2021年九年级暑假下册（教师版）

CONTENTS目录r第二章方程与不等式1TOC\o"1-5"\h\z第九讲绝对值 2r第三章锐角三角比第十讲锐角三角比的定义及其应用 19第十一讲正弦定理与余弦定理 31第十二讲解三角形及其应用 44r第四章几何计算与证明\o"CurrentDocument"第十三讲几何变换 60第十四讲几何构造 7485第十五讲几何不等式85第九讲绝对值本讲主要介绍处理含绝对值的方程和不等式的常见解法,在学习时应注意体会不同方法对于含绝对值问题的适用性,做到“对症下药”，选取合适的方法求解不同类型的问题.同时在绝对值不等式相关模块补充了与其应用相关的知识，主要涉及利用绝对值的相关性质解决不等式的证明以及函数等相关问题，应注意体会不等式同函数以及方程的联系，做到触类旁通.【知识结构】模块ー:绝对值方程对于方程内存在绝对值运算的方程,试图去除绝对值往往是求解方程的前提,通常需要根据绝对值符号内代数式的正负性分类讨论，从而转化成不含绝对值的方程求解,或者利用绝对值的几何意义数形结合求解.解绝对值方程的一般解法(1)直接以每个绝对值内代数式的符号为分类讨论依据,依次根据其对应的未知数的范围去除绝对值符号，注意解出相应的未知数在此分类依据下的范围，以便之后验证(即所谓的“零点分段法”)：(2)化为一般的整式方程求解，注意解完后不要忘记验证其是否符合之前分类讨论的范围:(3)将所有情况下的解合并即为原方程的解.【典型例题】.解方程:4?-2%-4=|2x+6I.【答案:]x=-2or-—.【解析】由于等式两边都非负，两边平方，化简得，3x2+26x+40=0,解得x=-20/•ー型，经检验,它们都是方程的解.2,解方程:|x+4|=|2x+l|； (2)||x-l|-2|+|x+l|=3.【答案】(1)x=38—3;(2)x=-or--.3 2 2【解析】由于等式两边都是非负的,平方得,x2+8x+16=4x2+4x+l,「.3x2—4x-15=0,(x-3)(3x+5)=0,x=3or——；(2)先找零点,由x-l=0得エ=l,由—リー2=0即トー1|=2,得ス=一1或ス=3,由ス+l=0得ス=-1,所以零点共有一1,1,3三个,因此将数轴分为4个部分,当XV—1时,左边=|一(スー1)一2|—(x+l)=Hーリース—1=T一17—1=一2スー2,解得,x=--,不满足条件,舍去;2当ー1qスvl时,左边=|-(スーり-2|+ス+1=|-ス-リ+ス+1=ス+1+ス+1=2ス+2,解得,x=l,满足条件;2当l〈xv3时,左边=|スー1-2|+ス+1=|スー3|+ス+1=3ース+ス+1=4,显然它不等于3,・・・此时方程也无解;当スN3时,左边=卜ー1-2|+ス+1=スー3+ス+1=2スー2,解得,%=-,不满足条件,舍去;综上,原方程的解为ス=丄〃ー2.2 2 2.解方程:［ス2+3x-4|=|2x-リー1.【答案】X尸二三叵,ち=ニ、叵,x,=l.【解析】分别令f+3x-4=o,2x7=0,得零点x=~4,l2.2分情况讨论:(1)当x<T时，则・+3ズ-4<0,2x-l<0,原方程化为;x2+3x-4=-(2j:-1)-1,BPx2+5x-4=0.解得内=^^^(x<4)；(2)当T4xく丄时,则ズ+3メー4<0,2x-l<0,2原方程化为:一(X2+3x-4)=-(2x-l)—1,BPx2+x-4=0,解得X2=T\"7(_44x<；)；(3)当丄4x<l时,则ペ+Bx-dcO,2x-l>0,原方程化为:2-(x2+3x-4)=(2x-1)-1,即ペ+5x-6=0,解得x=-6,l,均不在范围丄4x<l之内,故此时方程无解;2(4)当x21时,则X?+3X-4N0,2スー1>0,原方程化为:x2+3x-4=(2x-l)-l,BPx2+x-2=0,解得x,=l(x21).综上須=ゼ_亜!,毛=_1_巫［，X)=1..方程ド・l|=(4-2V3)(x+2)的解的个数为.【答案】3个.【解析】对于ドー1的正负性进行分类讨论，X2>10'1,方程化为:x2-1=(4-2>/3)(x+2),BP：x2-(4-2@x-9+4G=0,解得:x=パ或x=4-3>/5,经验证均满足ズン1;X2<104.