二次函数与相似问题-2022年中考数学压轴题（原卷）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

【例1】（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）．（1）求a，b的值；（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．①试说明点D在抛物线上；②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．【例2】（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•涪城区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，其中A（1，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P坐标；（3）如图2，在线段OB上取一点M，连接CM，请求出CM+BM最小值．【例4】（2020•贵州省铜仁市中考第25题）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．【例5】（2020•湖北省随州市中考第24题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=32，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【例6】（2020•广东省中考第25题）如图，抛物线y=3+36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【题组一】1．（2021•历城区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C（0，3）．（1）求点B坐标及二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD上方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段PF的长度；若不存在，请说明理由．2．（2021•天心区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），抛物线的顶点D的坐标为（，﹣）．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作EG⊥BC于点G，求EG的最大值，及此时点E的坐标；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线L上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2021•市中区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．（1）求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；（2）若点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标；（3）若点P为坐标平面内一动点，满足tan∠APB＝3，请直接写出△PAB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．4．（2021•姑苏区校级二模）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）点B（3，0）和点C（0，2），连接AC，线段AB上有一动点P，过点P作AC的平行线交直线BC于点D，交抛物线于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段DE的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线EF交BC于点F，连接PC，若以点C、D、P为顶点的三角形和△EFD是相似三角形，求此时点P坐标．5．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使∠CMN＝90°，且△CMN与△BOC相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．【题组二】6．（2021•玉州区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数：y＝x2﹣2x﹣6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）求点A、点C的坐标及对称轴方程；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．7．（2021•武汉模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线解析式；（2）在第四象限的抛物线上找一点M，过点M作MN垂直x轴于点N．若△AMN与△ABC相似，点M的坐标；（3）如图2，P为抛物线上一点，横坐标为p，直线EF交抛物线于E，F两点，其中∠EPF为直角，当p为定值时，直线EF过定点D，求随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图象解析式．8．（2021•长清区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B、C两点．（1）求二次函数的解析式；（2）设点Q是抛物线上一点，当Q在直线BC的下方时，△BCQ的面积为4，求点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．点M是抛物线x轴上方的一个动点，点N在x轴上，是否存在以E、M、N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．9．（2021•武昌区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）分别交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，作射线CB．（1）求抛物线的解析式；（2）点F在抛物线上，点G在射线CB上，若以A，C，F，G四点为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）点M在射线CB上，点N在抛物线上，若△CNM∽△COA，求点N的坐标．10．（2021•锡山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴正半轴交于点A、点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点记为D，△ABC的面积为10．（1）求此抛物线的解析式；（2）求∠BCD的正弦值；（3）将此抛物线沿y轴上下平移，所得新抛物线的顶点为P，且△PBD与△BCD相似，求平移后的新抛物线的解析式．【题组三】11．（2021•龙岗区校级三模）在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求抛物线的表达式；（2）连结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的正切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．12．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC．（1）填空：b＝；（2）设抛物线的顶点是D，连接BC，BD，将∠ABC绕点B顺时针旋转，当射线BC经过点D时，射线BA与抛物线交于点P，求点P的坐标；（3）设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点，EF⊥x轴且EF＝3，点H是线段AE上一点，以EH、EF为邻边作矩形EFGH，FT⊥AC，垂足为T，连接TG，TH．若△TGF与△TGH相似，求OE的长．13．（2021•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，顶点为C，对称轴与x轴交于点M，点D在线段CM上（不与C，M重合），过点D作x轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点C的坐标；（2）点F在抛物线的对称轴上，且位于第三象限，若以点A，C，F为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，求点E坐标．14．（2021•深圳模拟）已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求直线BC的解析式；（2）如图1，过D作DE∥y轴交BC于E，点P是BC下方抛物线上的动点（P在D的右侧），过点P作PQ∥y轴交BC于Q，若四边形EDPQ为平行四边形．且周长最大．求点P的坐标；（3）如图2，当D点横坐标为1时，过A且平行于BD的直线交抛物线于另一点E，若M在x轴上，是否存在这样点的M，使得以M、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2021•南宁一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣5），连接BC．N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M．（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；（2）求线段NM的最大值；（3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】16．（2021•范县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；（3）如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17.（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．18．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．20.（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【题组五】21．（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22．（2020•山西模拟）如图，二次函数y＝0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；（3）若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．23．（2020•柘城县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标；（3）F是直线BC上一动点，M为抛物线上一动点，若△MBF为等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．24．（2020•灌云县一模）如图，以D为顶点的抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2020•宛城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是y轴正半轴上的一点，OM=2，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q（3）直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．【题组六】16．（2020•碑林区校级四模）如图，抛物线M：y＝﹣x2﹣3x+4与x轴的交点分别为A、B，与y轴交点为C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）将抛物线M向右平移m（m＞32）个单位得到抛物线M'，设抛