噪声电压。设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布。为加法器上受到的总噪声电压，求解：由中心极限定理可知，则4、计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）问几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解：（1）由中心极限定理：误差总和，因此。（2）由题意得：，即，即。5、设船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于的概率为，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500到30500次纵摇角度大于的概率为多少？解：由中心极限定理可知：在90000次破浪冲击中，纵摇角度大于的次数，则。6、某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工作等常需停工，设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的且在开工时需电力1千瓦。问应供应该车间多少千瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。解：由中心极限定理可知：在同一时间开工的车床数，又由题意可知，供应的电力数应满足：，即，。7、抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受。应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解：设检查个产品，则由中心极限定理可知：其中的次品数，由题意可知：，即：，。8、甲、乙两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？解：设每个戏院设有个座位，由题意及中心极限定理可知：每个戏院的观众数，因此可得：，即，。9、已知某厂生产一大批无线电元件，合格品率，某商店从该厂任意选购个这种元件，试问在这6000个元件中，合格品的比例解：由中心极限定理可知：6000个元件中的合格品的数目，因此和之差介于之间的概率是多少？。第六章数理统计基本概念和抽样分布第一节数理统计基本概念Page2031、设总体分布为下述情形（1）；（2）服从参数为的指数分布；（3），为取自总体的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律（或联合密度）。解答：（1）因，所以，故样本空间为，，；（2）因，所以，故样本空间，；（3）因，所以，故样本空间，。2、设样本观察值中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为，取得频数分别为，，显然有样本均值，样本方差。（1）求证：（2）有一组；的样本观察值，其数据如下，试求、。0815374623解答：（1）=。（2），，3、设为取自正态总体的一个样本，其中未知但已知。问下述样本函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？（1）（5）；（2）；（6）；（3）；（4）；。解答：因统计量是样本的连续函数且不包含任何未知参数。由题意，未知但（2）不是统计量外，其余5个都是统计量。已知，因此可知除4、在计算样本均值和样本方差时，常常对数据作线形变换，使成为较简单的整数以简化运算，求证：。其中：，。解答：因为所以；，。5、设某工厂生产轴承，从某天的产品中随机抽取10根，测量直径如下（单位：15.2、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8、14.7。试用原始数据和作变换）：14.6、14.7、后的数据分别求和，并比较哪种方法计算方便。解答：，，。通过变换，我们可得：6、7、12、9、8、10、11、12、8、7，得，，由上题的公式可知6、设总体分布为下述情形（1）取自总体的样本，和；（2）；（3），为分别为样本均值和样本方差，试分别求。解答：有定理6.1及其推论、定理6.2可知：。（1）因，则，；（2）因，则；（3）因，则。第二节抽样分布和分位数Page2171、在正态总体中随机抽取一个容量为36的样本，求样本平均值落在50.8和53.8之间的概率？中抽取容量为36的样本，由6.2节的推论可知，其样本均值解答：因从正态总体=，因此，由此=2、设总体，今从中抽取容量分别为10和15的两个独立样本，试问这两个样本的平均值之差的绝对值大于0.3的概率有多大？解答：由题意，令表示样本容量为10的样本均值、表示样本容量为15的样本均值，且和相互独立。由6.2节的推论可知，、，因此由例3.16可知：，所以==0.8065。3、设总体，问样本容量取多大时，才能以0.95的概率保证样本平均值和总体期望之差的绝对值不超过0.3？解答：因样本均值，即，即得：，因此，因为整数可得：。4、已知是的一个样本，令，问取什么值时，服从分布？并给出自由度。解答：因是的一个样本，所以和相互独立，且由例3.16可知它们分别服从、，要使服从即令分布，只要使和均服从标准正态分布，即可，此时，可知。5、设总体，从中抽取容量为10的样本，求满足的最大的。解答：因总体，所以，即从中抽取的容量为10的样本，去我们有，所以查表可知，即。6、设为取自总体的样本，求样本均值的期望和方差。解答：由定理6.1及其推论知：，因。为取自总体的样本，因此，即7、设为取自总体的样本，令（1）；（2）；（3）；（4）。求常数，使服从分布。解答：为取自总体的样本，所以互相独立，且，，即。因此：（1），则；；（2）（3），则，则；（4），则。8、设是取自的容量为的样本，令（1），（2），问分别服从什么分布。解答：因是取自的容量为的样本，因此：，，且和相互独立，由此可得；又因，且和相互独立，因此为。9、设的一个样本，问样本方差大于0.144的概率？的一个样本，而由定理6.4知：解答：因为。所以，。10、设为来自总体的一个样本，令，求。解答：由定理6.4可知：，而，，因此，，。11、设为来自总体的一个样本，和，试证：市它的样本均值和样本方差；又设和相互独立。且服从。解答：因为总体的样本，所以，，又因和相互独立，所以和、相互独立，因此我们有，即。12、设，求的和0.10的上侧分位数。解答：由上侧分位数的定义，即要求的。今，显然由，因此和0.10可知>0，，即：。，13、查表求下列分布的上侧分位数：（1）（2），；，，；（3）（4），，，；，。解答：因表中不一定恰好有我们所需要的数值，因此可通过线形内插法求出它的近似解。即：若有、，假定，现要求的函数值，则：，或利用该式计算对应的。即可得：（1），。（2），因表中没有自由度为70的值，因此利用：当充分大时，，即，因此：今，可得，即。（3），，因表中没有自由度为60的值，因此可利用：当充分大时，分布的渐进分布为标准正态分布，可得：。（4），因表中没有的值，利用。，可得：复习题1、总体抽取的样本，它的频数分布样本均值，样本方差和标准差。解答：，，。，2、设总体为其样本，和是它的样本均值和样本方差，求。和。解答：由定理6.1及其推论、定理6.2可知：3、下面是100个学生的身高（单位：厘米）身高学生数154~15810158~16214162~16626166~17028170~17412174~1788178~1822同组内学生以组中值表示其身高，试求和。解答：因同组内学生以组中值表示其身高，因此可得个各身高的频数为：身高学生数156101601416426168281721217681802令：，则可得：-12-8-404812101426280124882-120-112-104642414408964160192512288得：，4、设（1）（2）为的一个样本，是样本均值，试问样本容量取多大才能使下式成立：；。解答：因为的一个样本，因此，即，得，因此。，即，也即：，由此为。因为正整数，所以。5、设的样本，令，求参数，使满足分布，并给出自由度。解答：因为的样本，因此和相互独立，且均服从。要使，也就是说：，服从分布，由的定义可知：，且此时，。6、设为的样本，利用（6.11）给出（1）；（2）的密度函数。解答：因为的样本，所以，且相互独立，因此，即得密度函数为：。因，所以。7、设，求证。解答：因，所以可看成有两个相互独立的随机变量通过构造而来，而，因此。8、设为的样本，为的一个样本，且两样本独立，和分布为样本均值，分别为样本方差，，为常数：（1）求证：；（2）求证：。解答：由题意可知，、，且这两个随机变量相互独立。因此，由例3.16可知。，因此。由定理6.4可知：、，且这两个随机变量相互独立，由的性质3可知：，即，因此：。第七章参数估计1、习题7.120.120.520.320.019.32