新人教版初二下册数学 161二次根式 教学课件

16.1二次根式新人教版初二下册数学161二次根式教学课件二次根式有意义的条件和非负性二次根式有意义的条件和非负性电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中地球半径R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是.公式中中的表示什么意义？式子表示什么？导入新知电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t为_____．探究新知知识点1二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？探究新知在前面的问题中，得到的结果分别是：，，，．（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.

探究新知根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0注意：a可以是数，也可以是式.探究新知归纳总结一般地，我们把形如的式子叫做二例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：探究新知素养考点1利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）；（7）例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(41.下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是1.下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.探究新知素养考点2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意解：∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.探究新知（2）解：∵被开方数需大于或等于零，归纳小结：要使二次根式在实数范【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为任何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.探究新知归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（1）（2）【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(3)多个二次根式相加如有意义的条件：(2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.探究新知

归纳总结二次根式有意义的条件应用的不同类型：(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(3)多个

2.x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（1）（2）x≥1x≤0（3）（4）x为全体实数x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)（9）x>0x为全体实数(8)2.x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？探究新知知识点2二次根式的双重非负性【回顾思考】二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？因为x²≥0，所以x可以为任意实数.要使x³≥0，必须x≥0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a≥0时，.呢？【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.探究新知二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负

归纳总结二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,

解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.探究新知素养考点1利用二次根式的双重非负性求字母的值例3若，求2a-b+3c的值.提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,所以2a3.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.巩固练习3.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x探究新知素养考点2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例4已知实数x、y满足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由题意得解得：x=3把x=3,代入得y=-5所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64总结：若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.探究新知素养考点2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例4.已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3＋2×8=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．巩固练习4.已知y=巩固练习连接中考C1.（2018•扬州）使有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3A2.（2019•黄石）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1巩固练习连接中考C1.（2018•扬州）使连接中考巩固练习3.（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．D连接中考巩固练习3.（2018•苏州）若AD-13.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．0课堂检测基础巩固题1.下面的式子是二次根式的是(

)A.B.C. D.a2.（2018•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2AD-13.当x=____时，二次根式4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x≥1x≥0且x≠2课堂检测基础巩固题4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.课堂检测基础巩固题∴m＞2．∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．能力提升题课堂检测已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.课堂检测拓广探索题先阅读，后回答问题：课堂检测拓广探索题体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．课堂检测拓广探索题体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且≥0课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被二次根式化简二次根式化简【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？算术平方根之门平方之门0-4-1aa≥01导入新知我们都是非负数哟！【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门平方之门0-4-111641aa为任意数【想一想】你发现了什么？导入新知我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.a的平方根是用(a≥0)表示.知识点1

（a≥0)性质探究新知（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定()²（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.40探究新知2（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定()²是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()²=4.同理，分别是的算术平方根.

因此,,()²=2()²=()²=0探究新知是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，的性质：一般地，＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.探究新知归纳：的性质：一般地，＝a例1计算：解：积的乘方：（ab）2=a2b2探究新知素养考点1利用的性质进行计算（1）（2）（1）（2）(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？例1计算：解：积的乘方：探究新知素养考点1解:巩固练习

1.计算：（1）（2）（1）（2）解:巩固练习1.计算：（1）（2）（1）（2）解：探究新知素养考点2利用的性质分解因式总结：本题逆用了在实数范围内分解因式.例2在实数范围内分解因式：（1）4x2-5(2)m4-6m2+9（1）（2）解：探究新知素养考点2利用巩固练习2.在实数范围内分解因式：（1）x2-11(2)x4-14x2+49解：（1）x2-11=(x+)(x-)

(2)x4-14x2+49=(x2-7)2=(x-)2(x+)2巩固练习2.在实数范围内分解因式：（20.10化简下列根式，想一想知识点2的性质探究新知化简后，你能确定的化简结果吗？20.10化简下列根式，想一想知识点2

...平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)2

...观察两者有什么关系？填一填：

＝a(a≥0).探究新知平方运算算术平方根20.1a(a≥0)

...平方运算算术平方根-2-0.1

...2

...观察两者有什么关系？a(a＜0)【猜一猜】当a＜0时，=？-a探究新知平方运算算术平方根-22观察两者有什么关系a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究新知归纳：的性质：a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根解：探究新知素养考点1利用的性质进行计算警示：而3.14＜π，要注意a的正负性.例3化简：（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)解：探究新知素养考点1利用【讨论】（1）在中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？

