2022年秋高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布课件新人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布第七章课标要求1.利用实际问题的直方图,了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

正态曲线

函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称

(如图所示).

μ是期望,σ是标准差

正态曲线

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=

(x∈R)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.(

)(2)正态密度函数f(x)的值可正可负,但不能为0.(

)(3)正态密度函数的图象与x轴之间区域的面积是变化的.(

)×××2.下列函数是正态分布密度函数的是(

)B知识点2

正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为

.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从

.如图所示,X取值不超过x的区域P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积.X~N(μ,σ2)标准正态分布

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)符合正态分布的随机变量X的取值在区间[a,b]上的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(

)2.参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么?√提示

参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.知识点3

正态曲线的特点1.曲线位于x轴

,与x轴

.

2.曲线是单峰的,它关于直线

对称.

3.曲线在

处达到峰值

.

4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.5.曲线与x轴之间的面积为

.

但不能与x轴相交

上方

不相交

x=μx=μ16.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿

平移,如图①.

7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“

”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“

”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.

x轴

瘦高

矮胖

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.(

)(2)正态曲线可以关于y轴对称.(

)(3)正态曲线的“胖瘦”由σ决定.(

)×√√2.(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)=

(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)A.σ1=σ2

B.μ1>μ3C.μ1=μ2

D.σ2<σ3答案

AD解析

根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故BC错误;因为σ越小,数据越集中,图象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故AD正确.故选AD.知识点4

正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则1.三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.2.3σ原则在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.名师点睛对于正态分布N(μ,σ2)而言,随机变量X在[μ-3σ,μ+3σ]之外取值几乎不可能发生,它在产品检查、质量检验中起着重要的作用.过关自诊设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).解∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),重难探究•能力素养全提升探究点一正态曲线的应用【例1】一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.规律方法

利用正态曲线的特点求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象可求出μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值

,由此特点结合图象可求出σ.变式训练1若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为,则该正态分布密度函数的解析式为

.

解析

因为该正态分布密度函数是偶函数,所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,而正态分布密度函数的最大值是探究点二正态分布下的概率计算【例2】

(1)(2022安徽亳州期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,则P(2<ξ<3)=(

)A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32(2)设X~N(5,1),求P(6≤X≤7).

(1)

答案

C解析

∵随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),∴正态分布曲线的对称轴为x=3,又P(ξ≤4)=0.78,∴P(3≤ξ≤4)=P(ξ≤4)-=0.78-0.5=0.28,∴P(2≤ξ≤3)=P(3≤ξ≤4)=0.28.故选C.(2)解依题意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682

7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954

5,规律方法

在正态分布下解决求某区间的概率问题,可利用正态曲线的对称性,将所求区间的概率转化为已知区间的概率,或利用3σ原则转化为特殊区间的概率.变式训练2(1)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=

.

(2)若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个班的学生共有54人,求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)约为多少人.

(1)

答案

0.3解析

由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4.P(10≤ξ≤11)=0.2,∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.(2)解∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.P(110-20≤X≤110+20)≈0.682

7.∴P(X>130)(1-0.682

7)=0.158

65.∴P(X≥90)≈0.682

7+0.158

65=0.841

35.∴及格的人数约为54×0.841

35≈45,130分以上的人数约为54×0.158

65≈9.本节要点归纳1.知识清单:(1)正态曲线及其特点.(2)正态分布的应用,3σ原则.2.方法归纳:转化与化归、数形结合.3.常见误区:概率区间转化不等价.学以致用•随堂检测全达标1.设有一正态分布,它的正态曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,则这个正态分布的均值与标准差分别是(

)A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10答案B

解析

由正态密度函数的定义可知,这个分布的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=(

)A.0.16 B.0.32

C.0.68

D.0.84AB3.某班有48名学生,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为110,标准