第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

第十三章计数原理与概率第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第十三章计数原理与概率备考方向明确知识链条完善高频考点突破备考方向明确知识链条完善高频考点突破备考方向明确复习目标学法指导1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.运用计数原理解决问题时,要明确完成一件事情可以有不同类的方法还是需要分几步才能完成,并且要准确确定出每一类或每一步的方法数;对于复杂问题可同时应用两个原理.备考方向明确复习目标学法指导1.理解分类加法计数原理和分步乘知识链条完善网络构建一、分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=

种不同的方法.二、分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn知识链条完善网络构建一、分类加法计数原理m1+m2+…+mn拓展空间概念的理解(1)分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.(2)有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”或“分步”可以解决的,而要将“分类”和“分步”结合起来运用.(3)两个原理的地位有差别,分类计数更具有一般性,故通常是先“分类”,然后再在每一类中“分步”,分类时标准要明确,做到不重不漏,适当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚.拓展空间温故知新C1.为便民惠民,某通信运营商推出“优惠卡活动”.其内容如下:卡号的前七位是固定的,后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动,凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为“优惠卡”,则“优惠卡”的个数是(

)(A)1980 (B)4096 (C)5904 (D)8020解析:卡号后四位不带“6”和“8”的个数为84=4096,故带有“6”或“8”的“优惠卡”有5904个.故选C.温故知新C1.为便民惠民,某通信运营商推出“优惠卡活动”.其2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有(

)(A)1种 (B)3种 (C)6种 (D)9种C2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要D3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(

)(A)10种 (B)20种 (C)25种 (D)32种解析:因为规定每个同学必须报名,则每人只有2个选择.报名方法有2×2×2×2×2=32种.故选D.D3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一4.所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有(

)(A)45个 (B)36个 (C)30个 (D)50个5.三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过3次传递后,毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有(

)(A)5种 (B)2种 (C)3种 (D)4种BB4.所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有()解析:根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6×6×6=216种.6.6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有

种.

答案:216解析:根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6×6×6=21解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10种组合方式;第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式;第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理,值为1942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3=300.7.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:134+3802=3936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为1942的“简单的”有序对的个数是

.

答案:300解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;7.若高频考点突破考点一分类加法计数原理的应用如图,一条电路从A处到B处接通时,可有

条不同的线路.

解析:根据图形可知,电路从A处到B处接通时可以有3+1+2×2=8条不同的线路.答案:8[例1]高频考点突破考点一分类加法计数原理的应用如图,反思归纳运用分类加法计数原理的关键是分类标准恰当;分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,且只能属于某一类(即标准明确,不重不漏).反思归纳运用分类加法计数原理的关键是分类标准恰当;分类迁移训练1.某校高三年级5个班进行拔河比赛,每2个班都要比赛一场.到现在为止,(1)班已经比了4场,(2)班已经比了3场,(3)班已经比了2场,(4)班已经比了1场,则(5)班已经比了(

)(A)1场 (B)2场 (C)3场 (D)4场解析:设①②③④⑤分别代表(1)(2)(3)(4)(5)班,①比了4场,则①和②③④⑤均比了1场;由于④只比了1场,则一定是和①比的;②比了3场,是和①③⑤比的;③比了2场,是和①②比的.所以此时⑤比了2场,是和①②比的.5个班的比赛情况可以用如图表示.故选B.B迁移训练1.某校高三年级5个班进行拔河比赛,每2个班都要比赛2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(

)(A)14 (B)13 (C)12 (D)10解析:当a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能.当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,(ⅰ)若a=-1时,b=-1,0,1,2有4种可能;(ⅱ)若a=1时,b=-1,0,1有3种可能;(ⅲ)若a=2时,b=-1,0,有2种可能.所以有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.故选B.B2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+考点二分步乘法计数原理的应用[例2]

有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,知共有报名方法36=729(种).考点二分步乘法计数原理的应用[例2]有六名同学报名参加三(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.解:(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120(种).(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216(种).(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;解:(2)每项限报一反思归纳利用分步乘法计数原理解决问题(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;(2)分步要做到“步骤完整”,即只有完成了所有步骤,才完成任务;(3)对完成各步的方法数要准确确定.反思归纳利用分步乘法计数原理解决问题迁移训练已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则:(1)P可表示平面上

个不同的点.

(2)P可表示平面上

个第二象限的点.

解析:(1)因为P(a,b)(a,b∈M),所以a,b都有6种不同的取法,根据分步乘法计数原理得这样的点有6×6=36种.(2)当a<0,b>0时,点(a,b)就在第二象限,此时a有3种不同取法,b有2种不同的取法,所以共有3×2=6种.答案:36

6迁移训练已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a考点三两个计数原理的综合应用[例3]

用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成

个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)

思路点拨:按首位数字的奇偶性分类,在每一类中根据特殊位置(末位)优先原则进行分步.解析:当首位数字为奇数时,首位取法有3种,末位取法有4种,百位取法有5种,十位取法有4种,根据分步乘法计数原理,有3×4×5×4=240种取法,当首位数字为偶数时,首位取法有3种,末位取法有3种,百位取法有5种,十位取法有4种,根据分步乘法计数原理,有3×3×5×4=180种取法,根据分类加法计数原理,共可组成240+180=420个无重复数字的四位偶数.答案:420考点三两个计数原理的综合应用[例3]用0,1,2,3,4反思归纳

(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”,步步相连才能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.反思归纳(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步[例4]