（2）第二小题中的能否直接使用性质

进行化简？

探究新知【讨论】（1）在中，可否去掉“a≥0探究新知方法点拨

计算一般有两个步骤:①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即;②去掉绝对值符号,即探究新知方法点拨计算一般有两个步骤:①去根号及被开3.请同学们快速分辨下列各题的对错．（）××√√巩固练习（）（）（）3.请同学们快速分辨下列各题的对错．（）××√√巩固37481巩固练习

4.化简：（1）=;（2）=;（3）=;（4）=;（5）=______;（6）=_______.0.610-337481巩固练习4.化简：（5）【议一议】如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根探究新知【议一议】如何区别与？从运算顺序看从取值范围看解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例4实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:ab探究新知素养考点2几何图形与的性质相结合的题目解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，例4实数a、-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是.1巩固练习6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简的结果是(

)A.-2a+b B.2a-bC.-b D.bAab0-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简1巩固练（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．

（a≥0）回顾我们学过的式子，如，这些式子有哪些共同特征？知识点3代数式的定义探究新知（1）含有数或表示数的字母；（a≥0）回顾我们学用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.数表示数的字母

【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式探究新知归纳：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开探究新知素养考点1利用代数式的定义判断代数式例5下列式子:(1)x;(2)a-b;(3);(4);(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(

)A.4个B.5个C.6个 D.7个B探究新知素养考点1利用代数式的定义判断代数式例5下列式7.下列式子是代数式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧A.3个B.4个C.5个D.6个C巩固练习7.下列式子是代数式的有()①a2+b解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h，逆水行驶的速度是km/h．例5（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为探究新知素养考点2列代数式解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h探究新知

归纳总结列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．探究新知归纳总结列代数式的要点：7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.巩固练习7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半1.（2019•黄冈）计算的结果是____．巩固练习连接中考42.（2018•无锡）下列等式正确的是（）A． B． C． D．A1.（2019•黄冈）计算的结1.（2018•临安区）化简的结果是（）A．﹣2 B．±2 C．2 D．4C2.当1<x<3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-1D课堂检测基础巩固题3.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.D．B1.（2018•临安区）化简的结果是（

4.计算：解:课堂检测（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）基础巩固题4.计算：解:课堂检测（1）5.在实数范围内分解因式：解：课堂检测（1）x2-3(2)y4-4y2+4（1）x2-3=(2)y4-4y2+4=(y2-2)2==基础巩固题5.在实数范围内分解因式：解：实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．能力提升题课堂检测ab0实数a、b在数轴上的对应点如图所示，解：根据数轴可已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）

=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0课堂检测拓广探索题已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是二次根式性质

(a≥0).拓展性质课堂小结（a为全体实数）二次根式性质(a16.1二次根式新人教版初二下册数学161二次根式教学课件二次根式有意义的条件和非负性二次根式有意义的条件和非负性电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中地球半径R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是.公式中中的表示什么意义？式子表示什么？导入新知电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t为_____．探究新知知识点1二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？探究新知在前面的问题中，得到的结果分别是：，，，．（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.

探究新知根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0注意：a可以是数，也可以是式.探究新知归纳总结一般地，我们把形如的式子叫做二例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：探究新知素养考点1利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）；（7）例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(41.下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是1.下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.探究新知素养考点2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意解：∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.探究新知（2）解：∵被开方数需大于或等于零，归纳小结：要使二次根式在实数范【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为任何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.探究新知归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（1）（2）【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(3)多个二次根式相加如有意义的条件：(2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.探究新知

归纳总结二次根式有意义的条件应用的不同类型：(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(3)多个

2.x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（1）（2）x≥1x≤0（3）（4）x为全体实数x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)（9）x>0x为全体实数(8)2.x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？探究新知知识点2二次根式的双重非负性【回顾思考】二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？因为x²≥0，所以x可以为任意实数.要使x³≥0，必须x≥0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a≥0时，.呢？【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.探究新知二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负

