北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 41 二次函数的图像》示范课课件-31

二次函数的图像

北师大版必修1《2.4.1二次函数的图像》

二次函数的图像

北师大版必修1《2.4.1二次函数的图像》生活中的二次函数图像生活中的二次函数图像

1.使学生理解二次函数y=x2、y=ax2、

y=a(x+h)2+k及y=ax2+bx+c(a≠0)图象之间的关系。

2.理解二次函数中参数a、b、c、h、k对其图像的影响。

3.培养学生数形结合的思想意识。

教学目标

1.使学生理解二次函数y=x2、y=ax2、

重点：

二次函数图像的平移变换规律及应用。

难点：

探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律求函数解析式。重点难点

重点：

二次函数图像的平移变换规律及应用问题提出⒈y=x2和y=ax2(a≠0)图像之间有什么关系？⒊y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)图像之间有什么关系？⒉y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)图像之间有什么关系？？教学过程问题提出⒈y=x2和y=ax2(a≠0)图像之间有什么关一、y=x2和y=ax2图像之间关系的研究一、y=x2和y=ax2图像之间关系的研究

要研究二次函数y=x2和y=ax2图像之间的关系，我们首先来绘二次函数y=x2的图像。X…-3-2-10123…x2…9410149…根据上表绘制二次函数y=x2图象如下:绘制二次函数y=x2图像，先列表如下：要研究二次函数y=x2和y=ax2图像之间的关系，我X…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…188202818…

从表中不难看出，要得到2x2值，只要把相应的x2的值扩大到原来的2倍就可以了。这种现象表现在图像上，就是保持y=x2图像横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍。

在绘制二次函数y=x2的图像此基础上绘制y=2x2，列表如下：X…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…18北师大版高中数学必修1《二章函数4二次函数的再研究41二次函数的图像》示范课课件_31

从以上几个例子中，我们不难发现：

二次函数y=ax2的图像可以由二次函数y=x2图像上点的纵坐标变为原来的a倍得到，并且a决定了抛物线的开口方向和开口大小。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。a的绝对值越大，抛物线开口越小；a的绝对值越小，抛物线开口越大。抽象概括1从以上几个例子中，我们不难发现：抽象概括1二、y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)图像之间关系的研究二、y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)图像之间

首先我们研究二次函数y=2x2与y=2(x+1)2+3图像的关系。

在初中我们已经知道，只要把y=2x2的图像向左平移1个长度单位，再向上平移3个长度单位，就可以得到y=2(x+1)2+3的图像。它们形状相同，位置不同。首先我们研究二次函数y=2x2与y=2(x+1)2+⑴由y=-3x2的图像，画出y=-3(x-1)2+1的图像。⑵想象一下并回答：由y=-3x2图像，如何得到y=-3(x+2)2-1的图像？⑶想象并回答：把y=-3x2的图像，向右平移2个单位长度，再向上平移五个单位长度，能得到那个函数的图象？动手实践⑴由y=-3x2的图像，画出y=-3(x-1)2+1的图像。根据上面的分析，我们很容易得到如下结论：

一般地，二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)，a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。抽象概括2根据上面的分析，我们很容易得到如下结论：抽象概括2三、y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)图像之间关系的研究三、y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)图像之间

首先我们研究二次函数y=2x2与y=2x2+4x-1图像的关系。

为研究y=2x2+4x-1的图像，通过配方:y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3

至此，我们知道，把y=2x2的图像左移一个长度单位，再下移3个长度单位，就可以得到y=2x2+4x-1的图像。首先我们研究二次函数y=2x2与y=2x2+4x-1

类似的，我们可以绘制出二次函数y=-3x2+5x-5及的y=x2+5x-6图像。类似的，我们可以绘制出二次函数y=-3x2+5x-5及抽象概括3抽象概括3思考交流1

