北京市丰台区2021-2022学年第一学期期末高三数学试题及答案(高清版)试题及

丰台区2021—2022学年度第一学期期末练习高三数学

2022.01第一部分

（选择题

共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1A={x|x2}B={x|x1或x3}AB=（A）{x|1<x<3} （B）{x|1<x<1} （C）{x|1<x<2} （D）{x|2<x<3}（A）第一象限

11i对应的点位于（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限已知等差数列

的前n项和为

．若S

S=10，则a=n n 4 5 4（A）1 （B）2 （C）3 （D）41下列函数中，既是奇函数又在区间(1)上单调递增的是1（A）y=x （B）y=x3 （C）y=cosx

（D）

y=(x+1)2已知是两个不同的平面，直线l，那么“‖”是“‖”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件已知抛物线Cy2

=8x的焦点为F，点M在C.若O是坐标原点，|M=6，则=（A）8 （B）12 （C）82 （D）83频率分布直方图.若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为6575（C）85（D）95丰台区高三数学期末考试试题 第1页/共11页 .已知函数f(x)=2x1|x< (x12x

g(x)=f(x)

有两个不同的零点，则实数k

的取值范围是A）C）(0]

B）(1]D）[1)I声强级LI

（单位：dB）由公式LI

=10lg(1012

)给出，其中I为声强（单位：W/m2）.人在正常说话40~60dB60dBdB（A）1011.5 （B）109.5 （C）106.5 （D）1024已知函数f(x)=x)0)在区间[]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：4①f(x)在区间()上有且仅有3个不同的零点；②f(x)的最小正周期可能是；21317③ 的取值范围是[ ，)；4 4④f(x)在区间(,)上单调递增.15其中所有正确结论的序号是（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）②③④第二部分

（非选择题 共110分）5525在(x2)5x2的系数为

（用数字作答）xOy中，角以Ox为始边，它的终边与以原点OP(x3，,5则cos()= ．525已知双曲线C:x2 y2a2 b2

=1(a0,b0)

，C的焦点到其渐近线的距离为 5，则a= ．设n

a2

aS1

S1

和公比q的值依次为 ．已知点P(20)和圆O:x2y2=36上两个不同的点M，N，满足MPN=9，Q是弦MN的中点给出下列四个结论：①|MP|的最小值是4；丰台区高三数学期末考试试题 第2页/共11页②点Q的轨迹是一个圆；③若点(3)，点B(5)，则存在点Q，使得B=9；④△MPN面积的最大值是18+217.其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共13分）在△ABC中，a=7，b=8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求△ABC的面积.条件c3；条件cosB1.7注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.（本小题共15分）如图，在四棱锥PABCDABCDPADABCDQPDPAAD，PA=AB=2.（Ⅰ）求证：PA平面ABCD；（Ⅱ）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；（Ⅲ）求直线PB到平面ACQ的距离.18.（本小题共14分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第55项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验.为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：第1天第2天第3天第4天第5天传统艺术活动书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530（Ⅰ）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（Ⅱ）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况,现随机选择3项传统艺术活动，设选择丰台区高三数学期末考试试题 第3页/共11页丰台区高三数学期末考试试题第丰台区高三数学期末考试试题第PAGE11页/共11页的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有X项，求X的分布列和数学期望E(X)；（Ⅲ）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈.设这3名学生均选择了第k天传统艺术活动的概率为P(k5)写出PPk 1 2PPP3 4

的大小关系.19.（本小题共14分）已知函数fxx2alnx(aR且a0).(Ⅰ)当a1时，求曲线yf(x)在点(,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.20.（本小题共15分）已知椭圆Cx2a2

y21(ab0)过点(21)，离心率为 .2b2 22（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ设椭圆C的右顶点为AD(40)的直线l与椭圆C交于不同的两点MN（均异于点A，直线AM，AN分别与直线x4交于点P，Q.求证：为定值.21.（本小题共14分）若有穷数列{an

}(nN*且n3)满足|i

ai1

|≤|ai1

ai2

|i

n2)，则称an

}为M数列.（Ⅰ）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3.②4，2，8，1.（Ⅱ）已知M数列{an

}中各项互不相同.令bm

|am

am1

|(mLn1)n

}是等差数列的充分必要条件是数列m（Ⅲ）已知M数列

}是常数列;}是m(mN*且m≥3)个连续正整数Lm的一个排列.若m1|k

ak

n|m2，求m的所有取值.k1丰台区2021～2022学年度第一学期期末练习高三数学参考答案2022．01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案BDABAACDCB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．3 511．8014112

12．5 13．215．①②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（13）解：选条件c3（Ⅰ）ABC中，因为a7b8c3，cosAb2c2

64+9

1.因为0A所以A.3（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA 32

2bc

283 2

……………….7分ABC的面积S1bcsinA18

36 .

