大二上学期复习-概论最终第01章

一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,有放回地取两次.记A

第一次抽取,取到绿球,B

第二次抽取,取到绿球,则有P(B

A)

P(B),它表示A

的发生并不影响B

发生的可能性大小.P(B

A)

P(B)P(

AB)

P(

A)P(B)设A,B

是两事件,如果满足等式P(

AB)

P(

A)

P(B)则称事件A,B

相互独立,简称A,B

独立.说明事件A

与事件B

相互独立,是指事件A

的发生与事件B

发生的概率无关.2.定义两事件相互独立

P(AB)

P(A)P(B)两事件互不相容(互斥)

AB

BABA若P(A)

1

,P(B)

1

,2

2则P(AB)

P(A)P(B).例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.请思考：两事件相互独立与互不相容的关系？二者有无必然联系？BA若P(A)

1

,P(B)

12

2则P(AB)

0,由此可见两事件互斥但不独立.4故P(AB)

P(A)P(B).P(

A)P(B)

1

,3.三事件两两相互独立的概念.则称事件A,B,C

P(

AC

)

P(

A)P(C

),

P(BC

)

P(B)P(C

),定义

设

A,

B,C

是三个事件,如果满足等式

P(

AB)

P(

A)P(B),两两相互独立4.三事件相互独立的概念则称事件A,B,C

相互独立.注：三个事件相互独立

三个事件两两相互独立P(

ABC

)

P(

A)P(B)P(C

),P(

AC

)

P(

A)P(C

),定义

设

A,

B,C

是三个事件,如果满足等式P(

AB)

P(

A)P(B),P(BC

)

P(B)P(C

),反例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A

，B，C

分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?P(

A)

P(B)

P(C

)

1

,2P(

AB)

P(BC

)

P(

AC

)

1,144P(

ABC)

211

2

kki

i)P(

A

)P(

A

),iP(

Ai

Ai

Ai

)

P(

A则称A1

,A2

,,An

为相互独立的事件.n

个事件相互独立n个事件两两相互独立

k

具i有等式推广

设

21,,,

n1(

nk),k任意1nA个A事A

件,是如果对于任意21A,B

相互独立

P(B

|

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(

A)二、几个重要定理定理一证明A,B

相互独立

A

与B相互独立

A

与B相互独立

A

与B

相互独立.定理二P(

AB)

P(

A)

P(

AB

).

P(

A)

P(

A)P(B)

P(

A)(1

P(B))

P(

A)P(B).两个结论若事件A1

,A2

,,An

(n

2)相互独立,则其中任意k

(2

k

n)个事件也是相互独立.若n

个事件A1

,A2

,,An

(n

2)相互独立,则将A1

,A2

,,An

中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的n

个事件仍相互独立.射击问题例1设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?解设事件Ai

为“第i

名射手击落飞机”,事件B

为“击落飞机”,则B

A1

A2

A10

,三、典型例题i

1,2,,10.P(B)

P(

A1

A2

A10

)

1

P(

A1

A2

A10)

1

P(

A1

)P(

A2

)P(

A10

)

1

(0.8)10

0.893.

1

P(

A1

A2

A10

))能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性. ,设有

4

个独立工作的元件1,

2,

3,4

按先串联再并联的方式联结(

称为串并联系统)

,设第

i

个元件的可靠性为

pii

1,(2,3,4).

试求系统的可靠性.1

23

4例4解以Ai

(i

1,2,3,4)表示事件第i

个元件正常工作,以A

表示系统正常工作.则有

A

A1

A2

A3

A4.由事件的独立性,得系统的可靠性:P(

A)

P(

A1

A2

)

P(

A3

A4

)

P(

A1

A2

A3

A4

)

P(

A1

)P(

A2

)

P(

A3

)P(

A4

)

P(

A1

)P(

A2

)P(

A3

)P(

A4

)

p1

p2

p3

p4

p1

p2

p3

p4

.练习：概率为p

(p

1

2),有利,还是采用五局三胜制有利互独立.解

采用三局二胜制,甲最终获胜,胜局情况可能是:“甲甲”,

“乙甲甲”, “甲乙甲”;由于这三种情况互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为:21p

p

2

p2

(1

p).采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3

局,且最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局.例如,

比赛四局,

则甲的胜局情况可能是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;由于这三种情况互不相容,于是由独立性得:在五局三胜制下,甲最终获胜的概率为:3

43

3

3

22

p

p

p

(1

p)

p

(1

p)

.2

2由于

p

p

p2

(6

p3

15

p2

12

p

3)2

1

3

p2

(

p

1)2

(2

p

1).22

1当

p

1

时,

p

p

;2故当p

1

时,对甲来说采用五局三胜制有利.四、小结1.

A,B

两事件独立

P(AB)

P(A)P(B)A,B,C

三个事件相互独立P(

AB)