二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，h、k对函数图像有何影响？h、k会影响到函数图象的位置。h决定图像的左右移动；k决定图像的上下移动。思考交流1二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中思考交流2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的是参数a；确定函数位置的参数是a、b、c。思考交流2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中例1指出函数y=-(x-1)2＋2的图象与函数y=-x2的图象的关系，进一步指出这个函数图象的对称轴和开口方向。

解：根据题意，函数y=-(x-1)2＋2的图象由函数y=-x2的图象向右平移1个单位、向上平移2个单位得到；因为函数y=-x2的图象的对称轴是x=0，所以函数y=-(x-1)2＋2的图象的对称轴是x=1；又因为a=-1，所以函数y=-(x-1)2＋2的开口向下。点评：本题主要考察二次函数y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)

图象之间的关系。例1指出函数y=-(x-1)2＋2的图象与函数y=-例2

二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式：

⑴函数g(x)=x2,f(x)图像的顶点是（4，-7）；

⑵函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图像的顶点是（-3,2）。

解：如果二次函数的图象与y=ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是（-h,k），则其解析式为y=a(x+h)2+k。⑴因为f(x)与g(x)=x2图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是（4，-7）∴f(x)=(x-4)2-7=x2-8x+9;⑵因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)=-2(x+1)2又与y=-2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y=-2x2图像开口大小相同，开口方向也相同。又因为f(x)图像的顶点是（4，-7）∴f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.

点评：本题主要考察二次函数的解析式、图像和性质，考察数形结合的能力。例2二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开1.已知函数y＝6x2、y＝6(x-3)2＋3和y＝6(x＋3)2-3。(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x-3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2-3。2.f(x)=-2x2和g(x)=3x2的图像都是抛物线，在同一坐标系中，那个开口大些？课堂练习1.已知函数y＝6x2、y＝6(x-3)2＋3和y＝6(x＋

【知识方面】本节课我们主要学习了二次函数y=x2、y=ax2、

y=a(x+h)2+k及y=ax2+bx+c(a≠0)图象之间的关系，以及参数a、b、c、h、k对其图像的影响。

【思想方法】教学中体现着从特殊到一般、数形结合的思想方法。课堂小结

【知识方面】本节课我们主要学习了二次函数y=x2、y=a作业1．巳知函数y＝-x2、y＝-x2-1和y＝-(x＋1)2-1(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝-x2得到抛物线y＝-x2-1和抛物线y＝(x＋1)2-1；

2.二次函数的图象满足下列条件，求它的解析式：

⑴顶点为（2，-1），过点（3,1）；⑵过点（0,1）、（1,1）和（4，-9）。作业1．巳知函数y＝-x2、y＝-x2-1和y谢谢！谢谢！二次函数的图像

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北师大版必修1《2.4.1二次函数的图像》生活中的二次函数图像生活中的二次函数图像

1.使学生理解二次函数y=x2、y=ax2、

y=a(x+h)2+k及y=ax2+bx+c(a≠0)图象之间的关系。

2.理解二次函数中参数a、b、c、h、k对其图像的影响。

3.培养学生数形结合的思想意识。

教学目标

1.使学生理解二次函数y=x2、y=ax2、

重点：

二次函数图像的平移变换规律及应用。

难点：

探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律求函数解析式。重点难点

重点：

二次函数图像的平移变换规律及应用问题提出⒈y=x2和y=ax2(a≠0)图像之间有什么关系？⒊y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)图像之间有什么关系？⒉y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)图像之间有什么关系？？教学过程问题提出⒈y=x2和y=ax2(a≠0)图像之间有什么关一、y=x2和y=ax2图像之间关系的研究一、y=x2和y=ax2图像之间关系的研究

要研究二次函数y=x2和y=ax2图像之间的关系，我们首先来绘二次函数y=x2的图像。X…-3-2-10123…x2…9410149…根据上表绘制二次函数y=x2图象如下:绘制二次函数y=x2图像，先列表如下：要研究二次函数y=x2和y=ax2图像之间的关系，我X…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…188202818…

