电动力学市公开课一等奖省赛课获奖课件

镜像法问题第二类：点电荷对球面镜像例1：半径为R0接地导体球，在与球心相距a一点放置电荷Q，求空间电势。电动力学第1页题目变形：1)若导体不接地1)不接地：导体球面为等势面，电势不为0，球面上必感应出等量正、负电荷，即感应电荷总量为0。从前面讨论可知，在离球心b处放置Q’，确保球面为等势面且电势为0，但不能确保球面总电荷为0；为使球面总感应电荷为零，且为等势面，依据对称性可知，还必须在球心处再放一个Q’’=-Q’，这个电荷既不破坏球面等势性，又使球面总感应电荷为0。电动力学第2页题目变形：2)导体球不接地，其电势为U02)变形1)中，导体球表面电势即为最终放置Q’’=-Q’产生——若现在再要求导体球电势为U0，相当于在球心处再放置一个点电荷Q’’’，Q’’+Q’’’在球表面共同产生电势为U0，则电动力学第3页题目变形：3)导体球不接地，且带上自由电荷Q03）此时要求导体表面为等势面，且总电量为Q0。依据变形1)，像电荷Q’、Q’’已确保了球面为等势面，且球面总电荷为0；此时若既要使球面总电荷为Q0，又要保持导体面为等势面，依据对称性，则Q0对应像电荷Q’’’=Q0也应放于球心。两个带同号电荷物体是否一定相互排斥？NO！书P56电动力学第4页题目变形：4)

点电荷Q在导体球壳内距球心a处注意：像电荷电量Q‘大于源电荷电量Q！4）与例1情况相比，仅是源电荷位置由球外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场区域在球内。球内电势等于源电荷Q和球面上感应电荷（球壳内表面），也即像电荷Q’（位于球外）产生电势：电动力学第5页镜像法问题第三类：点电荷对混合界面例1：在接地导体平面上有二分之一径为a半球凸部，半球球心在导体平面上。点电荷Q位于系统对称轴上并与平面相距为b，b>a。试用电像法求空间电势（书P72、11题）分析：利用镜像法，依据点电荷附近置一无限大接地导体平板，和点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个像电荷电量和位置。电动力学第6页电像法与分离变量法比较：1）所求区域无自由电荷分布时，使用分离变量法2）有自由电荷分布时，分离变量法（叠加法）适合用于自由电荷分布十分对称、界面单一情况；电像法适合用于自由电荷在坐标系中分布不很对称、界面组合较复杂情况。3）少数情况下可同时适用，比如P72-8。P72-12电动力学第7页第6节电多极矩前面所学处理静电问题方法（分离变量法、镜象法），着眼点都是为求解泊松方程或拉普拉斯方程；本节着眼点在于求电势直接表示式——库仑定律近似解。所包括问题是：在真空中，若激发电场电荷全集中在一个很小区域（如原子、原子核内），而要求又是距场源较远场，这时可采取多极矩近似法来处理问题。比如，原子核电荷分布于线度为10-13cm范围内，受此电荷分布作用电子距核距离为10-8cm，就满足上述条件。

详细来说，带电体系中电荷分布于有限区域V内，在V中任取一点O为坐标原点，区域V最大线度为l，场点P距O点为R，多极矩法讨论R>>l情况下场分布。电动力学第8页简单例子：设V中有一点电荷Q，位于(a,0,0)点，Q对远处产生电势，相当于——1）将Q移动到原点，则对场点P产生一个电偶极子分布误差B多级矩法物理思想：把分布在坐标原点附近一个很小区域内电荷体系在远处产生势，看作位于原点点电荷Q，以及中心在原点电偶极子P，电四极子D……等所产生势叠加，依据所要求精度，利用前几项之和，近似地表示该电荷体系势。=+xyzoQ(A)yzQa-Q(B)Qxyzoa(O)电动力学第9页+yzQa/2-Q(C)yzQaQ-Qa/2-Q-a/2(D)将B图电偶极子移到原点，对场点P产生一个电四极子分布误差DxyzoQQxyzoayzQa-Q=+(A)(B)(O)(O)(A)(B)=+=(A)(C)++(D)电动力学第10页一级近似xyzoQ+yzQa/2-Q(A)(C)+零级近似xyzoQ(A)zxQyoa(O)总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个电偶极子分布误差；移动一个电偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布误差；……电动力学第11页二级近似xyzoQ+yzQa/2-QyzQa/4Q-Qa/2-Q+类上递推，移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布误差；……可得二级近似：zxQyoa(O)电动力学第12页小区域电荷分布产生电势