……………….13分3选条件cosB137

2 2 2（Ⅰ）在△ABC中，因为cosB1,7437所以sinB .437sinA

asinB 7 43 3.b 8 7 2由题可知B,所以0A.2 2所以A.3（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosA1.2

……………….7分因为sinC=sin[(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB3= (2 73

143+2 74333=14，333所以△ABC的面积S=1absinC=17833=6 32 2 14

……………….13分17.（本小题共15分）（Ⅰ）因为平面D平面D，PADIABCDAD，PAAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD.（Ⅱ）ABCDPAABCDABADAP两两互相垂直．如图，建立空间直角坐标系AxyzPAAB2，所以(0)，P(2)，C(0)，Q(1)，=(20)，=(01).因为PA平面ABCD，所以=(02)为平面D的一个法向设平面Q的一个法向量为n=(yz)，n=， 2x2y=0,

……………….4分则则n

即yz0.令x=1，则y=z=1.于是n=(11).设平面ACQ与平面ABCD 的夹角为，所以cos

<

|n|3=3．3|n|||3即平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为3．

……………….11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面Q的法向量为n=(1)，=(2-2).因为n=0，且B平面ACQ.所以点PACQPBACQ的距离.因为=(02)，所以点PACQ

|n|23|n| = 3 23233即直线PB到平面ACQ23318（本小题共14分）

……………….15分（Ⅰ）由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A为“从样本学生中随机选取1故所求概率为PA175=7.

………………4分300 12（Ⅱ）由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有3项，X的所有可能值为，23.P(X=1)=C1C2=3，3 2C3 105P(X=2)=C2

6 3= = ，3 2C3 10 553P(X=3)=C33C35

1=10.XP13X的数学期望EX

32331=

……………….11分10 5 10 5（Ⅲ）

<p<p15 1

<p<p3 2.

……………….14分19.（本小题共14分）（Ⅰ）当a=1时，因为f(x)=x2nx，所以f(x)=2x1，f(1)=1.x又因为f(1)1，所以曲线y=f(x)在点(,f(1))处的切线方程为y1=x即xy0.（Ⅱ）因为fxx2alnx(aR且a0)，

……………….4分f(x)=

a 2x2

x (0 ).所以 x

x ，

当a<0时，f(x)0，所以f(x)在(0)上单调递增.1 1 1取xea，则f(ea(ea210，不符合题意.a2当a0时，令f(x)=0，解得xa2

或x= （舍）.a2当x(0,a)时，f(x)<0，所以f(x)在区间(0a2

a)上单调递减.2 2当x( a)时，f(x)0，所以f(x)在区

a)上单调递增.2 2所以f(x)在(0)上的最小值为f

)=aaln a2a2a2a2

a a 2(1 ln2) 若f(x)0恒成立，只需f( a)0，解得0<a2e2综上可知，a的取值范围是(02e].20（本小题共15分）

……………….14分2c ,2a 2（Ⅰ）由题意得a2b2c2,2 1 a2

b2b解得a24b22.x2所以椭圆C的方程是

y2 1

……………….5分4 2（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为yk(x4)（k0，M(x

)，N(xy)，yk(x

1 1 2 2由x2 y2 得(2k21)x216k2x32k240.4

21则x

16k2

，x

32k24.1 2 2k21 12 2k2166666依题意(16k2)24(2k224)0，解得k

0) (, ).6因为点A的坐标为(20)，所以直线M的方程为y

y1x1

(x2).1令x4，得点P的纵坐标为y 21

2k(x

4)，xx11所以|DP|xx11

x2 x21 1xx22同理，可得|DQ|2xx22(x4)(x(x2)(x121(x4)(x(x2)(x1212xx4(xx4(xx)xx2(xx)121 2121 232k232k2442k22k232k2422k22k232k232k2464k216(2k232k2432k24(2k2=4k2=6.

128k2所以|DP||DQ|为定值6 15分21（本小题共14分）（Ⅰ）①因为|24|43|，所以该数列不是M数列；②因为|422881|M

……………….4分（Ⅱ）必要性：若数列n

是等差数列，设公差为d，则b am m

am+1

d|.所以数列bm

是常数列.充分性：若数列m

是常数列，则b=bm m+1

(m=12Ln2)，即|am

am+1

m+1

am+2

|(m=2Kn2).所以a a =a a 或a a =(a a ).m m+1 m+1 m+2 m m+1 m+1 m+2因为数列an

的各项互不相同，所以a a =a a .m m+1 m+1 m+2所以数列an

是等差数列. ……………….8分（Ⅲ）当m3时，因为|ai

ai+1

2(i=2)，所以|a1 2

|+|a2

a5，不符合题意；3当m=4时，数列为241此时|aa1 2

|+|a2

a|+|a3

a|6，符合题意；4当m=5时，数列为1.此时|aa1 2下证当m