方程化为:1ースユ=(4一26)(x+2),B卩x2+(4-2当卜+7-46=0,解得:x=6-2,经验证满足x2<1.故原方程解的个数为3个.模块ニ绝对值不等式一般将含有绝对值运算的不等式称为绝对值不等式.解含绝对值的不等式,关键在于去掉绝对值号转化为同解的不等式,常见的去绝对值方法有利用绝对值的几何意义进行同解变形、分类讨论未知数的范围、两边平方去绝对值等.利用绝对值的几何意义解绝对值不等式对于形如和『(x)|>a(a为一个常数，a>0)的不等式,常用绝对值的几何意义去除绝对值符号.如对于不等式い(x)|<a,我们可以把绝对值内部关于x的代数式/(x)视作一个整体,利用绝对值的几何意义，/(x)|<a表示的是，(x)所代表的数轴上的点到原点的距离小于。,故"x)所代表的点落在点ー。和。之间,用不等式表示即为ー。</(%)<a.同理『(x)|>。的几何意义为7(x)所代表的点落在点ー。和。之外，用不等式表示即为f(x)〈ー。或/(x)>a.利用上述方法可以去除绝对值符号，转化为解不含绝对值的不等式，这种解不等式的方法，称之为不等式的同解变形.两边平方解绝对值不等式对于形如|/(x)|<|g(x)|的不等式,一般考虑两边平方去除绝对值求解，步骤如下:(1)由于不等式两边均为正数,两边平方不影响不等式号方向，不等式转化为:レ(ザ<|>(ザ;(2)移项利用平方差公式因式分解将不等式化为[〃x)+g(x)]|y(x)-g(x)]<0；(3)继续因式分解利用穿针引线法求解高次不等式.分类讨论解绝对值不等式对于含有多个绝对值符号的不等式,(如『(x)|+|g(x)|<a),一般会根据绝对值内部/(N)和g(x)的正负性，对相应x的范围作出分类讨论，从而去除绝对值求解不等式•【典型例题】5,解不等式:(1)|3x-2|>4；【答案】⑴x<——或x>2；(2)-4<x<-2或0<x<2；(3)x<-10或x>l〇.3【解析】(1)由题,得3x—2>4或3x—2<T,解得，x<——或x>2；3(2)由题,得一3vx+l<-1或lvx+1<3,解得,或0vxv2；(3)由题,得——(3)由题,得——<10x-21 1 <一2x210-<!<10x10解得,XC-10或X>1〇..解不等式:|x+2|>|x|； (2)ド+4x+2[<ド+3x+l|.【答案】(1)x>-\；(2)xv—3或一1vxvー丄.2【解析】(1)由题,得(ス+2)22ズ,.・.2(2x+2)N0,解得,x>-l；(2)由题,得(ゼ+4よ+2)ユv(f+3x+iy,/.(2x2+7x+3)(x+1)<0,(2x+1)(x+3)(x+1)<0,由穿针引线法得x<—3或一l<x<—L2.解不等式:|x—2|<x—1； (2)|x—5|—|2x-3|<1；|x2—4|<x4-2； (4)1x2-5x4-5|<1.【答案】(1)x>-；(2)xv-l或x>-；⑶l<x<3；(4)lvxv2或3Vx<4.2 3【解析】(1)对ズ的取值范围分类讨论,①xN2时,原不等式可化为:x-2<x-l,不等式恒成立,「れ之2；②xv2时，原不等式可化为:2—x<x—1»解得:x>—, —<x<2.2 2综上不等式解集为x>3.2(2)对x的取值范围分类讨论,①xN5时,原不等式可化为:(x-5)-(2x-3)<l,解得:x>-3恒成立,,・・xN5；®|<x<5Bt,原不等式可化为：(5-x)-(2x-3)<l,解得:x>-,r.-<x<5；3 3③x<ア时,原不等式可化为:(5-x)-(3-2x)<l,解得:X<—1, X<—1.综上可得,不等式的解集为X<-1或x>工.3(3)对x的取值范围分类讨论,①ゼー420,即x22或xV-2时,原不等式可化为:x2-4<x+2,解得一2Vx<3,.-.2<x<3;(2)x2-4<0,即ー2Vx<2时，原不等式可化为:-f+4<x+2,解得x>l或x<-2,/.1<x<2.