数理金融学与金融工程基础(第二版)-第四章课件(02)-

第四章资产定价与套利模型第四章资产定价与套利模型本章引言一、资产定价研究的背景和发展资产的价值分析来源于经济学的微观观点：任何一种资产的现在值是未来收入的流量在今天的价值，即未来收益的贴现。这种根据资产未来收入流量确定资产现在价值（如在第3章3.1节中的货币现值）的研究，被称为资产定价。在这种研究中需要解决两个基本困难：（1）众多的投资者偏好、大量不同质的资产和多时期性使得未来收入流量一般是未知和不确定的，因此，如何描述这样复杂的随机过程是资产定价的第一个难题；（2）众多的投资者之间的联系，大量不同质资产之间的联系，多时期之间的联系是资产定价的第二个难题。本章引言一、资产定价研究的背景和发展哈里斯·马科维茨（《资产组合选择》1952，《资产组合选择：投资的有效分散》1959）和詹姆斯·托宾（1958）创造了资产组合理论，为资产定价理论奠定了基础。均值-方差分析是资产定价的方法论创新。威廉·夏普（《资本资产定价：风险条件下等市场均衡理论》1964）和约翰·林特纳（风险资产的价值，股票资产组合的风险选择，资本预算）1965）给出了完备市场上资本资产价值的一般均衡分析模型，从而确立了现代资产定价理论的基本体系和研究框架。最新又发展出资本定价（见罗伯特·C·默顿《连续时间金融》修订版，中国人民大学出版社2005年版）。哈里斯·马科维茨（《资产组合选择》1952，《资产组合选择：二、资产定价理论的假设条件资本资产定价模型有许多前提性的假设条件，主要包括对市场的完善性和环境的无摩擦性(本章前面的分析实际上默认了这些假设)。这些假设条件是我们在第2章2.3节假设条件的细化。这些假设条件是：(1)存在许多投资者，每位投资者的财富份额都很小，所以投资者都是价格的接受者，不具备操纵市场的能力，市场处于完善的竞争状态。(2)资本资产定价模型是一个两期模型，在实践中意味着所有的投资者都只计划持有投资资产一个相同的周期，而不考虑计划期以后的事情。二、资产定价理论的假设条件(3)投资者只能交易公开交易的金融工具，如股票、债券等，不把人力资本(教育)、私人企业(指负债和权益不进行公开交易的企业)、政府融资项目等考虑在内。并假设投资者可以不受限制地以固定的无风险利率借贷(容许卖空无风险证券)。(4)没有税收和交易成本，即市场环境是无摩擦的。(5)所有的投资者的行为都是理性的，都按照均值-方差来优化选择自己的投资组合。(6)所有的投资者都以相同的观点和分析方法来对待各种投资工具，他们对所交易的金融资产未来支付的概率分布、预期值和方差等都有相同的估计。这就是一致预期假设。(3)投资者只能交易公开交易的金融工具，如股票、债券资本资产定价模型只有在这些条件成立的前提下才成立。这些假设条件可以整理精简为：1．所有的资产可以自由交易；2．投资者在单个计划期内操作；3．投资者可以在所有资产上保持多头或空头；4．投资者对任意两个具有相同均值和方差的投资组合是无差异的；第4个假设可用资产回报是正态的这个假设代替，以至于均值和方差完全地体现了回报的分布特征；5．存在无风险资产。在这个环境下，无风险资产和风险资产的单个共同基金足够产生所有有效投资组合。在这些条件下，所有投资者应当持有相同比例的风险资产。特别地，每个投资者应当保持相同的债权-股票比率。为了取得合意的风险回报组合，投资者只需变动无风险资产在投资组合中的比例。资本资产定价模型只有在这些条件成立的前提下才成立。这些假设条三、资产定价研究的框架和方法论在现代金融学中，研究资产价值有三个方法论体系：（1）一般均衡分析（最优化模型）；（2）基于维纳-布朗过程的随机过程分析（或漂移方程或二项式模型。罗伯特·C·默顿等著名经济学家把它们定性为非均衡分析）；（3）时间序列计量分析（差分方程）。数理金融学研究前面两种方法。本章属于一般均衡定价分析，第5章属于维纳-布朗运动随机过程分析。资产价值的一般均衡分析解释了资产选择和总量消费的关系，资产价值和消费边际效用的关系，投资风险和整体经济环境的关系。即总消费-资产组合原理和资产预期收益-消费预期边际效用分析方法。三、资产定价研究的框架和方法论应该指出，均值-方差分析也是源于资产预期收益-消费预期边际效用分析方法。具体说，资产价值的一般均衡分析研究了消费效用和投资收益的均衡关系；商品市场和金融（资本）市场的均衡关系；投资风险和跨时期波动的关系。特别是把资产价值和消费效用的内在关系揭示出来，这种机理性研究是现代主流经济学和金融学研究的范式。从总的方面看，资产定价及其模型从消费品和资本品之间的关系；异质资产之间的关系；当前和未来之间的关系；风险和确定之间的关系，四个方面研究了资产的现值。应该指出，均值-方差分析也是源于资产预期收益-消费预期边际效本章要点（1）把握资本资产价值分析的由来和原始模型。

资产定价模型揭示的各种均衡关系都是通过欧拉方程得到的。因为著名的夏普-林特纳-莫辛的证券市场价格的线性方程就是由欧拉方程推出的。证券市场价格的线性方程也被誉为“证券定价基本方程”，它也有多种形式。要注意这种“一把钥匙开多把锁的方法”。（2）把握动态资产定价的理论框架。

资产定价模型一般指消费资本资产定价模型和一般金融资产定价模型，现在又有资本定价模型。所有这些模型都属于一般均衡分析体系，资本资产定价模型是作为一般均衡的结果。金融经济学必须从市场均衡的视角来讨论资产定价问题。本章要点（1）把握资本资产价值分析的由来和原始模型。