用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(2)),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.[例4]用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(1)若n=6,为图(1)着色时共有多少种不同的方法?解:(1)为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C着色有4种方法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6×5×4×4=480(种).(1)若n=6,为图(1)着色时共有多少种不同的方法?解:((2)若为图(2)着色时共有120种不同的方法,求n.解:(2)图(2)与图(1)的区别在于与D相邻的区域由2块变成了3块,同理,不同的着色方法种数是n(n-1)(n-2)(n-3).因为n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又120<480,所以可分别将n=4,5代入得n=5时上式成立.所以n=5.(2)若为图(2)着色时共有120种不同的方法,求n.解:(反思归纳涂色问题的实质是分类与分步的综合运用,一般是整体分步,分步过程中若出现某一步需要分情况说明时,还要进行分类.反思归纳涂色问题的实质是分类与分步的综合运用,一般是整体第十三章计数原理与概率第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第十三章计数原理与概率备考方向明确知识链条完善高频考点突破备考方向明确知识链条完善高频考点突破备考方向明确复习目标学法指导1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.运用计数原理解决问题时,要明确完成一件事情可以有不同类的方法还是需要分几步才能完成,并且要准确确定出每一类或每一步的方法数;对于复杂问题可同时应用两个原理.备考方向明确复习目标学法指导1.理解分类加法计数原理和分步乘知识链条完善网络构建一、分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=

种不同的方法.二、分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn知识链条完善网络构建一、分类加法计数原理m1+m2+…+mn拓展空间概念的理解(1)分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.(2)有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”或“分步”可以解决的,而要将“分类”和“分步”结合起来运用.(3)两个原理的地位有差别,分类计数更具有一般性,故通常是先“分类”,然后再在每一类中“分步”,分类时标准要明确,做到不重不漏,适当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚.拓展空间温故知新C1.为便民惠民,某通信运营商推出“优惠卡活动”.其内容如下:卡号的前七位是固定的,后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动,凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为“优惠卡”,则“优惠卡”的个数是(

)(A)1980 (B)4096 (C)5904 (D)8020解析:卡号后四位不带“6”和“8”的个数为84=4096,故带有“6”或“8”的“优惠卡”有5904个.故选C.温故知新C1.为便民惠民,某通信运营商推出“优惠卡活动”.其2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有(

)(A)1种 (B)3种 (C)6种 (D)9种C2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要D3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(

)(A)10种 (B)20种 (C)25种 (D)32种解析:因为规定每个同学必须报名,则每人只有2个选择.报名方法有2×2×2×2×2=32种.故选D.D3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一4.所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有(

)(A)45个 (B)36个 (C)30个 (D)50个5.三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过3次传递后,毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有(

)(A)5种 (B)2种 (C)3种 (D)4种BB4.所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有()解析:根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6×6×6=216种.6.6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有

种.

答案:216解析:根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6×6×6=21解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10种组合方式;第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式;第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理,值为1942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3=300.7.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:134+3802=3936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为1942的“简单的”有序对的个数是

.

答案:300解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;7.若高频考点突破考点一分类加法计数原理的应用如图,一条电路从A处到B处接通时,可有

条不同的线路.

解析:根据图形可知,电路从A处到B处接通时可以有3+1+2×2=8条不同的线路.答案:8[例1]高频考点突破考点一分类加法计数原理的应用如图,反思归纳运用分类加法计数原理的关键是分类标准恰当;分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,且只能属于某一类(即标准明确,不重不漏).反思归纳运用分类加法计数原理的关键是分类标准恰当;分类迁移训练1.某校高三年级5个班进行拔河比赛,每2个班都要比赛一场.到现在为止,(1)班已经比了4场,(2)班已经比了3场,(3)班已经比了2场,(4)班已经比了1场,则(5)班已经比了(

)(A)1场 (B)2场 (C)3场 (D)4场解析:设①②③④⑤分别代表(1)(2)(3)(4)(5)班,①比了4场,则①和②③④⑤均比了1场;由于④只比了1场,则一定是和①比的;②比了3场,是和①③⑤比的;③比了2场,是和①②比的.所以此时⑤比了2场,是和①②比的.5个班的比赛情况可以用如图表示.故选B.B迁移训练1.某校高三年级5个班进行拔河比赛,每2个班都要比赛2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(

)(A)14 (B)13 (C)12 (D)10解析:当a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能.当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,(ⅰ)若a=-1时,b=-1,0,1,2有4种可能;(ⅱ)若a=1时,b=-1,0,1有3种可能;(ⅲ)若a=2时,b=-1,0,有2种可能.所以有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.故选B.B2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+考点二分步乘法计数原理的应用[例2]

有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,知共有报名方法36=729(种).考点二分步乘法计数原理的应用[例2]有六名同学报名参加三(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.解:(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120(种).(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216(种).(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;解:(2)每项限报一反思归纳利用分步乘法计数原理解决问题(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;(2)分步要做到“步骤完整”,即只有完成了所有步骤,才完成任务;(3)对完成各步的方法数要准确确定.反思归纳利用分步乘法计数原理解决问题迁移训练已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则:(1)P可表示平面上

个不同的点.

(2)P可表示平面上

个第二象限的点.

解析:(1)因为P(a,b)(a,b∈M),所以a,b都有6种不同的取法,根据分步乘法计数原理得这样的点有6×6=36种.(2)当a<0,b>0时,点(a,b)就在第二象限,此时a有3种不同取法,b有2种不同的取法,所以共有3×2=6种.答案:36

6迁移训练已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a考点三两个计数原理的综合应用[例3]

用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成

个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)

思路点拨:按首位数