指数与指数函数

第二章函数、导数及其应用第五节指数与指数函数命题分析预测学科核心素养本节在高考中的考查热点有：(1)比较指数式的大小；(2)指数函数的图象与性质的应用；(3)以指数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用，以选择题和填空题为主，难度中等.本节通过指数运算、指数函数的图象及性质考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.知识点一根式与指数幂的运算1．根式的概念xn＝a正数负数相反数

aa－aa

0没有意义(2)有理数指数幂的性质①aras＝__________(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝__________(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝__________(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．

C

－2x2y

(0，＋∞)

减函数增函数指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1和0<a<1.[小题诊断]1．某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(

)A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)B2．(易错题)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________.3．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为_________________．c>d>1>a>b>0

π＋8[方法总结]

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加．(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(

)A2．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(

)A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．2－a＜2cD．1＜2a＋2c＜2D解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.[方法总结]

1.对于已知函数解析式识别函数图象的选择题，可以考虑应用特值法．2．对于与指数函数的图象有关的问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．[注意]

当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论．

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小或解不等式；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质.角度(一)比较大小或解不等式[例1]

(1)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则(

)A．ln(y－x＋1)＞0

B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0A(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为_______________．{x|x＞4或x＜0}[方法总结]

1.比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造同一幂函数，利用图象比较大小．2．有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解．

C

[方法总结]形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．

C

(2)已知函数f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．①若f(x)为偶函数，求b的值；②若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．[解析]

(2)①因为f(x)为偶函数，所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.Ⅰ.当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2；Ⅱ.当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．