2022年秋高中数学第四章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.2乘法公式与全概率公式4.1.3独立性与条件概率的关系课件新人教B版选择性必修第二册

4.1.2乘法公式与全概率公式4.1.3独立性与条件概率的关系第四章内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.*3.了解贝叶斯公式.4.结合古典概型,理解条件概率与独立性的关系.基础落实•必备知识全过关知识点一乘法公式与全概率公式1.乘法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)=可知,P(BA)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.定理1

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足(1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且*3.贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有这称为贝叶斯公式.定理2

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:(1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也称为贝叶斯公式.过关自诊1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=

.

答案

0.06

解析P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,则P(B)=

.

答案

0.35

3.袋子中有三个红球、一个黑球,不放回地摸球,则第二次摸到红球的概率是

.

知识点二独立性与条件概率的关系1.事件的相互独立性:一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.2.独立性与条件概率的关系:当P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件概率的计算公式有,即P(A|B)=P(A).这就是说,此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等,也就是事件B的发生,不会影响事件A发生的概率.类似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B).因此,当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).这也就同时说明,当P(A|B)≠P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等.过关自诊1.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为(

)

A.0.28 B.0.12C.0.42 D.0.16答案

B

解析甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12.故选B.答案

A

3.甲、乙两水文站同时做水文预报,如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7,那么,在一次预报中,甲、乙预报都准确的概率为(

)A.0.7 B.0.56C.0.64 D.0.8答案

B

解析由题意可知,甲、乙两站的预报准确率是相互独立的,故所求事件的概率P=0.8×0.7=0.56.故选B.重难探究•能力素养全提升探究点一乘法公式与全概率公式【例1】

1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球.问从2号箱取出红球的概率是多少?规律方法

复杂事件概率的求法求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是全概率公式.变式训练1从5件正品、2件次品的7件产品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的概率是

.

探究点二事件独立性的判断【例2】把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否独立.(1)A={掷出偶数点},B={掷出奇数点};(2)A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点};(3)A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4}.规律方法

两个事件是否独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B独立.(3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.变式训练2下列事件A,B是独立事件的是(

)A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D.A=“某小乌龟能活到20岁”,B=“这小乌龟能活到50岁”答案

A

解析

对于A选项,A,B两个事件发生,没有关系,故是相互独立事件.对于B选项,A事件发生时,影响到B事件,故不是相互独立事件.对于C选项,由于投的是一个骰子,A,B是对立事件,所以不是相互独立事件.对于D选项,能活到20岁的,可能也能活到50岁,故A,B不是相互独立事件.故选A.探究点三相互独立事件概率的计算【例3】小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.规律方法

与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.(2)A,B都发生为事件AB.它们之间的概率关系如表所示:变式探究

本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.

素养培优方程(组)思想在概率中的应用

规律方法

已知基本事件的概率求与其有关的事件的概率时,通常分析相关事件的性质,利用条件概率公式、相互独立事件公式直接求解;若已知基本事件的相关概率求基本事件的概率,则需要在分析相关事件的性质后,构建方程(组)求解.学以致用•随堂检测全达标1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,则有(

)A.A与B相互独立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥

D.P(AB)=答案

A解析

事件A的发生与否对事件B的发生没有影响,故A正确;由于A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故B,C错误;对于选项D,∵A,B相互独立,∴P(AB)=P(A)·P(B