归纳总结二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,

解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.探究新知素养考点1利用二次根式的双重非负性求字母的值例3若，求2a-b+3c的值.提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,所以2a3.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.巩固练习3.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x探究新知素养考点2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例4已知实数x、y满足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由题意得解得：x=3把x=3,代入得y=-5所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64总结：若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.探究新知素养考点2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例4.已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3＋2×8=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．巩固练习4.已知y=巩固练习连接中考C1.（2018•扬州）使有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3A2.（2019•黄石）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1巩固练习连接中考C1.（2018•扬州）使连接中考巩固练习3.（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．D连接中考巩固练习3.（2018•苏州）若AD-13.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．0课堂检测基础巩固题1.下面的式子是二次根式的是(

)A.B.C. D.a2.（2018•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2AD-13.当x=____时，二次根式4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x≥1x≥0且x≠2课堂检测基础巩固题4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.课堂检测基础巩固题∴m＞2．∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．能力提升题课堂检测已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.课堂检测拓广探索题先阅读，后回答问题：课堂检测拓广探索题体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．课堂检测拓广探索题体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且≥0课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被二次根式化简二次根式化简【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？算术平方根之门平方之门0-4-1aa≥01导入新知我们都是非负数哟！【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门平方之门0-4-111641aa为任意数【想一想】你发现了什么？导入新知我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.a的平方根是用(a≥0)表示.知识点1

（a≥0)性质探究新知（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定()²（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.40探究新知2（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定()²是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()²=4.同理，分别是的算术平方根.

因此,,()²=2()²=()²=0探究新知是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，的性质：一般地，＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.探究新知归纳：的性质：一般地，＝a例1计算：解：积的乘方：（ab）2=a2b2探究新知素养考点1利用的性质进行计算（1）（2）（1）（2）(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？例1计算：解：积的乘方：探究新知素养考点1解:巩固练习

1.计算：（1）（2）（1）（2）解:巩固练习1.计算：（1）（2）（1）（2）解：探究新知素养考点2利用的性质分解因式总结：本题逆用了在实数范围内分解因式.例2在实数范围内分解因式：（1）4x2-5(2)m4-6m2+9（1）（2）解：探究新知素养考点2利用巩固练习2.在实数范围内分解因式：（1）x2-11(2)x4-14x2+49解：（1）x2-11=(x+)(x-)

(2)x4-14x2+49=(x2-7)2=(x-)2(x+)2巩固练习2.在实数范围内分解因式：（20.10化简下列根式，想一想知识点2的性质探究新知化简后，你能确定的化简结果吗？20.10化简下列根式，想一想知识点2

...平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)2

...观察两者有什么关系？填一填：

＝a(a≥0).探究新知平方运算算术平方根20.1a(a≥0)

...平方运算算术平方根-2-0.1

...2

...观察两者有什么关系？a(a＜0)【猜一猜】当a＜0时，=？-a探究新知平方运算算术平方根-22观察两者有什么关系a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究新知归纳：的性质：a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根解：探究新知素养考点1利用的性质进行计算警示：而3.14＜π，要注意a的正负性.例3化简：（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)解：探究新知素养考点1利用【讨论】（1）在中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？

（2）第二小题中的能否直接使用性质

进行化简？

探究新知【讨论】（1）在中，可否去掉“a≥0探究新知方法点拨

计算一般有两个步骤:①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即;②去掉绝对值符号,即探究新知方法点拨计算一般有两个步骤:①去根号及被开3.请同学们快速分辨下列各题的对错．（）××√√巩固练习（）（）（）3.请同学们快速分辨下列各题的对错．（）××√√巩固37481巩固练习

4.化简：（1）=;（2）=;（3）=;（4）=;（5）=______;（6）=_______.0.610-337481巩固练习4.化简：（5）【议一议】如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根探究新知【议一议】如何区别与？从运算顺序看从取值范围看解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例4实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:ab探究新知素养考点2几何图形与的性质相结合的题目解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，例4实数a、-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是.1巩固练习6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简的结果是(

)A.-2a+b B.2a-bC.-b D.bAab0-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简1巩固练（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．

（a≥0）回顾我们学过的式子，如，这些式子有哪些共同特征？知识点3代数式的定义探究新知（1）含有数或表示数的字母；（a≥0）回顾我们学用基本运算符号（基本运算包括加、减