从表中不难看出，要得到2x2值，只要把相应的x2的值扩大到原来的2倍就可以了。这种现象表现在图像上，就是保持y=x2图像横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍。

在绘制二次函数y=x2的图像此基础上绘制y=2x2，列表如下：X…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…18北师大版高中数学必修1《二章函数4二次函数的再研究41二次函数的图像》示范课课件_31

从以上几个例子中，我们不难发现：

二次函数y=ax2的图像可以由二次函数y=x2图像上点的纵坐标变为原来的a倍得到，并且a决定了抛物线的开口方向和开口大小。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。a的绝对值越大，抛物线开口越小；a的绝对值越小，抛物线开口越大。抽象概括1从以上几个例子中，我们不难发现：抽象概括1二、y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)图像之间关系的研究二、y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)图像之间

首先我们研究二次函数y=2x2与y=2(x+1)2+3图像的关系。

在初中我们已经知道，只要把y=2x2的图像向左平移1个长度单位，再向上平移3个长度单位，就可以得到y=2(x+1)2+3的图像。它们形状相同，位置不同。首先我们研究二次函数y=2x2与y=2(x+1)2+⑴由y=-3x2的图像，画出y=-3(x-1)2+1的图像。⑵想象一下并回答：由y=-3x2图像，如何得到y=-3(x+2)2-1的图像？⑶想象并回答：把y=-3x2的图像，向右平移2个单位长度，再向上平移五个单位长度，能得到那个函数的图象？动手实践⑴由y=-3x2的图像，画出y=-3(x-1)2+1的图像。根据上面的分析，我们很容易得到如下结论：

一般地，二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)，a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。抽象概括2根据上面的分析，我们很容易得到如下结论：抽象概括2三、y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)图像之间关系的研究三、y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)图像之间

首先我们研究二次函数y=2x2与y=2x2+4x-1图像的关系。

为研究y=2x2+4x-1的图像，通过配方:y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3

至此，我们知道，把y=2x2的图像左移一个长度单位，再下移3个长度单位，就可以得到y=2x2+4x-1的图像。首先我们研究二次函数y=2x2与y=2x2+4x-1

类似的，我们可以绘制出二次函数y=-3x2+5x-5及的y=x2+5x-6图像。类似的，我们可以绘制出二次函数y=-3x2+5x-5及抽象概括3抽象概括3思考交流1

二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，h、k对函数图像有何影响？h、k会影响到函数图象的位置。h决定图像的左右移动；k决定图像的上下移动。思考交流1二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中思考交流2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的是参数a；确定函数位置的参数是a、b、c。思考交流2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中例1指出函数y=-(x-1)2＋2的图象与函数y=-x2的图象的关系，进一步指出这个函数图象的对称轴和开口方向。

解：根据题意，函数y=-(x-1)2＋2的图象由函数y=-x2的图象向右平移1个单位、向上平移2个单位得到；因为函数y=-x2的图象的对称轴是x=0，所以函数y=-(x-1)2＋2的图象的对称轴是x=1；又因为a=-1，所以函数y=-(x-1)2＋2的开口向下。点评：本题主要考察二次函数y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)

图象之间的关系。例1指出函数y=-(x-1)2＋2的图象与函数y=-例2

二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式：

⑴函数g(x)=x2,f(x)图像的顶点是（4，-7）；

⑵函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图像的顶点是（-3,2）。

解：如果二次函数的图象与y=ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是（-h,k），则其解析式为y=a(x+h)2+k。⑴因为f(x)与g(x)=x2图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是（4，-7）∴f(x)=(x-4)2-7=x2-8x+9;⑵因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)=-2(x+1)2又与y=-2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y=-2x2图像开口大小相同，开口方向也相同。又因为f(x)图像的顶点是（4，-7）∴f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.

点评：本题主要考察二次函数的解析式、图像和性质，考