大学高数三角函数总结

-.z.三角函数1.=1\*GB3①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：=2\*GB3②终边在*轴上的角的集合：=3\*GB3③终边在y轴上的角的集合：=4\*GB3④终边在坐标轴上的角的集合：=5\*GB3⑤终边在y=*轴上的角的集合：=6\*GB3⑥终边在轴上的角的集合：=7\*GB3⑦若角与角的终边关于*轴对称，则角与角的关系：=8\*GB3⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：=9\*GB3⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：=10\*GB3⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）3、弧长公式：.扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（*,y）P与原点的距离为r，则；；；；；..5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：三角函数定义域sin*cos*tan*cot*sec*csc*8、同角三角函数的基本关系式：9、诱导公式："奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六（二）角与角之间的互换公式组一公式组二公式组三公式组四公式组五,,,.10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、＞0）定义域RRR值域RR周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：=1\*GB3①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.=2\*GB3②与的周期是.=3\*GB3③或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）.=4\*GB3④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.=5\*GB3⑤当·；·.=6\*GB3⑥与是同一函数,而是偶函数，则.=7\*GB3⑦函数在上为增函数.（×）[只能在*个单调区间单调递增.若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].=8\*GB3⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）=9\*GB3⑨不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：.=10\*GB3⑩有.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y＝Asin（ω*＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当*＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），由y＝sin*的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asin*的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）由y＝sin*的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω*的图象，叫做周期变换或叫做沿*轴的伸缩变换．(用ω*替换*)由y＝sin*的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（*＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿*轴方向的平移．(用*＋φ替换*)由y＝sin*的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sin*＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）由y＝sin*的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ω*＋φ）（A＞0，ω＞0）（*∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延*轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用"1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tan*·cot*=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2*+2cos2*=(sin2*+cos2*)+cos2*=1+cos2*；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的"差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1．已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2).说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2．求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，，当时，，所以，函数的值域为。例3．已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时*的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解：(1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例4．已知函数y=cos2*+sin*·cos*+1（*∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量*的集合；（2）该函数的图像可由y=sin*(*∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2*+sin*·cos*+1=(2cos2*－1)++（2sin*·cos*）+1=cos2*+sin2*+=(cos2*·sin+sin2*·cos)+=sin(2*+)+所以y取最大值时，只需2*+=+2kπ,（k∈Z），即*=+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量*的集合为{*|*=+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sin*依次进行如下变换：（i）把函数y=sin*的图像向左平移，得到函数y=sin(*+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2*+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2*+)的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2*+)+的图像。综上得到y=cos2*+sin*cos*+1的图像。说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sin*,cos*的齐次式，降幂后最终化成y=sin(ω*+)+k的形式，二是化成*一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cos*=0时，y=1；当cos*≠0时，y=+1=+1化简得：2(y－1)tan2*－tan*+2y－3=0∵tan*∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤∴yma*=，此时对应自变量*的值集为{*|*=kπ+,k∈Z}例5．已知函数（Ⅰ）将f(*)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为*，试求*的范围及此时函数f(*)的值域.解：（Ⅰ）由=0即即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域为.综上所述，，值域为.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，，所以，因为，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。