因此，本章我们将说明资本资产定价模型是一个均衡模型，包括两个重要关系：资本市场线和证券市场线。资本市场线指出了有效分散化的投资组合的预期回报与总风险之间的均衡关系。因此，资本市场线显示了流行于市场上的有效投资组合的均衡条件。所有的投资者将持有资本市场线上的投资组合。资本市场线显示了对所有投资者有效的风险-回报关系。（3）把握资产定价理论的系统性。

作为现代金融学的核心理论，资本资产定价、无套利均衡、风险中性概率（等价鞅测度）、动态完全性及动态资产定价理论框架是金融学的基本定理。风险中性概率我们在第3章已经总结，本章总结这些基本定理的其余部分。本章在4.4节和4.5节总结了无套利均衡定价理论及其相关的市场效率原理。因此，本章我们将说明资本资产定价模型是一个均衡模型（4）把握资本资产定价模型五个简单的含义：①通过跨行业、跨地区分散投资，投资者可以消除一些风险；②一些系统风险不能被消除，因此，完全分散化的投资组合仍然具有风险；③如果投资于风险资产，投资者必须获得较高的回报；④一项特定投资的回报仅仅依赖于它影响系统性风险的程度；⑤系统性风险可以通过投资风险与市场风险之间的关系来衡量。数理金融学与金融工程基础(第二版)-第四章课件(02)-（5）把握资本资产定价模型和套利定价模型二者在思想和方法应用方面的共同点和区别。APT模型的漂亮之处在于，它不需要效用函数的任何假设，投资组合的均值和方差是投资者所考虑的仅有的两个因素。APT模型实际上是一种算法，它能导出证券预期收益的表达式。这一特点使得APT模型在现代金融软件的设计和计量分析中非常重要。（5）把握资本资产定价模型和套利定价模型二者在思想和方法应用4.1资产定价研究简述

本节要点无论是经济学还是金融学，市场资产组合一般均衡分析模型都是资产定价的本源性基础和原理——即市场中所有资产价值都是相对决定的，没有独立和绝对的。消费永远在投资之前，消费的效用价值永远是资产价值之本。人们的投资和资产选择其最终目的是为了一生幸福。均值-方差分析所揭示的资产定价原理是：在市场上，任何资产的收益和风险其实都是平均收益和总风险的函数，都围绕着它们而变化；资产的收益和风险是统一的。4.1资产定价研究简述

4.1.1资产组合模型与资产定价

从总的方面看，资产定价及其模型从消费品和资本品之间的关系，不同质资产之间的关系，当前和未来之间的关系，风险和确定之间的关系这四个方面研究了资产的现值。J·托宾（1958）利用资产组合理论的基本原理证明，在无风险资产和有风险资产的投资中，投资者能够选择其中的组合使得风险和收益实现理想的组合。W·F·夏普（Sharpe,1959）林特纳（Lintner,1965）和莫辛（Mossion,1966）建立和发展出资产价值的一般均衡分析模型。这些贡献导致了以资产收益和风险为研究目标的现代资产定价理论及其模型研究的发展。

4.1.1资产组合模型与资产定价

从总的方面看，资产定到了莫迪利亚尼-米勒（Miller,1973）定理时，资产定价理论完成了其理论基础。资产定价的基本结果是资本资产定价公式

（4.1.1）

其中，

和

分别是两种风险资产的收益，

是无风险资产的收益。

该公式说明，投资者对任意资产

希望获得的收益，等于无风险资产收益加上对风险资产的调整。这个风险由市场中相关资产之间的收益的方差决定。到了莫迪利亚尼-米勒（Miller,1973）定理时，资产定米勒和斯科尔斯(Scholes,1972)等对（4.1.1）式进行了实证和检验。在第1章1.1节我们得到了：如果把资产

设为无风险资产，资产

是有风险资产，那么，相对于无风险资产

，资产

的预期收益就是=+资产

的风险回报在第2章2.2节中我们得到

（2.2.20）

（4.1.1）式就是由以上结果得来。其中米勒和斯科尔斯(Scholes,1972)等对（4.1.1）资产定价模型今天被广泛应用于评估资产组合的绩效、企业金融分析等。资本资产定价模型和套利定价模型在企业财务的资本预算分析中和投资的风险成本估量中被普遍运用。卢卡斯（1978）建立了消费资本资产定价模型并用于研究宏观经济波动问题。资本资产定价采取的是一般均衡分析。这一点，已经在第1章1.2节和第2章2.2节中介绍过了。其实，均衡分析是一种线性定价原则，具体说就是在效用最大化原则下，某种资产

的收益结构可以表示为

（4.1.2）资产定价模型今天被广泛应用于评估资产组合的绩效、企业金融分析其中

是预期收益，

是非指定的外生变量，它通过

每种资产的系数

而影响资产

。

是干扰因子（变量）。在金融分析中，资产定价的线性原则、市场具有效率（也称有效性）结构、交易无套利机会和市场有效假说条件都是等价的。注意，（4.1.2）式有着广泛的金融应用，它是套利理

论和基金分离理论的分析基础。我们在本章4.2.3节还

要讨论它的一个简化形式。其中是预期收益，是非指定的外生变量，它通过

4.1.2基于消费的资产定价原理

从萨缪尔森（1969）提出离散时间的代际模型以后，被卢卡斯（1978）发展并通过消费-投资去研究宏观经济问题。莫（默）顿（1969）、鲁宾斯坦（1976）、布里登（1978）和罗斯（1985）等进一步推广到不确定的消费和资产组合的研究中，成为现代金融理论的一个基础模型——消费资产组合理论。