许多实际情况中，电荷分布区域最大线度l

远小于该区域到场点距离r——1.粗略近似：PO电动力学第13页2.准确近似——电多级矩展开1）幂级数展开与麦克劳林级数：当x0=0时，上式称为麦克劳林级数三维函数泰勒级数f(x)在x=x0处泰勒级数—三维函数麦克劳林级数电动力学第14页2）

1/r麦克劳林级数——此函数有两个自变量，应展开哪一个？此式是以源点x’为变量进行积分，而当场点P选定后，其坐标x固定不变。所以，1/r麦克劳林展开应以x’为自变量进行：电动力学第15页书P12：“对r函数而言，对x微分与对x’微分仅差一负号”电动力学第16页3）小区域电荷体系电势多极矩展开：将上式代入右式得：电动力学第17页令上式是小区域电荷体系在远处激发电势多极展开，p称为体系电偶极矩（参见P34-5），张量D称为体系电四极矩。电动力学第18页3.电多极矩物理意义1)第一项：该项作为零级近似，可看作

是电荷体系集中于原点上时，总电荷

Q激发电势。2)第二项：该项可看作是集中于原点处体系总电偶极矩p产生电势，第一、二项之和即电势一级近似。电偶极矩电场：a)与R3成反比；b)轴对称性

若一个体系电荷分布关于原点对称，则电偶极矩为0电动力学第19页3)第三项：是集中于原点处体系总电四极矩D激发电势，第1-3项之和即电势二级近似。讨论：1)展开式表明：一个小区域内连续分布电荷体系在远处激发场，等于一系列多极矩在远处激发场迭加。2)若带电体系总电荷为零，计算电势时必须考虑电偶极矩；若带电体系总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩……电动力学第20页ba0体系总电荷为0，总电偶极矩为0，电四极矩为——线四极矩：z

轴上一对正电荷和一对负电荷组成体系，此体系可看作由一对电偶极矩+p

和-p

组成。电动力学第21页其中，p=Q(b-a)是电偶极矩大小，l=b+a是两个电偶极矩中心间距（或p=Q(b+a)是电偶极矩大小，l=

b-a是两个电偶极矩中心间距）。由x轴上两对正负电荷组成只有D11分量线电四极矩；由y轴上两对正负电荷组成只有D22分量线电四极矩。由xy平面上两对正负电荷组成只有D12分量面电四极矩；由yz平面上两对正负电荷组成只有D23分量面电四极矩；由zx平面上两对正负电荷组成只有D31分量面电四极矩。此即沿z轴排列、以坐标原点为中心（+，-，-，+）四个点电荷产生电势，也即只有D33分量线电四极矩产生电势。电动力学第22页依据电偶极子电势（R为由电偶极子中心指向场点P矢量）：只有D33分量线电四极矩产生电势证实：电动力学第23页线四级矩产生电势，由一对电偶极子+p

和-p

产生，并注意电偶极子+p

和-p

只有z方向，则有——电动力学第24页xyz电动力学第25页电四极矩张量分量：共有9个分量，它们之间是否彼此独立？零迹对称矩阵，共有9-4=5个独立参数若电荷分布球对称，则电四极矩各个分量等于零。所以电四极矩反应电荷分布对球对称偏离。测量远场电四极矩电势，就可对电荷分布形状作出一定推论。由此定义电四极矩新形式——电动力学第26页(b)电四极矩新形式推导：电动力学第27页代入(b)电动力学第28页Q=0Q<0Q>0理论与试验都证实，原子核电偶极矩恒等于0。其电四极矩定义为——

电四极矩是原子核中电荷分布偏离球对称量度。球对称电荷系统场与一个中心点电荷场完全相当，所以从多级展开角度来讲，它既不可能产生偶极矩，也不可能产生四极矩乃至更高极矩场。电动力学第29页电荷体系在外电场中能量（非电荷体系本身电场能量）电荷体系在外电场e中能量，即为电荷体系在外电场中静电势能——设电荷分布于小区域，取区域内适当点为坐标原点，把e(x)对原点进行展开，即e(x)麦克劳林级数——电动力学第30页表示把体系电荷集中于原点时，总电荷在外场中能量，作为零级近似结果。第一项：电动力学第31页第二项：表示集中于原点体系总电偶极矩在外场中能量第三项：表示集中于原点体系电四极矩在外场