泛函分析答案

泛函分析答案：1、所有元素均为。的nxn矩阵2、设E为一线性空间，L是E中的一个子集，若对任意的x,yCL,以及变数入和科均有入x+科yCL,则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当入和科均为0时，入x+y=0CL,则L必定含零元素。3、设L是线性空间E的子空间，xoCE\L,则集合xo+L=｛x]+l,ieL｝称为E中一个线性流形。4、设M是线性空间E中一个集合，如果对任何 x,yCM,以及入+科=1,入菊，科斗的入和小都有入x+科yCM,则称M为E中的凸集。5、设x,y是线性空间E中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：非负性：d(x,y)>0,且d(x,y)=0v >x=y2) d(x,y)=d(y,x)三角不等式：d(x,y)wd(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,zCEn维欧几里德空间常用距离定义：设x=｛xi,x2,n｝T,y=｛yiy2,…力,ndnd1(x,y)= |xi yi|i1d2(x,y)=( |xi yi|2)1/2i1nTOC\o"1-5"\h\zdp(x,y)=( |x Yi|p严 d“(x,y尸m.ax|x yi|i1 1in6、距离空间(x,d)中的点列｛xn｝收敛到x0是指d(xn,x0)0(n8),这时记作limxn x0,或简单n地记作 xnx07、设||x||是线性空间E中的任何一个元素 x的范数，其须满足以下条件：||x||R0,且||x||=0iffx=0||入x||二入||x||,入为常数||x+y||<||x||+||y||,foreveryx,yCE8、设E为线性赋范空间，｛xn｝"n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何e>0,总存在自然数N,使得当n>N,m>N时，均有|xm-xn|<£，则称序列｛xn｝是E中的基本列。若E的基本列的收敛元仍属于E,则称E为完备的线性赋范空间，即为Banach空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是 Banach空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为 Hilbert空间。b211、L2(a,b)为te义在(a,b)上平万可积函数仝间，即设f(t)CL2(a,b), |f(t)|dt<°°°ab 当L2(a,b)中内积的定义为(f,g)=f(t)g(t)dt(其中f⑴,g(t)CL2(a,b))时其为Hilberta空间。12、算子表示一种作用，一种映射。设 X和Y是给定的两个线性赋范空间，中合DX，若对D中的每一个x,均有Y中的一个确定的变量 y与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T,记为y=T(x),y为x的像，x为y的原像。13、算子的范数：设T为有界线性算子，则对一切xCD(T),使不等式||Tx||yWM||x||x的正数M的下确界称为T的范数，||T||二sup11TxMx||，冈 W0。直观的理解就是冈的最大放大率。14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子 T:EE,必有T0=0,则称集合{xCE|Tx=0}为T的零空间，它是E的线性子空间，并不一定是值域 Ei的子空间。15、如果存在一正常数 M,使得对每一个xCD(T),都有11Tx||yWM||x||x,则称T为有界算无界算子：设算子T：劭0,1陶0,1]定义为：(Tx)(t)=x(t),则T是线性算子，若视C1[0,1]为C[0,1]的子空间，则T是无界的。16、设{Tn}=L(X,Y),TCL(X,Y),如果对任何一个xCX,均有11Tnx-Tx||0(n却,则Tn弱收敛于To17、L(X,Y)是BANACH空间。18、压缩映像原理又叫 BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X为BANACH空间，F为XX的算子，且D(F)AR(F)w①，如果x*CX,满足F(x*尸x*,称x*为F的不动点。设集合QD(F),如果存在常数46(0,1)使得对任何x',x'eQ,有||F(xj-F(x')||<q||x'-x'||,称F为Q上的压缩算子，q为压缩系。压缩映像原理：设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且F为压缩算子，压缩系为q,则算子F在Q内存在唯一的不动点x*,若xo为Q内的任意点，作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,则•{xn}eQ,xnx*,而且有估计||xn-x*||<q/(1-q)||F(xn)-F(xo)||。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点， 且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设X是实数域上的线性赋范空间， D是X的线性子空间，f:DR,如果f满足：对任何”,3CR,x,yCD,f(ax+3y尸af(x)+3f(y),则f是D上的一个线性泛函，或者说由XR的算子为泛函。泛函f的范数定义如下：||f||二|f|二sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x|| 丰0)=sup|f(x)|(冈W1),并且有|f(x)|W||f||X冈。20、定义在整个线性赋范空间 X上的所有有界线性泛函的全体构成的空间 L(X,R)称为空间X的共轲空间，又叫对偶空间，其是完备的。21、弱收敛：X为线性赋范空间，{xn} X,xo€X,如果对任何一个fCx*均有limf(xn)f(x0),则称{xn}弱收敛于xo。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。n22、泛函的GATEAURB分：设X为线性赋范空间，xoCX,f(x)的xo及其领域内有定义，如果对任意hCX,极限：limf(x-th)-f(xo)存在,则称f(x)在xo处对方向h存在GATEAURto t导数，记为f(x0,h)。又称为泛函f(x)在xo处对于方向h的一阶变分。f(xo,h)称为泛函f(x)在xo处对于方向 h的一阶变分。令 (t)f(xoth),则’(o)tlinj⑴t(o)f(xo,h)od24、gx—gx odtx25、应变能密度：25、应变能密度：W(j)j(ki)dkio应变余能密度：Wc j(j)dj其关0系如下图所示:26、有限元方法的分片插值函数。27、的本质是：有限元r26、有限元方法的分片插值函数。27、的本质是：有限元r 1[u(x)]W(j)dV vfiUidV $Puds，j o(uuV V S=瑞兹法+具有局部紧支集Uj,i),其中［u(x)］为系fi为体积力分量，Pfi为体积力分量，Pi为给定S边ijnjPionSu统的总势能，vW(j)dV为应变能，后两项为外力势能,界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件 (uiuionG)和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能 (u)最小。其基本的未知函数是位移场 u,其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系， j1/2(ui,juj,i)。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：uiui0nSu。推导与证明过程如下:把口取一阶变分：WSn=vW(ij)dVvfiuidV $Piuids、——jdVvfiuidVsPuidsWV-ijdVVijijdVVij(1/2ui,j1/2uj,i)dV其中： ij1/2Vjui,jdV1/2Vjuj,idV Vjui,jdVV[(ijui),j ij,jui]dV而v(ijui),jdV s(jui)njds s加uids s加uids由于在su上ui ui为已知，则ijnjuids=0 所以supiuids由sn=0得ssn=sjnjuidsvj,juidVpiuids由sn=0得sij,j fi 0on