4.1.2基于消费的资产定价原理

消费资产组合理论模型假设个人选择这样的消费和投资决策：它使终生的预期效用达到最大化。终生的预期效用被分为两部分。一部分是通过消费选择产生的效用

，其中的

表示消费选择的时期。另一部分是通过资产选择产生的效用

，其中

表示时期

的资产，

表示时期

不确定环境中的状态变量，它描述了消费、投资和就业中的市场信息、结构和自然等潜在因素。

的经济含义是间接效用这样，在不确定的经济中，个人的目标函数或总福利水平就是

（4.1.3）消费资产组合理论模型假设个人选择这样的消费和投资决策：它使终

其中的

是对状态

下的效用预期。严格讲，（4.1.3）式应该是一种可加的求和形式。当个人实现了最大化效用时，在每个时期

应该有：消费的边际效用等于资产的边际效用。（4.1.3）式是一种总消费的均衡分析，把消费选择与资产选择和就业等都统归为“总消费”。在总消费中通过每项资产的预期收益与总消费中的预期边际效用之间的比较（方差和协方差）来研究资产的价格和投资的收益。这就是人们所常说的基于消费的资产定价模型。有些著作也把它称为总消费-资产组合模型。其中的是对状态下的效用预期。严格从第3章的内容我们知道，在不同的时期的总消费中，人们对资产的选择是和物品消费选择统一的，资产的价值和消费的边际效用是统一的。这既是实物商品与金融资产之间的组合，也是消费和投资的一般均衡。这是金融资产分析的经济原理。商品市场的通胀率、资本市场的生产率和市场资产组合的收益率三者之间的关系就是这个原理的实际内容。再具体地说，金融市场中的资产价值与不同时期的消费和生产总量有关，与不同时期的市场状态有关。投资的风险也源于不同时期的消费和生产的总量变化的不确定性。从第1章1.3节和第3章3.2节得到的欧拉方程，我们可以看到基于消费的资本资产定价模型的这些基本思想。从第3章的内容我们知道，在不同的时期的总消费中，人们对资产的关于消费-资产定价模型，后来得到了比较完善的结果。主要为：

（1）在市场的均衡状态，每一种资产组合都与消费高度相关，最优的资产组合就是那种导致个人消费与总消费高度相关的资产组合。

（2）对于商品不确定的经济环境，资产的实际收益与实际的人均消费相关。

（3）个人的最优资产组合就是导致个人最优消费的资产组合。当资本市场具有帕累托效率时，每个人的消费相对于总消费都是单调增加的。关于消费-资产定价模型，后来得到了比较完善的结果。主要为：

4.1.3均方差资产定价分析

是否投资于某种资产或改变自己的资产组合，其策略取决于预期收益是否大于风险成本。一般均衡分析原理告诉我们，投资者的最优策略是资产的边际收益等于其用风险衡量的边际成本。在金融市场上，收益较高的投资往往有较大的风险，因此，人们往往以资产组合的平均收益和收入的总方差最小来进行不同资产之间的组合，或以收益和无风险利率的平均方差最小来进行投资。建立在均衡分析基础上的资本资产定价模型的核心与根本特点是，每一组基准的资产组合，都可以看作是一个受特殊约束的资产组合方差的最小化问题的解。这就是著名的均方差资本资产定价原理（也被称为均值-方差资产定价原理）。

4.1.3均方差资产定价分析

是否投资于某种资产或改变如果把均方差资本资产定价原理解释得再具体深入一些，就是，由于个人都喜欢较高的收益均值和较低的方差，所以，当收益的平均值给定时，方差越小越好；当方差给定时，收益的平均值越大越好。这两种情况都被称为均方差有效率（也被称为均值-方差效率）的资产组合。由均方差资本资产定价原理可以得到一个非常重要的结论：在均方差分析的有效率投资中，不存在套利问题。如果把均方差资本资产定价原理解释得再具体深入一些，就是，由于在竞争性的市场上，这些的原理，尤其是均方差资本资产定价原理告诉我们怎样去实际选择一种资产和进行有风险的投资。而且在理论研究上和实际投资中都给人们一个非常明确的指导。如果市场是竞争和完备的，那么根据新古典均衡分析和效率原理，各种资产的边际收益相等，且每种资产的边际收益和边际成本相等，最后，它们都应该和无风险利率一致。在风险分散型投资和有风险报酬的资产组合中，均方差资本资产定价则原理告诉我们两个基本的结论：

（1）在市场均衡的条件下，任何资产的预期收益和风险与资产组合的平均收益和系统风险相一致；

（2）在市场均衡的条件下，资产的收益率与风险是统一的。在竞争性的市场上，这些的原理，尤其是均方差资本资产定价原理告假定资产组合为

，其中一种资产

的单位增量

是可以按无风险利率

得到的资金。

将扩大资产组合

的预期收益

。当资产组合中增加某种资产时，其获得的净利益是该资产引起的预期收益减去融资成本。设

引起资产组合变化后的预期收益为

，资产组合预期收益的增量为

，那么，显然有

（4.1.4）假定资产组合为，其中为了进行更详细和严格计算，设

表示资产

收益的方差，

表示资产

和资产组合

收益之间的协方差。根据结论（1），我们知道，在市场均衡的条件下，任何证券的期望收益

减去无风险利率

后所得的差，必须与证券收益和市场资产组合收益的协方差成比例，即有

（4.1.5）

其中，

是对投资中总的风险度量，也就是不确定环境中某种状态的概率。另一方面，根据结论（2），在市场均衡的条件下，资产组合的收益

减去无风险利率

后所得的差，也必须与证券

收益的方差成比例，即有为了进行更详细和严格计算，设表示资

（4.1.6）

其中，

是对投资

的风险度量。在均衡的市场上，当

时，由（4.1.6）式解出

，然后代入（4.1.5）式就得到

（4.1.7）从（4.1.4）式到（4.1.7）式是资本资产定价模型的基本思路，（4.1.7）式就是资本资产定价的最基本形式。其中，（4.1.7）式就是（4.1.1）式的具体形式。（4.1.5）式和（4.1.6）式的含义是，在有风险的投资中，资产组合首先要从收益和风险的均方差效率考虑问题，把资产组合的选择问题转化为均方差分析。

