向量知识点总结

向量知识点总结一、教学要求：.理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。.理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。.掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算.有关概念（1）向量一一既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向线段表示向量八曰一由/［方向向量一要素<［长度—,—,（2）向量的模一有向线段的长度IABI,IaI—^长度等于—^长度等于1的向量叫做单位向量，a0f

a

f

IaI-f-f-f零向量0（0的方向不定），I0I=0（3）共线向量（平行向量）一一方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。（4（4）相等的向量长度相等ff方向相同a二bff规定：0=0向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。.向量有三种形式（或三种表示）几何表示<——>几何运算代数表示<——>代数运算

坐标表示<——>坐标运算.向量的加法、减法与数乘(1)向量的加法一一三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则->->—>如图，求(2)向量的减法：—>—>—>―>―>—>a-b=a+{-b),即向量a加上b的相反向量。二二的箭头指向被减向量)(3)实数与向量的乘积—>―>长度I九aI=|X|*\a\―>X>0时与〃同向X<0时与〃反向\\X<0时与〃反向\\aIIa―>—>―>―>―>—>※匕〃a（awO）o存在唯一实数入，使Z?=入a.向量的运算法则（加、减、数乘）―>—>—>设向量a,b,c及实数入，内则：TTTT@a+b=b+a―>—>―>―>―>—>(2)(a+b)+c=a+(b+c)TOC\o"1-5"\h\z―>—>—>③(九+|Li)a=Xa+|Lia―>—>―>—>④入(a+Z?)=Xa+XZ?->—>⑤I九aI=|X|,IaIffffff@1al-lb\<\a±bl<la\+\b\（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）.平面向量基本定理（向量的分解定理）TOC\o"1-5"\h\z->―>_>e,e是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a,存在12唯一实数对入，1―>唯一实数对入，1X,使得a=Xe+九e

21122（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯对向量的―>—>―>―>―>—>和。入e+入e叫做向量e，e的线性组合，e，e叫做表这一平面内所11221212有向量的一组基底。'①基底不唯一，关键是不共线、、②基底给定，分解形式唯一>应用：—>—>设。4,3不共线，点o在直线上（即A、B、0三点共线）―>—>—>0。尸=入04+|1108且入+N=1（九，N"（二）向量的坐标运算底，则该平面内任一向量a,有且只有一对实数x,称（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=示。（如图，当把向量〃的起点移至原点时，（X,坐标，即A（r,y）,X,y是向量W在X,y轴上的射影也相同。）丁11y।应；一iy,使得a=xi+yj,（x,y）,即为向量的坐标表y）是向量〃=。4终点A的->,与。相等的向量的坐标1.在直角坐标系内，分别取与X轴，y轴同方向的两个单位向量i,J作为基ffff2.向量的坐标运算已知a=(x,y),bii—>—>——贝U：(1)a+b=(%二Q工——((2)a一b=\x一x,12———(BA-a-b=Xx一x,y12'1AB1-Ai|l(x-xJ2+(y-%12L9T、一三，工、工二(x,y),XeR22>—>—>—>+yj)+(xi+yj)122+x)z+(y+y)j121\2+x，y+31212y-y)，设AI,y)B(x,y)121122v-y)12y}2(3)Xa-xC,y)=Qxii(三)平面向量的数量积->—>ZAOB=->—>ZAOB=0叫做向量a与b的夹角。记作―>—>―>—>设向量OA-a,OB=b,TOC\o"1-5"\h\z―>—>―>—><a,b>,0°<<a,b><180°―>—>―>―>―>—>(1)数量IaI,IbIcos0叫做a与b的数量积(或内积)，记作a-b―>—>―>—>即a,b=\a\•\bIcos0(2)数量积的几何意义:TOC\o"1-5"\h\z—^—^—^—^—^—^—^a,b等于a的模IaI与b在a的方向上的射影IbIcos0的乘积。.数量积的运算法则—夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕a,b=b•a,a-0=0-a=0>>>>>>(2)(九a)•b二九(a,b)=a•(九b)\XeR)——————————————(3)(a+b)•c=a•c+b•c注意：数量积不满足结合律！——————=Q,y)•Q,y)=xx+yy(a•b=Q,y)•Q,y)=xx+yy113.重要性质———————e=IaI•cos0(1)设e是单位向量，———————————(3)a〃boa——b=0ox•x+y•y=0b=IaI•IbI或12———a•b=-IaI•oxy1-xy=021(4)T2oxy1-xy=021(4)T2

a(5)cos0=o）a唯一确定）（四）定比分点与平移1.线段的定比分点1，yJ，1，yJ，P2y2）'分点Py)设P,P是l上两点，P点在/上且12X+X+入X

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