2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课后习题新人教B版选择性必修第一册

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7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.求证:BDB级关键能力提升练8.(2022陕西西北农林科技大学附中高二期末)已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示MN,则MN等于()A.12(b+c-aB.12(a+b+cC.12(a-b+cD.12(c-a-b9.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB−AC)=0,则△A.直角三角形 B.等腰三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形10.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则a与b的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.90°11.已知空间向量a,b,c和实数λ,则下列说法正确的是()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c12.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且AP=λAB,若CP·AB=PA·PB13.如图,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.C级学科素养创新练15.三棱锥P-ABC中,△PAB和△ABC都是等边三角形,AB=2,PC=1,D为棱AB上一点,则PD·PC的值为(A.12 B.C.32 D.与D16.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使PQ⊥

1.1.1空间向量及其运算1.A2.A依题意AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB,所以AB,AD共线,即AAC=AB+BC=-4a+8b,则AB,AC不共线BD=BC+CD=2a+4b,则BC,BD不共线3.BD'M=AM−AD'=12AC-(AA'+A'D')=12(AB+AD)-(-c4.BCDPC·BD=(PA+AB+BC)·(BA+AD)=PA·BA+因为四边形ABCD为矩形,|AB|和|CD|不一定相等,所以PC·BD因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即PA·CD=因为AD⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,因此B,C,D中的数量积一定为05.56a+92b-6.2∵AC∴AC12=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=1+1+1+2×1×1×-127.证明BD1=BD+DD1=AD−AB+AA18.DMN=MA+AO+ON=12BA−OA9.B因为DB+DC-2DA=(DB−DA)+(DC−DA)=AB+AC,所以(AB+AC)·(AB−AC)=|AB|2-|AC|2=0,10.C设a与b的夹角为θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cosθ+4=7,解得cosθ=12.又θ∈[0,π],所以θ=60°.故选C11.B对于选项A,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错误;对于选项B,由λa=0,可得λ=0或a=0,故B正确;对于选项C,由a2=b2,得|a|=|b|,即可得其模相等,但方向不确定,故C错误;对于选项D,由a·b=a·c,得a·(b-c)=0,则a=0或b=c或a⊥(b-c),故D错误.故选B.12.1-22设|AB|=a(a>由题知,0<λ<1.如图,CP=-AC+AP=-AC+λ故CP·AB=(λAB−AC)·AB=λ|AB|2-|AB||AC|cosA=a2λ-PA·PB=(-λAB)·(1-λ)AB=λ(λ-1)|AB|2=λ(λ-1)a2,则a2λ-12a2=λ(λ-1)解得λ=1-22或λ=1+22(舍13.AB−AC+BD229∴CD2=(AB−AC+BD)2=AB2+AC2+BD2-2AB·AC∴|CD|=229.14.解(1)MN=MA1+A1B1+B1N=13(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=15.A如图所示,取AB的中点E,连接PE,CE.∵△PAB和△ABC都是等边三角形,∴PE⊥AB,CE⊥AB.∵PE∩CE=E,PE,CE⊂平面PEC,∴AB⊥平面PEC.∵PC⊂平面PEC,∴AB⊥PC.在△APC中,AP=AC=2