(完整版)复变函数与积分变换习题答案

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。(1)解：(2)-1解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：二、计算下列数值(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：由于：，而：所以：(6)解：由于：，所以：(7)解：(8)解：1.2复变函数1、试证明函数f(z)=Arg(z)(-null<Arg(z)≤null)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1)在负实轴上，任取一点，则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有：显然函数在负实轴上不连续。(2)在零点，沿方向趋近于零点则：显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。2、复平面上，圆周可以写成，这里A，C为实数，null为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为：则在复平面上：，所以圆方程变形为：若令：则：2.1解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1)

(2)证明：(1)在处，有：若沿方向趋近于z点，则：显然，函数不可微。(2)在处，有：若沿方向趋近于0点，则：显然，函数不可微。2、设：试证明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足C-R条件，但不可微。证明：首先：显然：，在原点f(z)满足C-R条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：若沿方向趋近于0点，则：显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R条件，但不可微。C-R条件只是函数可微的必要条件。1.2复变函数1、试证明函数f(z)=Arg(z)(-null<Arg(z)≤null)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1)在负实轴上，任取一点，则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有：显然函数在负实轴上不连续。(2)在零点，沿方向趋近于零点则：显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。2、复平面上，圆周可以写成，这里A，C为实数，null为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为：则在复平面上：，所以圆方程变形为：若令：则：2.1解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1)

(2)证明：(1)在处，有：若沿方向趋近于z点，则：显然，函数不可微。(2)在处，有：若沿方向趋近于0点，则：显然，函数不可微。2、设：试证明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足C-R条件，但不可微。证明：首先：显然：，在原点f(z)满足C-R条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：若沿方向趋近于0点，则：显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R条件，但不可微。C-R条件只是函数可微的必要条件。2.2解析函数和调和函数1、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数：解：(1)则：…………….I……………II由I得：带入(II)得：所以：(2)则：…………….I……………II由I得：带入(II)得：所以：(3)显然：并非调和函数，所以，此题无解。(4)则：…………….I……………II由I得：带入(II)得：所以：2、试证明三个单值分支在割破的z平面上任意区域上都是解析的，并求其导数。证明：，令：则：，这里：所以：则：所以：2.1-2Cauchy积分1、计算积分，积分路径(1)直线段；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。解：(1)若沿直线从-i积分到i，则：(2)若沿右半圆从-i积分到i，则：(3)若沿左半圆从-i积分到i，则：2、当C为单位圆周时，不用计算，试证明：证明：(1)因为两个非解析点都不在积分圆周内，根据Cauchy积分定理：(1)因为两个非解析点都不在积分圆周内，根据Cauchy积分定理：2.3-4Cauchy积分定理1、已知函数，将x作为参数，把t认为是复变数，试应用Cauchy公式表为回路积分，对回路积分进行变量代换，并借以证明：解：(1)首先，令：，则：根据解析函数的无限可微性有：所以：(2)做变量替换：，则对于积分公式来说：，所以：4.2利用留数定理计算实积分1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(5)；(6)解：(5)令：，则：显然，存在两个一阶极点：，只有：处于单位圆内，所以：则：(6)令：，则：：显然，存在三个一阶极点：，只有：处于单位圆内，所以：所以：2、计算下列实函数积分(5)解：(5)根据定理有：而函数存在四个一阶极点：，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有：，所以：所以：3计算下列实函数积分(3)解：根据定理：显然，存在两个一阶极点：，只有：上半平面内，所以：所以：3.2幂级数3、求下列幂级数的收敛圆(1)，(2)解：(1)所以，其收敛圆为以i为圆心的单位圆。(2)由于：所以，其收敛圆为以2为圆心的单位圆。3.3幂级数展开在指定的点的邻域上把下列函数展开为Taylor级数(8)和在解：4.1留数定理1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(1)；(2)，(3)，(4)解：(1)显然为其一阶极点，则：(2)显然为其一阶极点，为其二阶极点，则：(3)显然为其一阶极点，则：(4)显然为其一阶极点，则：2、计算回路积分，(1)，l为(3)解：(1)首先l的围线方程为：而被积函数存在三个孤立奇点，在围线内有两个孤立奇点：所以：(2)可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点，且为本性奇点，对被积函数做Laurant展开：可以看出：，显然：4.2利用留数定理计算实积分1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(5)；(6)解：(5)令：，则：显然，存在两个一阶极点：，只有：处于单位圆内，所以：则：(6)令：，则：：显然，存在三个一阶极点：，只有：处于单