三角函数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．集合M＝{*|*＝eq\f(kπ,2)±eq\f(π,4)，k∈Z}与N＝{*|*＝eq\f(kπ,4)，k∈Z}之间的关系是（）A.MN B.NMC.M＝N D.M∩N＝3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）A.60° B.－60°C.30° D.－30°4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是()A.（1）（2） B.（2）（3）C.（1）（3） D.（2）（4）5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），则sinα＋2cosα的值等于（）A.eq\f(2,5) B.－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.－eq\f(1,5)6．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（）A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.±eq\f(\r(3),2)7．若α是第四象限角，则π－α是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A.2 B.eq\f(2,sin1)C.2sin1 D.sin29．如果sin*＋cos*＝eq\f(1,5)，且0＜*＜π，则cot*的值是（）A.－eq\f(4,3) B.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)C.－eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)10．若实数*满足log2*＝2＋sinθ，则|*＋1|＋|*－10|的值等于（）A.2*－9 B.9－2*C.11 D.9二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，则sinαcosα的值是_____________.13．不等式（lg20)2cos*＞1，(*∈(0，π))的解集为_____________.14．若θ满足cosθ＞－eq\f(1,2)，则角θ的取值集合是_____________.15．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.－16．已知f(*)＝eq\r(eq\f(1－*,1＋*))，若α∈(eq\f(π,2)，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（*，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)*，求sinα与tanα的值.19．(本小题满分14分)已知eq\f(π,2)≤θ≤π，sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，求m的值.20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3－eq\f(3,2)lg2，求cos3α－sin3α的值.21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝eq\r(2)cos(eq\f(7,2)π＋β)和eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.三角函数一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y＝sin2* B.y＝coseq\f(*,2)C.y＝sin2*＋cos2* D.y＝eq\f(1－tan2*,1＋tan2*)2．设函数y＝cos(sin*)，则（）A.它的定义域是［－1，1］B.它是偶函数C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函数3．把函数y＝cos*的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移eq\f(π,4)个单位.则所得图象表示的函数的解析式为（）A.y＝2sin2* B.y＝－2sin2*C.y＝2cos(2*＋eq\f(π,4)) D.y＝2cos(eq\f(*,2)＋eq\f(π,4))4．函数y＝2sin(3*－eq\f(π,4))图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.π D.eq\f(4π,3)5．若sinα＋cosα＝m，且－eq\r(2)≤m＜－1，则α角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．函数y＝|cot*|·sin*（0＜*≤eq\f(3π,2)且*≠π）的图象是（）7．设y＝eq\f(cos2*,1＋sin*)，则下列结论中正确的是（）A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值8．函数y＝sin（eq\f(π,4)－2*)的单调增区间是（）A.［kπ－eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)］(k∈Z)B.［kπ＋eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(5π,8)］(k∈Z)C.［kπ－eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(3π,8)］(k∈Z)D.［kπ＋eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(7π,8)］(k∈Z)9．已知0≤*≤π，且－eq\f(1,2)＜a＜0，则函数f(*)＝cos2*－2asin*－1的最小值是（）A.2a＋1 B.2a－1C.－2a－1 D.2a10．求使函数y＝sin(2*＋θ)＋eq\r(3)cos(2*＋θ)为奇函数，且在［0，eq\f(π,4)］上是增函数的θ的一个值为（）A.eq\f(5π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,3)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．函数y＝eq\f(cos*,1＋2cos*)的值域是_____________.12．函数y＝eq\f(eq\r(cos*),lg（1＋tan*）)的定义域是_____________.13．如果*，y∈［0，π］，且满足|sin*|＝2cosy－2，则*＝___________，y＝___________.14．已知函数y＝2cos*，*∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________15．函数y＝sin*＋cos*＋sin2*的值域是_____________.16．关于函数f(*)＝4sin(2*＋eq\f(π,3))(*∈R)有下列命题：①由f(*1)＝f(*2)＝0可得*1－*2必是π的整数倍；②y＝f(*)的表达式可改为y＝4cos(2*－eq\f(π,6))；③y＝f(*)的图象关于点（－eq\f(π,6)，0)对称；④y＝f(*)的图象关于直线*＝－eq\f(π,6)对称.其中正确的命题的序号是_____________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ω*＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sin*＋cos*)2＋2cos2*.(*∈R)(1)当y取得最大值时，求自变量*的取值集合.(2)该函数图象可由y＝sin*(*∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？19．（本小题满分14分）已知函数f(*)＝(sin*－cos*)（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.20．（本小题满分15分）*村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？21．(本小题满分15分）已知函数f(*)＝sin(ω*＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（eq\f(3π,4)，0)对称，且在区间［0，eq\f(π,2)］上是单调函数，求φ和ω的值.倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tanα*cotα=1

