数学九年级上：二次函数的性质 历年中考题

二次函数的性质(第20题图)20．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为–1、3，与y轴负半轴交于点C.下面四个结论：①2a+b=0；②a+b+c>0；③只有当a=eq\f(1,2)时，△ABD是等腰直角三角形；④使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个.那么，其中正确的结论是.（只填你(第20题图)认为正确结论的序号）（注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(–eq\f(b,2a)，eq\f(4ac–b2,4a))）10.[07资阳]已知二次函数(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0).下列结论正确的是()A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小C.存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大D.存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大6．[07自贡]进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝2a(x－1) B．y＝2a(1－x) C．y＝a(1－x2) D．y＝a(1－x15．[07遵义]下列图形中，阴影部分面积为1的是（）A．A．11（1，2）B．1C．1D．[07广州]7、二次函数与x轴的交点个数是（）A．0B．1C图9[07贵阳]18．二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：图9（1）写出方程的两个根．（2分）（2）写出不等式的解集．（2分）（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分）（4）若方程有两个不相等的实数根，xyO3xyO3

－9－1－1AB图13[07河北]22．如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）到x轴的距离．图5图5[07河池（非）]17．已知二次函数的图象如图5所示，则A．B．C．D．A.xyB.xA.xyB.xyC.xyD.xy[07淮安]14．把函数y＝x2－1的图象沿y轴向上平移1个单位长度，可以得到函数________________的图象。[07黄冈]13、下列说法正确的是（ ）A、9的算术平方根是3B、设a是实数，则的值可能是正数，也可能是负数C、点关于原点的对称点的坐标是D、抛物线的顶点在第四象限13．[2007泸州市]已知函数与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是图10图1022．[2007梅州市]本题满分8分．已知二次函数图象的顶点是，且过点．（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．12．[2007绵阳市]已知一次函数y=ax+b的图象过点（－2，1），则关于抛物线y=ax2－bx+3的三条叙述：①过定点（2，1），②对称轴可以是x=1，③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中所有正确叙述的个数是xyOAA．0B．xyOA9.[2007南充市]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．

（A）②④ （B）①④ （C）②③18．[2007宁波]如图，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是▲．8.[2007潜江市]如图，⊙O上有两点A与P，若P点在圆上匀速运动一周,那么弦AP的长度与时间的关系可能是下列图形中的①O①O③O②O④OP·(第8题图)•AO–113O(第7题图)A.①B.③C.②或–113O(第7题图)7.[2007潜江市]抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是A.B.C.或D.或图（7）11．[07四川内江]已知函数的图象如图（7）所示，那么关于的方程的根的情况是（）图（7）A．无实数根 B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根25．[2007赤峰市]（本题满分14分）如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标．（3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标．xxyA（3，6）QCOBP相关链接：若是一元二次方程的两根，则20．[2007茂名]（本题满分8分）已知函数的图象与轴的两交点的横坐标分别是，且，求c及，的值．相关链接：若是一元二次方程的两根，则24．[2007年旅顺口]如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于、两点，从点和点分别引平行于轴的直线与轴分别交于，两点，点，为线段上的动点，过点且平行于轴的直线与抛物线和直线分别交于，．（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点的坐标．（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长．（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使．若存在，求的值；若不存在，说明理由．第24题21．[2007宁夏]（6分）二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：12311（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个．① ②③ ④O(第18题图)xy-318．[07兰州]抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋O(第18题图)xy-316．[07兰州]将抛物线y＝2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是___________________．08．[07兰州]二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（）．O(第08题图)xyA、第一象限B、第二象限O(第08题图)xy24．[07北京]在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．11231234解：（1）根据题意得解得所以抛物线的解析式为：（）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），依题意，可得C（，-1），且直线过原点，设直线的解析式为，则解得所以直线的解析式为（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形。易证轴所在的直线平分∠BOC，轴是△OBC的一个外角的平分线，作∠BCO的平分线，交轴于M1点，交轴于M2点，作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交轴于M3点，反向延长线交轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：①OM1，所以点M1的坐标为（0）。②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（02），③点M3与点A关于轴对称，所以点M2的坐标为（0-2），④设抛物线的对称轴与轴的交点为N，M4N，且ON=M4N，所以点M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：M1（0）、M2（02）、M3（0-2）、M4（，0）。6．[07临安]抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（-1，1）C．（-1，-1）D．（1，-1）10．[07济南]已知的图象如图所示，yxO第10题图yxO第10题图A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限10．[07嘉兴] （）（A）②③都是真命题 （B）②③都是假命题（C）②是真命题，③是假命题 （D）②是假命题，③是真命题13.[07江苏]将抛物线的图象向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________9．[07江西]已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．（第9题）（第9题）2．[07金华]将抛物线向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A． B． C． D．14．[07金华]自由下落物体的高度（米）与下落的时间（秒）的关系为．现有一铁球从离地面米高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是秒．16．[07荆门]飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)与滑行的时间t(单位：秒)之间的函数关系式是s=60t－1.5t2．飞机着陆后滑行______秒才能停下来．23．［07福建三明］（本小题满分10分）如图，抛物线与轴分别交于，两点．（1）求A，B两点的坐标；（4分）（2）求抛物线顶点M关于轴对称的点的坐标，并判断四边形AMB是何特殊平行四边形（不要求说明理由）．(6分)[注：抛物线的顶点坐标为．]解：13．[07苏州]将抛物线的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________8．［07陕西］抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．20.［07韶关］已知抛物线与x轴的右交点为A，与y轴的交点为B，求经过A、B两点的直线的解析式.8．［07邵阳］若抛物线与轴的交点为，则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是C．当时，的最大值为 D．抛物线与轴的交点为15．[07沈阳]将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为．OxyOxyOOxyOxyOxyOxyABCD7．[06伊春]请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式.14．[07长沙]把抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是（）A． B．C． D．4．[07泰安]将化成的形式为（）A． B．C． D．6．[07牡丹江]抛物线过点，，则此抛物线的对称轴是直线．8．[07常州]二次函数的部分对应值如下表：…………二次函数图象的对称轴为，对应的函数值．15．[07佛山]已知二次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则当满足的条件是时，；当满足的条件是时，．0123020（第16题）（第16题）16．[07常州]若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（）A． B． C． D．图410．[07福州]如图4所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：图4①；②；③；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是Oyx15．[07成都]如图所示的抛物线是二次函数Oyx图象，那么的值是．24．[07北京]在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．（1）求此抛物线的解析式；1231234（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；1231234（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．24．[07辽宁]已知抛物线y＝ax2＋x＋2。(1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；(2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值；(3)当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0)。若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小。22．[07滨州]（1）把二次函数代成的形式．（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线中，的取值范围是，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．23．[07安徽]按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；【解】（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）解（1）当P=时，y=x＋,即y=。∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。如取h=20,y=,∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的