读者要注意这里的分析过程及其得到结论表达式与我们在第2章2.2节的分析过程及其得到的公式结论。在2.2节中得到的结果说明的是，在风险经过调整后资产之间的价值关系用可以报酬（或收益率）来度量，而在（4.1.7）式中得到的均衡关系式则说明，某种资产的价值与平均报酬之间的关系和个体风险与系统风险之间的关系。或者简单地说就是，第2章2.2节得到的结果是风险调整后的市场均衡关系，而（4.1.6）式是风险调整前的市场均衡关系。相比之下，（4.1.7）式含有更多的信息。另外读者要注意比较从（4.1.4）式到（4.1.7）式的分析和（4.1.1）式的解释过程之间的联系和区别。读者要注意这里的分析过程及其得到结论表达式与我们在第2章2.

4.2经典的资本资产定价模型(CAPM)

本节要点本节讨论两类资本资产定价模型：消费资本资产定价模型和一般资本资产定价模型。资本资产定价模型是金融学最基本的定价模型。它是第一个在不确定性条件下的关于资产定价的均衡分析模型。资本资产定价模型指出，承受不规则的风险，可能没有报酬，因为大规模和分散的资产组合将会使风险抵消。这样，在最优的投资组合中，只会剩下规则性风险，由于这些风险不能由资产分散化而消除，所以就必须

4.2经典的资本资产定价模型(CAPM)

本节要点有风险报酬，以便吸引厌恶风险的投资者进行投资和持有风险资产。如果投资者持有这些有风险的资产，那么与其它资产比较，这些资产的预期收益也将是高的。在这些有风险的投资中，每种资产的价值最终都依赖于和其它资产的协同关系（方差与协方差）。这些是资本资产定价模型的基本思想。资本资产定价模型最先是由林特纳（1965）、莫辛（1966）和夏普（1964）通过两期的效用模型推导得出的。在其中，效用可以直接通过有价证券收益的平均值和方差来确定。有风险报酬，以便吸引厌恶风险的投资者进行投资和持莫顿（1973）证明，标准的资本资产定价模型能够从消费者对有价证券选择和跨时期消费选择的最优化组合中得出。实际上，消费的效用与资产的市场收益是高度相关的，资产的价格与消费的边际效用是统一的。本节为了帮助读者更好地探讨资本资产定价模型，先讨论消费的资本资产定价模型，这样做的目的是为了更深刻理解一般均衡分析与资产定价的关系。然后再研究资本资产定价的基础模型，最后介绍标准的资本资产定价模型。需要指出的是，最早的资产定价模型先于关于消费资本资产定价模型。消费资本资产定价模型的原始想法是用来研究消费选择与资产价格之间的关系。莫顿（1973）证明，标准的资本资产定价模型能够从消费者对有下面是本节要点：（1）在基本的资本资产定价模型中讨论中，已定要注意消费预期效用与资产价值之间的内在关系。它的本源性分析我们在第1章1.3节和第3章3.2节。（2）标准的CAPM公式其实是市场证券线的严格形式。由此揭示出系统风险和非系统风险的重要概念。（3）CAPM公式是最基本的资产定价模型，它的应用和发展一直不断。下面是本节要点：

4.2.1基本的资本资产定价模型

我们现在直接由消费-投资组合分析来推导出著名的“基于消费的资本资产定价模型。这个工作因该归功于卢卡斯。特别是读者要体会消费品的效用与资产价值之间的内在均衡关系。基本资产定价模型是新古典金融学的核心，也是现代金融学的基础。如果在时期

，投资者

（

）把资产转移到

个风险资产中的任何一个

（

是投资者

对资产

的持有量），以便可以获得一个随机的收益

，无风险资产的收益率用

表示，那么，现在就可以把第3章3.2节中关于不确定条件下的多时期消费-投资模型：

4.2.1基本的资本资产定价模型

我们现在直接由消费-转换为

其中

，

为正整数，不确定性完全由自然状态来描述。

于是3.2节中欧拉方程

（3.2.23）数理金融学与金融工程基础(第二版)-第四章课件(02)-现在就为

（4.2.1）

（4.2.2）

其中的（4.2.1）式是说，对于风险资产，在均衡关系下，起重要作用的是边际效用和收益率的预期值，二者在时期

都是不确定的。（4.2.2）式是说，对于无风险资产，在均衡关系下，其收益率

可以从预期值中得出。

由以上两式相减，既得

，（4.2.3）现在就为从（4.2.3）式，由期望和协方差之间的数学关系即有

（4.2.4）因为根据概率论知识，有所以，对于资产

的预期收益

就有

，（4.2.5）（4.2.5）式的含义是，具有边际消费效用的资产收益的协方差越高，均衡关系下的资产预期收益就越低。如果存在一种资产或一个资产组合

，其收益

完全与

负相关，即

，那么有从（4.2.3）式，由期望和协方差之间的数学关系即有对于资产组合

，由（4.2.5）式可以得到

（4.2.6）把此结果代入（4.2.5）式，就得到

（4.2.7）（4.2.7）式就是4.1节中的（4.1.1）和（4.1.6）式。当时此结果的含义并不是很透彻，来龙去脉也不很清楚了。特别是金融市场与宏观经济的联系，资产选择与其它需求的关系，现在都搞清楚了。数理金融学与金融工程基础(第二版)-第四章课件(02)-上面的推导过程非常深刻地揭示了资产价格与个人消费之间的关系，一般均衡与资产定价之间的关系。它们表明：