一个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]

=sin（a+θ）*sin（a-θ）

坡度公式

我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

即i=h/l,坡度的一般形式写成l:m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a(叫做坡角），则i=h/l=tana.

锐角三角函数公式

正弦：sinα=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边

余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA·cosA

余弦

1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

2.Cos2a=1-2Sin^2(a)

3.Cos2a=2Cos^2(a)-1

即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

正切

tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin(3a)

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

其他

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角公式

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

N倍角公式

根据棣美弗定理，(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+isin(nθ)=(c+is)^n=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...+C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...=>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...对所有的自然数n，1.cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。2.sin(nθ)：(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。(2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是cosθ)的一次方无法消掉。(例.c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两角和公式

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

积化和差

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

双曲函数

sha=[e^a-e^(-a)]/2

cha=[e^a+e^(-a)]/2

tha=sinh(a)/cosh(a)

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π+α）=-sinα

cos（π+α）=-cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tan（-α）=-tanα

cot（-α）=-cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

cot（π-α）=-cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）=-sinα

cos（2π-α）=cosα

tan（2π-α）=-tanα

cot（2π-α）=-cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=-sinα

tan（π/2+α）=-cotα

cot（π/2+α）=-tanα

sin（π/2-α）=cosα

cos（π/2-α）=sinα

tan（π/2-α）=cotα

cot（π/2-α）=tanα

sin（3π/2+α）=-cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=-cotα

cot（3π/2+α）=-tanα

sin（3π/2-α）=-cosα

cos（3π/2-α）=-sinα

tan（3π/2-α）=cotα

cot（3π/2-α）=tanα

(以上k∈Z)

A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=

√{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)}·sin{ωt+arcsin[(A·sinθ+B·sinφ)/√{A^2+B^2;+2ABcos(θ-φ)}}

√表示根号,包括{……}中的内容

三角函数的诱导公式（六公式）

公式一sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

公式二sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

公式三sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

公式四sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

公式五sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

公式六tanA=sinA/cosA

tan（π/2+α）=－cotα

tan（π/2－α）=cotα

tan（π－α）=－tanα

tan（π+α）=tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]

tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当*+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

其他非重点三角函数

csc(a)=1/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2

幂级数展开式

sin*=*-*^3/3!+*^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(*^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<*<∞)

cos*=1-*^2/2!+*^4/4!-……+(-1)k*(*^(2k))/(2k)!+……(-∞<*<∞)

arcsin*=*+1/2**^3/3+1*3/(2*4)**^5/5+……(|*|<1)

arccos*=π-(*+1/2**^3/3+1*3/(2*4)**^5/5+……)(|*|<1)

arctan*=*-*^3/3+*^5/5-……(*≤1)

无限公式

sin*=*(1-*^2/π^2)(1-*^2/4π^2)(1-*^2/9π^2)……

cos*=(1-4*^2/π^2)(1-4*^2/9π^2)(1-4*^2/25π^2)……

tan*=8*[1/(π^2-4*^2)+1/(9π^2-4*^2)+1/(25π^2-4*^2)+……]

sec*=4π[1/(π^2-4*^2)-1/(9π^2-4*^2)+1/(25π^2-4*^2)-+……]

(sin*)*=cos*/2cos*/4cos*/8……

(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π

arctan*=*-*^3/3+*^5/5-……(*≤1)

和自变量数列求和有关的公式

sin*+sin2*+sin3*+……+sinn*=[sin(n*/2)sin((n+1)*/2)]/sin(*/2)

cos*+cos2*+cos3*+……+cosn*=[cos((n+1)*/2sin(n*/2)]/sin(*/2)

tan((n+1)*/2)=(sin*+sin2*+sin3*+……+sinn*)/(cos*+cos2*+cos3*+……+cosn*)

sin*+sin3*+sin5*+……+sin(2n-1)*=(sinn*)^2/sin*

cos*+cos3*+cos5*+……+cos(2n-1)*=sin(2n*)/(2sin*)

编辑本段

内容规律

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

1．三角函数本质：

[1]根据右图，有

sinθ=y/r;cosθ=*/r;tanθ=y/*;cotθ=*/y。

深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为例：

推导：

首先画单位圆交*轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

A(cosα,sinα),B(cosβ，sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))

OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)

∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）

单位圆定义

单位圆

六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同*轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的*和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=*/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAt