人教版八年级上数学课件“斜边、直角边”

第4课时斜边、直角边葫芦岛第六初级中学第4课时斜边、直角边葫芦岛第六初级中学如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF“斜边、直角边”如果这两个三角形都是直角三ABCDEF“斜边、直角边”【作图探究】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC【作图探究】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一画图思路（1）先画∠MC′

N=90°ABCM

C′N画图思路（1）先画∠MC′N=90°ABCMC′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′画图思路人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC′ABCNB′A′画图思路人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究★“斜边、直角边”判定方法▼文字语言：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.▼几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)★“斜边、直角边”判定方法▼文字语言：▼几何语言：ABCA判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（）（3）一个锐角和斜边对应相等.（）（4）两直角边对应相等.（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）HL×SASAASAAS判一判人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

，在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.例1人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求

【变式1】

如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)【变式1】如图【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD【变式3】如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)【变式3】如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD

如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.例2人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF，

AC=DF

，∴∠B=∠DEF.∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°.例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右DA1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点

E

，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则

CH的长为（）A．1B．2C．3D．4DA1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，

CE=BD,

BC=CB

.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC

（填“全等”或“不全等”），根据

（用简写法）.全等HL4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=AFCEDB5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.AFCEDB5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,【变式1】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF【变式1】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=【变式2】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF【变式2】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=【拓展】如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm.【拓展】如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm.故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.方法总结：判定三“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形人教版八年级上数学课件“斜边、直角边”第4课时斜边、直角边葫芦岛第六初级中学第4课时斜边、直角边葫芦岛第六初级中学如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF“斜边、直角边”如果这两个三角形都是直角三ABCDEF“斜边、直角边”【作图探究】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC【作图探究】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一画图思路（1）先画∠MC′

N=90°ABCM

C′N画图思路（1）先画∠MC′N=90°ABCMC′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′画图思路人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC′ABCNB′A′画图思路人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究★“斜边、直角边”判定方法▼文字语言：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.▼几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)★“斜边、直角边”判定方法▼文字语言：▼几何语言：ABCA判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（）（3）一个锐角和斜边对应相等.（）（4）两直角边对应相等.（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）HL×SASAASAAS判一判人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

，在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.例1人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求

【变式1】

如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)【变式1】如图【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD【变式3】如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)【变式3】如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD

如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.例2人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”(共25张PPT)方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF，

AC=DF

，∴∠B=∠DEF.∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°.例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右DA1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点

E

，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则

CH的长为（）A．1B．2C．3D．4DA1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，

CE=BD,

BC=CB

.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC

（填“全等”或“不全等”），根据

（用简写法）.全等HL4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=AFCEDB5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.AFCEDB5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,【变式1】如图，