（1）资产的预期收益（价格）与消费的边际效用之间的协方差负相关。换句话说，其等价的命题是，消费的预期效用应该和资产的预期收益是一致的；

（2）在实际经济中，个人首先承受着与消费有关的风险，既应该首先有然后才是与其它资产之间的风险关系，即上面的推导过程非常深刻地揭示了资产价格与个人消费之间的关系，（4.2.7）式右边的系数

就是我们在以前指出的市场风险因子

，它非常重要，在金融学中具有非常重要的地位和价值。以后要经常直接运用它。由于消费资本资产定价模型在宏观经济研究中的重要性，卢卡斯又建立了消费资本资产定价模型的另一种形式。对此读者可以查阅高级宏观经济学著作。（4.2.7）式右边的系数

4.2.2标准的CAPM模型

下面我们给出一般资本资产定价模型的最简单形式及其建立过程。现在考虑一个两期的投资模型，当期为0期，1期的资产价值是不确定的。用前面讨论过的自然状态来描述不确定性。出于以下目的，先对所需要的若干符号及其含义做些简要讨论：第一，因为有些符号在模型中可能被隐含着，但是它们的含义和作用却存在，所以，必须先把它们提在模型的前面单列，并加以介绍。第二，如果把必要的符号及其符号之间的含义关系都放在模型中，会增加对模型理解和记忆的负担。第三，这样做会使后面的模型简洁、清晰，不繁琐。

4.2.2标准的CAPM模型

下面我们给出一般资本资状态集合

：

，其中

表示一种自然状态

—状态

发生的概率，投资者持有相同的市场信息或在投资收益方面有相同的概率估计

—投资者，

—投资者

在0期的财富

—投资者

在0期的消费

—投资者

在0期的投资

—投资者

在1期及状态

下的消费

—投资者

在1期的随机消费—投资者

的效用，

是贴现因子

—资产

在0期的价格

—投资者

对资产

的持有量状态集合：，其中—，即资产占投资者的投资比例。注意，现在投资者的资产组合用向量表示，其中。该组合的含义是，可正可负，消费投资者的投资可以在任何资产处于多头或空头的位置。

—资产

在1期及状态

下的价值

—资产

在1期作为随机变量时的价值，当

确定

时，有

—资产

在状态

下的收益，即有

。

—资产

作为随机变量时的收益，即当

确定时有关系

—无风险的资产的总收益，即有

。其中

是无风险利率——资产的期望收益，即有

—资产

和

的收益的协方差，即

有了这么繁多的准备后，就可以给出CAPM模型的另一种形式和推导过程。这里的效用函数是冯·诺依曼-摩根斯顿效用函数。在1期的消费受到的约束是

（4.2.8）

其中

是投资者

的储蓄，即无风险资产，也包括在

当中。注意，约束条件（4.2.8）式就是第3章3.2节的约束条件（3.2.12）式的变形。—资产的期望收益，即有现在，投资者

的资产组合选择是在给定的收益的期望值下实现方差最小。就是说，给定的收益的期望值是资产选择的约束条件。根据第1章1.3节知道，投资者

的投资策略是

（4.2.9）

其中的

是给定的收益的期望值。现在，投资者的资产组合选择是在给定的收益的期望值下实如果

和

分别是对应第一和第二个约束条件的因子，那么拉格朗日函数为

由一阶条件，注意到

和

的对称性，即在

中有两项是相同的，于是对于所有的

就有

（4.2.10）对于无风险资产

，因为

，

，所以（4.2.10）式为

（4.2.11）如果和分别是对应第一和第二个约束条件的因子，在（4.2.10）式中，如果设资产

是满足（4.2.9）式的一种共同基金，且

，那么（4.2.10）式就为

（4.2.12）特别当

时，就有

。但是此时的协方差

也就成为了方差

，于是由（4.2.12）式得

（4.2.13）由（4.2.11）式和（4.2.13）式解出

和

得

，将此结果代入（4.2.12）式后解出

，就得到

（4.2.14）在（4.2.10）式中，如果设资产（4.2.14）式就是资本资产定价模型的主要形式和基本结果。其含义是说，任意资产的期望收益等于无风险资产的收益加上一个风险报酬，该风险报酬由该资产的收益与某个资产组合收益的方差决定（这其中就隐含着不同资产之间的一般均衡关系）。（4.2.14）式其实是消费资本资产定价公式（4.2.7）式的广义形式或一般形式。在资本资产定价模型的（4.2.14）式中，现在的风险因子

是市场投资组合收益率的敏感度，它衡量某种资产的风险收益与资产组合的风险收益之间的比较。它可以反映某种资产的风险大小。（4.2.14）式就是资本资产定价模型的主要形式和基本结果。

4.2.3CAPM公式的简单推导和经济解释

1．直接由市场证券线推导CAPM公式我们在第2章2.2节知道了非常重要的资本市场线，现在把它改写为

（4.2.15）

其中的

和

各自表示均值和方差，

是回报的无风

险利率。该直线的斜率

被称为风险的市场价

格。它的金融含义是说，当该直线上的组合标准差每增加一个单位时，预期收益会增加多少。

4.2.3CAPM公式的简单推导和经济解释

1根据市场一般均衡原理，市场证券线（4.2.15）对于任何资产

都是对的，即有

，（4.2.16）

其中

是市场组合的收益与资产

的收益之间的斜方差。（4.2.16）式就是我们要导出的CAPM定价公式。看上去这个推导很简单，其实它把大量的工作放到了第1章市场一般均衡分析和第2章市场证券线的推导里。根据市场一般均衡原理，市场证券线（4.2.15）对于任何资产２．CAPM模型的经济解释在（4.2.16）式中，差值

