2023届广西南宁市“4 N”高中联合体高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．2．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12种 B．24种 C．36种 D．48种3．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．4．已知数列满足，则（）A． B． C． D．5．已知函数，若，则等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．06．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．7．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．21 B．22 C．11 D．128．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．19．复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．211．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且12．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____14．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________.15．设命题：，，则：__________．16．，则f（f（2））的值为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，若的解集为．（1）求的值；（2）若正实数，，满足，求证：．18．（12分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.19．（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．21．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．（1）求．（2）设，求数列的前项和．22．（10分）如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2、C【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有种方案。故选：C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.3、B【解析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．4、C【解析】

利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时，；当时，由，可得，两式相减，可得，故，因为也适合上式，所以.依题意，，故.故选：C.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5、D【解析】分析：因为题设中给出了的值，要求的值，故应考虑两者之间满足的关系.详解：由题设有，故有，所以，从而，故选D.点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.6、B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．7、A【解析】

由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.【详解】解：由为等差数列，可知也成等差数列，所以，即，解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.8、B【解析】

过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE，所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.不妨设，则，.因为，所以，所以，当时，等号成立.此时EH与ED重合，所以，.故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.9、A【解析】

试题分析：由题意可得：.共轭复数为，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系10、B【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.11、D【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：，，.故选：D..【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.12、A【解析】

计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36，所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为：【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.14、【解析】

分别取，的中点，，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得；【详解】如图，分别取，的中点，，连接，则易得，，，，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，可得，解得，.故该球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.15、，【解析】

存在符号改任意符号，结论变相反.【详解】命题是特称命题，则为全称命题，故将“”改为“”，将“”改为“”，故：，.故答案为：，.【点睛】本题考查全(特)称命题.对全(特)称命题进行否定的方法：(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．16、1【解析】

先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））.【详解】由题意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见详解.【解析】

（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式证明.【详解】解：（1），，，因为的解集为，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，当且仅当，，，等号成立．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.18、（1）（2）见解析，最小值为4【解析】

（1）根据焦点到直线的距离列方程，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.【详解】（1）依题意，解得（负根舍去）∴抛物线的方程为（2）设点，由，即，得∴抛物线在点处的切线的方程为，即∵，∴∵点在切线上，①，同理，②综合①、②得，点的坐标都满足方程.即直线恒过抛物线焦点当时，此时，可知：当，此时直线直线的斜率为，得于是，而把直线代入中消去得，即：当时，最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.19、（1）（2）【解析】

（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.【详解】解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，，可得时，，不成立；当时，，即，解得（舍去），则；（2），前项和，，两式相减可得，化简可得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）分类讨论，，，即可得出结果；（2）先由题意，将问题转化为即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出结果.【详解】（1）由得，若，则，显然不成立；若，则，，即；若，则，即，显然成立，综上所述，的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，所以；因为，所以，解得，结合，所以的取值范围是．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.21、(1)(2)【解析】

(1)由数列是等差数列，所以，解得，又由，解得，即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和．【详解】(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以数列的通项公式为．(2)由（1）得，，，两式相减得，，即．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.22、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面/r/