探索勾股定理 优课教学课件

17.1勾股定理（1）探索勾股定理人教版八年级（下）数学17.1勾股定理（1）探索勾股定理人教版八年级（下）数学11.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用等面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点、难点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（重点）学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一学习目标2导入新课情景引入导入新课情景引入3

很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.

勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来跟随毕达哥拉斯来探究勾股定理吧！很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么4讲授新课勾股定理的认识及验证一

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：ABC问题1

试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？讲授新课勾股定理的认识及验证一我们一起穿越回到5ABC一直角边2另一直角边2斜边2+=

问题2

图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ABC一直角边2另一直角边2斜边2+=问题2图中正方6问题3

在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方7方法1：补图法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：方法1：补图法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的8方法2：割图法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？方法2：割图法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角9根据前面求出的C的面积直接填出下表：

A的面积B的面积C的面积左图右图413259169

思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？根据前面求出的C的面积直接填出下表：A的面积B的面积C的面10命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.由上面的几个例子，我们猜想：abc

下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长11abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,12abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正13证法2

毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按14aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，15aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第16在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：勾股定理abc归纳总结在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a17

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股2=弦2小贴士在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分18

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得

利用勾股定理进行计算二CAB例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.19（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【变式题1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠20【变式题2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图

当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳【变式题2】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的21例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．归纳例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=422练一练

求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5练一练求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得解：23当堂练习1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²当堂练习1.下列说法中,正确的是243.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=

.

（2）若c=13，b=12，则a=

.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.17574或243.在△ABC中，∠C=90°.17574或24255.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，∴

x=±8（负值舍去），∴另一直角边长为8cm，直角三角形的面积是

(cm2).5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的266.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=．6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=3027解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝AB2＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为AB2＝.7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.能力提升：解：∵AE＝BE，7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别281基本知识1基本技能2数学思想3赵爽弦图拼图毕达哥拉斯拼图三种思想特殊方程数形结合一般勾股定理一个定理四种经验论证观察猜想验证4数学经验课堂小结：本节课你有哪些收获？勾股定理历史数学文化5课堂小结1基本知识1基本技能2数学思想3赵爽弦图拼图毕达哥拉29必做题：1.《教材》第28页第1、7题。2.自学课本P25-26选做题：（1）课本第71页“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法.（2）有兴趣的学生上网查阅了解勾股定理的有关知识并写一篇小论文.课后作业说不定你也可以创造一种新的证明方法呢！课后作业必做题：1.《教材》第28页第1、7题。课后作业说不定你也可3017.1勾股定理（1）探索勾股定理人教版八年级（下）数学17.1勾股定理（1）探索勾股定理人教版八年级（下）数学311.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用等面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点、难点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（重点）学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一学习目标32导入新课情景引入导入新课情景引入33

很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.

勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来跟随毕达哥拉斯来探究勾股定理吧！很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么34讲授新课勾股定理的认识及验证一

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：ABC问题1

试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？讲授新课勾股定理的认识及验证一我们一起穿越回到35ABC一直角边2另一直角边2斜边2+=

问题2

图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ABC一直角边2另一直角边2斜边2+=问题2图中正方36问题3

在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方37方法1：补图法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：方法1：补图法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的38方法2：割图法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？方法2：割图法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角39根据前面求出的C的面积直接填出下表：

A的面积B的面积C的面积左图右图413259169

思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？根据前面求出的C的面积直接填出下表：A的面积B的面积C的面40命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.由上面的几个例子，我们猜想：abc

下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长41abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,42abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正43证法2

毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按44aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，45aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第46在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：勾股定理abc归纳总结在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a47

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股2=弦2小贴士在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分48

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得

利用勾股定理进行计算二CAB例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.49（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【变式题1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠50【变式题2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图

当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳【变式题2】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的51例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．归纳例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=452练一练

求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5练一练求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得解：53当堂练习1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²当堂练习1.下列说法中,正确的是543.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=

.

（2）若c=13，b=12，则a=

.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.17574或243.在△ABC中，∠C=90°.17574或24555.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，∴

x=±8（负值舍去），∴另一直角边长为8cm，直角三角形的面积是