称为超额预期收益。CAPM定价公式（4.2.16）式的经济含义就是：资产的超额收益与市场平均收益之间具有线形关系。这一点我们在前面已经多次见过。特别是如果分别用

和

分别表示超额收益和平均收益，那么（4.2.16）式就可以改写为如下的关系

（4.2.17）

由CAPM定价公式我们可以得到非常重要的系统风险和非系统风险的概念及其分析方法。２．CAPM模型的经济解释因为

是通过因子

与市场相关的证券风险，这个风险在经济学和金融学中被称为系统风险。

一般

被称为非系统风险或特定风险。众所周知，系统风险是不可分散的，而非系统风险或特定风险可以分散。比如企业风险。数理金融学与金融工程基础(第二版)-第四章课件(02)-

4.2.4CAPM模型的简单应用和实证分析及检验

１．CAPM公式的简单应用CAPM公式有很多种形式和应用，其中三个主要应用是：

第一，它在理论上说明，在均衡状态下，每个人所持有的风险资产的相对比例和市场投资组合是相同的。具体说，就是，在均衡的资产选择中，个人资产组合中的风险资产的相对比例和市场上社会投资总量中的风险资金的相对比例是一致的。这一点和莫迪利亚尼-米勒定理的结论非常相似。第二，为非常简单的消极投资策略提供了符合实际的依据：这就是根据市场投资组合的比例分散持有风险资产，将风险资产和无风险资产进行组合，以获得所希望的风险-收益组合。

4.2.4CAPM模型的简单应用和实证分析及检验

１第三，CAPM模型可以以两种方式运用于投资组合的管理：在资产分配和选择证券时，确定一个合乎逻辑的、方便的起点，以风险调整为基础评价投资管理能力。这样在公司财务中，CAPM被用来在公司的估值模型和资产预算决策中确定恰当的风险调整折现率。第三，CAPM模型可以以两种方式运用于投资组合的管理：在资产

２．CAPM模型的实证和检验分析现在金融计量实证方面的研究和运用都发展很快，使用时间序列和横截面方法对CAPM模型进行检验就是一个方面。比如这项工作的一个重要结果是证明了，CAPM模型中的

值只能解释证券或股票在横截面上的平均收益差距。在同质预期和无风险利率存在的假设下，CAPM模型的直接含义是均值-方差有效。这时，CAPM模型最为直接的检验是对超额收益回归方程

（4.2.18）中的

进行检验。２．CAPM模型的实证和检验分析假设个体收益在短时期内服从独立同分布，也考虑资产之间的同时相关性。于是，在收益服从联合正态分布的假设下，使用面板数据（

种资产，在时间

内）和极大拟然估计法就可以对（4.2.18）式进行估计。尤其是在回归方程中使用实际收益

（4.2.19）其中的

是

种资产的收益向量。在这样的实证检验中，一个具体的结果是，根据CAPM模型，横截面上的股票平均收益差异，线性地依赖资产的

值。假设个体收益在短时期内服从独立同分布，也考虑资产之间的同时相

4.3套利定价模型（APT）和金融市场结构

本节要点套利定价模型的核心思想就是著名的线性定价原则。注意APT模型和CAPM模型的区别。直观地看，套利定价模型更符合现实。套利定价模型的最实质性意义在于它揭示了市场结构与资产价值，乃至于与市场行为之间的关系。套利分析对研究金融行为非常重要。这是现代金融领域发展非常快的研究方向和实际应用。套利定价模型在现代金融计量分析中非常重要。因为它不需要效用函数的任何假设，投资组合的均值和方差是投资者所考虑的仅有的两个因素。模型实际上是一种机制，是一种算法。

4.3套利定价模型（APT）和金融市场结构

本节要点

4.3.1套利定价的概念及其与资本资产定价的

关系和区别

在金融学中，研究资产价值的基本方法有两个，一种是基于一般均衡分析的资本资产定价模型，另一种是基于套利理论的定价模型。从二者关系上看，前者是无套利定价，而后者则不一定是一般均衡的价格。也可以形象的说，一种是市场出清的资产定价，一种是市场不出清的资产定价。当然，在金融学中，市场出清的概念不是针对商品和价格，而是针对风险和收益。建立在均值-方差分析基础上的资本资产定价模型，在理论上是十分完美的模型，它解释了为什么不同的证券会有不同的期望收益率。自模型创立以来，得到了十分广泛的应用。

4.3.1套利定价的概念及其与资本资产定价的

关系和CAPM的核心是市场投资组合，市场上风险资产的超额收益率由市场组合的超额收益率和

系数确定，而

系数也源自市场投资组合。CAPM实际上在已知各种风险资产收益率分布和市场组合的情况下，如果市场满足CAPM的基本假设，则风险资产的定价问题就得以解决。但是，一方面CAPM是建立在一系列十分严格的假设之下，在市场处于竞争均衡的状态之下得到，另一方面在计算

系数时，要计算

，计算量之大，即使使用现代最新的计算技术也感到力不从心。况且金融市场的实际情况很难满足CAPM对于市场的假设。因此，CAPM不仅在理论上受到人们的质疑，而且在应用过程中遇到很大的困难。CAPM的核心是市场投资组合，市场上风险资产的超额收益率由市Ross(1976)提出了一种新的资产定价理论，称为套利定价理论。APT和CAPM显著的不同点是：APT认为，除了市场因素之外，资产价格受一些外部因素影响，利用无套利定价原理得出风险资产期望收益率的一般表达式，而且套利定价模型的假设大大少于CAPM的假设，比CAPM更接近资本市场的实际情况。在这种意义下，APT是CAPM的完善和发展。数理金融学与金融工程基础(第二版)-第四章课件(02)-套利定价理论和资本资产定价模型这两个模型都认为，资产预期收益和其它随机变量的协方差之间存在着线性关系。在资本资产定价模型中，协方差是指资产预期收益与市场资产组合收益的关系。这些协方差被解释为当投资者进行证券多样化选择时所不能避免的风险度量。预期收益和协方差之间的线性关系的斜率就是风险贴水。CAPM要求投资者行为是均值-方差最优化的。APT和CAPM并不相互排斥，而是互为补充的。套利定价理论和资本资产定价模型这两个模型都认为，资产预期收益套利定价模型（APT）是单周期模型。在这个模型中，每个投资者都相信，资本资产收益的随机性与市场的结构相一致，如果均衡价格不提供套利机会，那么，这些资本资产的预期收益与资产的风险报酬就是线性相关的。套利定价模型的这些思想和原理被深入地用在市场结构与市场有效性研究中。APT模型除了具有与CAPM模型互补的特性和优点以外，其最本质的特性就是不要求市场出清。这是APT模型和套利理论的最大价值所在。换句话说，资本资产定价是在一般均衡市场上进行研究的，而现实中没有具备一般均衡条件的市场，因此，从这个角度说，APT模型的套利定价不仅是CAPM模型的互补，也是更有现实价值的模型。套利定价模型（APT）是单周期模型。在这个模型中，每个投资者