即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是口的最小值：设正确解是Ui,,其它满足位移边界条件的容许位移是 Ui*,则Ui*=Ui,+SUi,则£ij=£ij+S£ij,由此得到：n*=n+sn+s2n其中sn=0,s2n=W(iJdV>0,所以口*>口，则极小值即是V ij最小值。证明完毕。28、系统的总余能 c() Wc(j)dV uiijnjds,其中第一项为系统的应变余能，c VcJ sjj第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足 ijjfi0in和"Q石on, JjSu的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场 j,对其要求为ij,j fi0inijQjPion Su证明如下：对c()取一阶变分：W(dVUW(dVUijnjds,其中WWCdVjjdV1/2(UijUji) jdVuj,dV(q.)jdVujjdVViJiJ V i,JJ,iiJ Vi，JiJ ViiJ，J v[iJ，J由高斯定理可知：V(Uiij),jdV sUiijnjds 在边界面S上，j%r是已知的，所以ijnj P。，则v(Uiij),jdVsUiijnjds同理，由于j,j fi 0,其中fi是给定的，所以在内，j,j=0O由以上推导可得：c() (0-Ui)jnjds,由极值条件 c()=0,得匚 Ui,在Su上。这就说明了c()取得极值时的j既满足外力已知的边界条件， 也满足位移已知的边界条件， 所以是正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值：设外力已知边界条件下的应力分量为 J「 ;; ;;c()V Wc( ij)dV Ui ijnjdsV Wc( jj)dV Ui( j j)njdsV su V su

c*() c() c() 2c(),其中2c()VWC(j)dV0,所以*一. 、・一c()<c(),所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reissner混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数,应力场使系统的总势或总余能最小。证明：构造余能泛函：vWc(j)dVsUiijAjdsVi(ij,j fi)dV si(ijRj变分得：依j的对称性，得i,jj1/2(i,jj,i)ij。则真实的位移场和吊dVF?)dSs(Uii)

sijnjdsv(ij,ji,j)ijdV依j的对称性，得i,jj1/2(i,jj,i)ij。则真实的位移场和吊dVF?)dSs(Uii)

sijnjdsv(j,ji,j)jdVv[j,j1/2(i,jj』)]jdV由=0的驻值条件可得：ij,j1/2(i,jj,i) j,jfi0inii=0 jnjP=0onsui ionsu取Ui i,iUi,则余能泛函变为