函数的应用课件

函数的应用课件函数模型及其应用几类不同增长的函数模型函数模型及其应用1．三种函数模型的性质自学导引增函数增函数增函数陡稳定1．三种函数模型的性质自学导引增函数增函数增函数陡稳定2．指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较(1)对于指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于______的增长快于______的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______．(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于________的增长慢于______的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有________．y＝axy＝xnax>xny＝logaxy＝xnlogax<xn2．指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上具有相同的增长速度吗？【答案】增长速度不同．如图所示，在(0,2)之间y＝x2的增长速度较快，在(2,4)之间函数值均从4增大到16，而x＝4之后，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．自主探究1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上具有相同的增长速度2．函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)在区间(0，＋∞)上哪一个衰减得快？【答案】函数y＝logax(0<a<1)．2．函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝lo1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

)A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x【答案】D预习测评1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(

)A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1【答案】B3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个、2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．【答案】y＝2x(x∈N*)2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________．4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新1．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)．(1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点阐释1．直线上升、指数爆炸、对数增长要点阐释(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会：直线上升，其增长量固定不变．指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容．对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度．(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借2．三类函数模型函数增长的变化规律我们知道，对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的．下面，我们不妨先以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例进行探究．(1)在同一坐标系内，先用计算机列表，然后作出函数图象(如右图所示)．观察归纳结论：y＝2x和y＝x2都比y＝log2x增长得快得多，但y＝2x与y＝x2的增长情况区分度不明显．2．三类函数模型函数增长的变化规律(2)观察y＝2x和y＝x2的增长情况．在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象(如下图所示)．(2)观察y＝2x和y＝x2的增长情况．观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有(3)观察y＝x2和y＝log2x的增长情况．在同一直角坐标系内画出函数y＝x2和y＝log2x的图象(如右图所示)．观察归纳结论：在区间(0，＋∞)上，总有x2>log2x.对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.(3)观察y＝x2和y＝log2x的增长情况．题型一一次函数模型的应用【例1】

北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元．典例剖析题型一一次函数模型的应用典例剖析思路点拨：本题根据题意可求得函数解析式，再利用单调性求最值．解：设每天从报社买进x(250≤x≤400)(x∈N)份报纸，每月获得利润y元，则y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈[250,400]．函数y在[250,400]上单调递增，∴当x＝400时，ymax＝825(元)．即摊主每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为825元．思路点拨：本题根据题意可求得函数解析式，再利用单调性求最值．1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅笔每枝0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款．某位同学需买软皮本4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式．1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅笔每枝0解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算．由优惠办法(1)，得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4且x∈N*)．由优惠办法(2)，可得函数关系式为y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4且x∈N*)．解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算．题型二指数函数模型的应用【例2】

某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可．题型二指数函数模型的应用解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．解：(1)1年后该城市人口总数为(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.2．某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少元？(注：单利是指当年的本金转为下一年初的本金，复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金)2．某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是解：∵本金为100万元，按单利计算时，年利率为10%，5年后的本利和为100(1＋10%×5)＝150(万元)，按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为100(1＋9%)5＝100×1.095≈153.86(万元)．由此可见，按年利率9%的复利计算投资要比年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．解：∵本金为100万元，按单利计算时，年利率为10%，思路点拨：本题的关键是对数的运算．思路点拨：本题的关键是对数的运算．函数的应用课件方法点评：直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．方法点评：直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一函数的应用课件函数的应用课件【例4】

已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：误区解密未读懂图中的信息而出错【例4】已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运①甲、乙运动的速度相同，都是5km/h；②甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4km/h；④当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3km，但乙在甲前方2km处．其中正确的说法是(

)A．③

B．①②③

C．①③④

D．②③④①甲、乙运动的速度相同，都是5km/h；②甲、乙运动的时错解：①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.错因分析：错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于④，乙的位移计算错误．错解：①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，因为乙正解：①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5km/h，乙的速度为4km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3km，但乙在甲前方2km处，所以④正确，故选D.答案：D纠错心得：对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景．

正解：①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，甲、乙1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y＝kx＋b(k>0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数y＝logax(a>1)模型，其增长缓慢；(3)指数y＝ax(a>1)模型，其增长迅速.课堂总结1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函函数的应用课件函数模型及其应用几类不同增长的函数模型函数模型及其应用1．三种函数模型的性质自学导引增函数增函数增函数陡稳定1．三种函数模型的性质自学导引增函数增函数增函数陡稳定2．指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较(1)对于指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于______的增长快于______的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______．(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于________的增长慢于______的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有________．y＝axy＝xnax>xny＝logaxy＝xnlogax<xn2．指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上具有相同的增长速度吗？【答案】增长速度不同．如图所示，在(0,2)之间y＝x2的增长速度较快，在(2,4)之间函数值均从4增大到16，而x＝4之后，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．自主探究1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上具有相同的增长速度2．函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)在区间(0，＋∞)上哪一个衰减得快？【答案】函数y＝logax(0<a<1)．2．函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝lo1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

)A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x【答案】D预习测评1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(

)A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1【答案】B3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个、2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．【答案】y＝2x(x∈N*)2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________．4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新1．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)．(1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点阐释1．直线上升、指数爆炸、对数增长要点阐释(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会：直线上升，其增长量固定不变．指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容．对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度．(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借2．三类函数模型函数增长的变化规律我们知道，对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的．下面，我们不妨先以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例进行探究．(1)在同一坐标系内，先用计算机列表，然后作出函数图象(如右图所示)．观察归纳结论：y＝2x和y＝x2都比y＝log2x增长得快得多，但y＝2x与y＝x2的增长情况区分度不明显．2．三类函数模型函数增长的变化规律(2)观察y＝2x和y＝x2的增长情况．在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象(如下图所示)．(2)观察y＝2x和y＝x2的增长情况．观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有(3)观察y＝x2和y＝log2x的增长情况．在同一直角坐标系内画出函数y＝x2和y＝log2x的图象(如右图所示)．观察归纳结论：在区间(0，＋∞)上，总有x2>log2x.对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.(3)观察y＝x2和y＝log2x的增长情况．题型一一次函数模型的应用【例1】

北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元．典例剖析题型一一次函数模型的应用典例剖析思路点拨：本题根据题意可求得函数解析式，再利用单调性求最值．解：设每天从报社买进x(250≤x≤400)(x∈N)份报纸，每月获得利润y元，则y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈[250,400]．函数y在[250,400]上单调递增，∴当x＝400时，ymax＝825(元)．即摊主每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为825元．思路点拨：本题根据题意可求得函数解析式，再利用单调性求最值．1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅笔每枝0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款．某位同学需买软皮本4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式．1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅笔每枝0解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算．由优惠办法(1)，得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4且x∈N*)．由优惠办法(2)，可得函数关系式为y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4且x∈N*)．解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算．题型二指数函数模型的应用【例2】

某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可．题型二指数函数模型的应用解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．解：(1)1年后该城市人口总数为(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.2．某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少元？(注：单利是指当年的本金转为下一年初的本金，复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金)2．某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是解：∵本金为100万元，按单利计算时，年利率为10%，5年后的本利和为100(1＋10%×5)＝150(万元)，按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为100(1＋9%)5＝100×1.095≈153.86(万元)．由此可见，按年利率9%的复利计算投资要比年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．解：∵本金为10