4.3.2APT模型的基本表述

CAPM模型是从消费者的效用开始的，APT模型是从资产收益开始的，从这些含义上说，CAPM模型是需求方模型，APT模型的供给方模型。套利定价理论假定，投资者认为，单个时期的资本资产收益

满足

（4.3.1）

其中，

是资产

的预期收益，

是随机变量（非指定的外生因子），它通过每种资产的系数

（即方差、协方差等变量）而影响资产

，

是一个在相当分散的资产组合和大数投资活动中微不足道的随机变量（干扰因子）。

4.3.2APT模型的基本表述

CAPM模型是从消费者（4.3.1）式就是4.1节中的（4.1.2）。（4.4.1）式的根本含义是说，不同资产的价格是相互作用共同变化的。在套利定价理论中，

是指市场中风险因子。需要特别强调的是，这些风险因子对所有资产而言都是共同的，它们反映了所谓的系统风险。其中的

就是资产

对市场某些市场结构要素的反映的灵敏度。它与

和

都是一回事。

是资产

的风险。它反映了资产的非系统风险。它们有时也被称为特殊风险当市场中的资产组合可以非常分散时，它们就很小了。（4.3.1）式就是4.1节中的（4.1.2）。（4.4.1

4.3.3标准的APT模型与推导

不失一般性，现在以两种资产来讨论套利定价模型。这两种资产设为

和

，期望收益用风险报酬来衡量。投资者拥有1单位的总财富，现在的资产组合是

。这是一种投资比例组合分析方法。设该资产组合的收益是

（4.3.2）在（4.3.2）式中，如果

，那么资产组合

就是无风险投资。因为由

可以推出

或者

。

4.3.3标准的APT模型与推导

不失一般性，现在以两如果

那么意味着不存在随机变量；如果

那么意味着两种资产

和

的风险抵消了（其实，可以推出两种资产的方差和协方差都对称）。在比较严格的研究中可以证明，

是投资无风险的条件，而且由此可以得到非常重要和有实际应用的结论。在此基础上进行推广，可以用来研究市场有效性问题。如果那么意味着不存在随机变量；当市场存在着投资的风险因素

时，投资者要使自己的投资无风险，根据以上分析，那就只有想办法使

（4.3.3）由于有

，我们就可以把（4.3.3）式写为从此式可得

（4.3.4）当

时有

。现在设这个无风险收益为

，再把

代入到

中，然后解出

就得到当市场存在着投资的风险因素时，投资者要使自己的投资

（4.3.5）由（4.3.4）式和（4.3.5）式联立，就得到

（4.3.6）现在，如果把

代入到

中，重复以上过程，同理就得到

（4.3.7）令

，那么由（4.3.6）式和（4.3.7）式，有

（4.3.8）

（4.3.7）式和（4.3.8）式其实是资产的市场平均收益率分析。它的本质作用相当于均值。（4.3.8）式此结果表明，对于任意的

和

都有

，（4.3.9）（4.3.9）式就是套利定价模型的结果。也就是著名的线性定价原则。其含义是说，任何资产的预期收益都是无风险收益与风险报酬的线性结果。其中的风险报酬由资产对市场结构的反映灵敏度（

）和市场平均收益率（

）共同决定。（4.3.7）式和（4.3.8）式其实是资产的市场平均收益率现在总结一下APT定价模型的步骤和要点，它们是：（1）从（4.3.2）式到（4.3.5）式的过程是找到无风险资产

。这个过程的关键是通过无风险条件

（4.3.3）

得到了

。（2）从（4.3.6）式到（4.3.8）式的过程是找到市场平均收益率

。它其实就是均值的转化。这个过程的关键是通过（4.3.6）式和（4.3.7）式，得到了

的计算公式（4.3.8）式应该指出（4.3.9）式中由（

）组成的

矩阵对于研究套利问题极为重要。如果继续下去就会发现，矩阵

与

协方差矩阵之间的关系非常密切。现在总结一下APT定价模型的步骤和要点，它们是：

4.3.4APT模型与CAPM模型的比较

把套利定价公式（4.3.9）式和（4.3.1）式与资本资产定价公式

（4.2.7）

或

（4.2.14）

做比较，就可以发现它们之间有什么联系和区别？

4.3.4APT模型与CAPM模型的比较

如果从形式上观察，它们的共同点是都考察灵敏度

。但要是仔细分析就会发现两个重要区别：（1）资本资产定价分析是找到一种无风险的资产

（

）和另一种市场共同基金

（

）作为风险资产的定价参照，而套利定价分析是找到一种无风险的资产（

）和市场平均收益率（

）作为定价参照。（2）资本资产定价分析是在一般均衡的市场上进行的，而套利定价分析并不要求这样的条件。如果从形式上观察，它们的共同点是都考察灵敏度。第一个区别使得二者各有其优点。CAPM模型把风险资产的价值分析落实到市场共同基金上，这也为金融实务和金融中介提供了指导。而APT模型把风险资产的价值分析落实到平均收益率上，这为风险资产的价格计算提供了依据。第二个区别应该说更有意义。因为没有市场出清和一般均衡的要求，这少了多少（人为的和理想的）约束！

在没有这些约束条件的情况下，APT模型是怎么解决风险资产的价格和收益分析的呢？其中市场平均收益率（即

，（4.3.7）式到（4.3.8）式）是最关键的作用）。这个思路其实是借鉴了均值的思想。第一个区别使得二者各有其优点。CAPM模型把风险资产的价值分由此我们就看到，CAPM模型是用市场共同基金化解了的风险，APT模型则是用均值化解的风险。如果再往更深层次的原理上分析，二者是否在本源机理上可以统一呢？我们应该大胆地去探索。到目前为止，这两种均衡期望收益模型是建立在非常不同(行为)假设条件上的。人们一般经常将APT称为多因子模型。根据这一术语，标准CAPM模型可以认为是APT非常特殊的一种情形。唯一因子就是市场投资组合的期望收益

。如果假设证券的收益生成方程只取决于一个因子，将该因子取为市场投资组合的收益，那么APT与CAPM的均衡收益方程一致。由此我们就看到，CAPM模型是用市场共同基金化解了的风险，AAPT模型的主要思想是：(i)在一个零风险投资组合构造的基础上，模型提供了确定均衡收益的一种结构，但不需要现金投资。(ii)APT不依赖于效用函数的任何假设，投资者仅考虑投资组合的均值和方差。然而，APT要求预期同质。APT的漂亮之处在于，它不需要效用函数的任何假设，投资组合的均值和方差是投资者所考虑的仅有的两个因素。模型实际上是一种机制，是一种算法，在无风险套利机会瞬间即逝思想的基础上，模型能导出证券(或证券组合)预期收益的表达式。但是，APT模型需要假设投资者具有相同的预期。APT模型的主要思想是：4.3.5金融市场结构与套利行为

我们在第1章1.2节和第2章2.1节已经讨论过金融市场有效性问题，本节应用资产套利定价理论来从另外一个角度认识市场结构和效率性。特别是，套利定价理论可以从微观层面和金融行为方面来认识金融市场有效性问题。4.3.5金融市场结构与套利行为

1．APT模型与有效市场假说APT模型是排除套利的定价模型，该模型的宏观经济含义非常强。其中的文章都是围绕着

做出来的。它指出，当投资的风险只与宏观层面的经济因素有关时，企业高度分散化投资的组合可以排除某些小的风险

和市场微观干扰（克服

）。从总量上来说，某些小概率的市场因素或某些特定的资产并不会影响投资，只是投资中的收益在各种资产之间根据各自的风险报酬来进行分配。上述套利定价模型隐含的意思是，在单周期的投资中，从市场投资的总量来说并没有什么随机性，但是某些资产可以根据自己对市场因素的反映敏感性，其实也就是信息等方面的优势，通过资产组合而获得更丰厚的报酬，即所谓的套利。1．APT模型与有效市场假说现代对套利问题的研究是对不能获得套利机会的研究。无套利的最重要意义在于，市场存在线性的定价规则。我们都知道，当经济活动服从大数定律时，对于任何喜欢多数而厌恶少数的个体来说，竞争和均衡使套利的机会不存在，因此，在资产定价理论和套利定价理论中，有这样一个非常重要的基本结论（证明很困难，故略去）定理4.3.1下面的命题是等价的：（1）无套利机会；（2）经济中存在线性的定价规则；（3）所有依据理性选择的消费投资人都实现了最优需求现代对套利问题的研究是对不能获得套利机会的研究。无套利的最重

在比较深入一些的著作中，把此定理叙述为：定理4.3.2下列结论等价：（1）市场不存在套利机会；（2）存在风险中性概率侧度；（3）存在状态价格随机过程。和定理4.3.1比较，定理4.3.2的结论可能比较抽象。其实，核心的机制就是我们在第3章3.2节中的（3.2.7）式～（3.2.9）式。在比较深入一些的著作中，把此定理叙述为：大多数现代金融研究不是基于无套利理论，就是基于无套利的基本假定。已经有理论证明，莫迪利亚尼-米勒定理、市场有效性假说与无套利的基本命题是一致的。不仅资产定价理论与套利定价理论有内在的共性，而且，期权定价理论其实也是基于套利定价模型。因为在风险中性的经济中，期权价格与资产价格是线性关系。所以，套利定价理论告诉我们，研究与理解各种金融定价模型，把它们最基本的原理和分析模型搞清楚是非常必要和有帮助的。大多数现代金融研究不是基于无套利理论，就是基于无套利的基本假2.套利记交易证券的价格向量为

，支付矩阵为

考虑一个交易证券的组合

。它在0期的价值为

，在1期的支付向量为

。我们一般把满足下列条件的组合

称做套利或套利机会(arbitrageopportunity)：(1)；(2)；(3)至少有一个不等式严格成立。上面定义的套利可以分为三种类型：

第1类套利：

且

；

第2类套利：

且

；

第3类套利：

且

。2.套利在第1类套利中，组合的初始价值为负。这就是说，参与者在得到组合的同时还得到正的支付，而在未来任意可能状态下的支付为0。因此，第1类套利允许参与者获得收益却不承担任何未来责任。第1类套利的一个主要特征就是它的支付没有任何不确定性。因为今天的支付为正而未来的支付为0。在第2类套利中，组合的初始投资为0却得到正的未来支付。这里，正的支付意味着支付在所有状态下非负且在某些状态下严格为正。初始投资为0的组合也叫做套利组合(arbitrageportfolio)。值得注意的是，第2类套利的支付是不确定的。但这种不确定是“好”的。因为它总为正，只