综上不等式解集为l<x<3：(4)解法一:利用不等式W<a(a>0)的解是-a<x<a,将这个不等式可化为,Xハ,分别解这两个不等式，得l<x<4,x<2或r>3,综上,原不等式的解为lvxv2或3vxv4.解法二:平方去绝对值.原不等式可化为:(x2-5x+6)(x2-5x+4)<0,即(x-2)(x-3)(x-4)(x-l)<0,利用“数轴标根法’’,解得l<x<2或3Vx<4.8•解不等式：||x-l|-2|+|x+l|>2.【名师点拨】对于多层绝对值的化简从里到外依次寻找零点，再利用零点分段法分类讨论化简.【答案】X4-2或xNO.【解析】先找零点,由x-l=O得x=l,由|x-l12=0即k_リ=2,得x=—l或x=3,所以零点共有一1,1,3三个,因此将数轴分为4个部分,当工〈ー1时,£ii=|-(x-l)-2|-(x+l)=|-x-l|-x-l=-x-l-x-l=-2x-2,解得,x<-2；当一iKxvl时,£ii=|-(x-l)-2|+x+l=|-x-l|+x+l=x+l+x+l=2x+2,解得，OVxvl;当14xv3时,左边=|x-l-2|+x+l=|x-3|+x+l=3-x+x+l=4,显然它恒大于2, 1Kxv3满足条件;当ス23时，左边=|x-l—2|+x+l=x-3+x+l=2x-2,解得,x>3；综上,原不等式的解集为xV-2或xNO.9.解关于x的不等式|2x-l|<2mー1.【答案】当6W丄时，原不等式无解;当〃2>丄时，原不等式解为1-/HVXV〃7.2 2［解析］若2m—IW0,即/nW丄,2贝リ|2x-q<2加一1恒不成立,此时原不等式无解;若2〃2—1>0,即加〉丄,则ー(2加一l)v2x-l<2加一1,所以1一"ivxvm.综上,当加〈丄时,原不等式无解;当加〉丄时，原不等式解为1ー机vxv〃!.2 210.(1)已知不等式,-2|<。(a〉0)的解集为一lvxvc,则a+2c,的值是.(2)关于x的不等式版+1区ク的解集是TWx<5,求实数。,b.【答案】(1)13；(2)a=—,h=—•2 2【解析】(1)由题意一avx-2va.故不等式的解为2-avxva+2,有《 ,解得。=3,c=5,故。+2c=13.匕=。+2(2)原不等式|0¥+リ<い有解,故/?>0,不等式化为-b<ax+\<b-\-b<ax<b-\,①。=0,不等式为ー1—hKOKh—1,此时不等式无解或者解为一切实数,均不符合条件,舍去:TOC\o"1-5"\h\z②a>0,不等式解为士つ4x4组!，a a-l-bt =—1故,” ,解得〃=-_!,不符合0>0的条件,舍去;b-\, 2 =5a③a<0,不等式解为空土!，a a故”，,解得a=ー丄,b=~,符合条件. =ja综上a=―!，b=—.模块三绝对值不等式的应用【知识精要】绝对值不等式的相关问题除了出现在解绝对值不等式中,还会在绝对值函数的最值,绝对值不等式的证明中有所涉及,本模块介绍最为常见的两个绝对值不等式的相关问题.绝对值基本不等式对于任意实数。和ウ,下列两组不等式恒成立:①I时一同引。+ろ闫问+间.②Mー同引°ーわ1イ同+帆.对于不等式①|同一帆<|a+/?|<||a|+阿,根据有理数的加法法则,对于a+6这个数,若a和ら同号,则ト+4=冋+网,若a和ん异号，则k+耳=|同一側，故|同一同引a+シ闫同+间,左侧的等号于a和b异号取到,右侧的等号于a和万同号取到.同理可以证明不等式②|同一同引a-441同+1用,其左侧的等号于a和6同号取到，右侧的等号于a和わ异号取到.绝对值函数对于函数〃x)=|x-aj+|xー出|+…+|x-a,J(4<a2<a3<.••<a„),其存在最小值.利用绝对值的几何意义，其表示数轴上的点x到点り，a2 。"的距离之和，故要使得距离之和最小,应使得点x尽可能落在点り，a2 为正中间，当〃为奇数时，x=a空时函数取得最小值;当"为偶数时，a„<x<an时函数取得最小值.2 2+，【典型例题】.已知a,b,c,イ是有理数，|a-b|49,卜ー"|416,且|a-6-c+d|=25,求ゆ一同_._イ的值.【答案】ー7.[Wlff1v25=|tz-/?-c+J|=|(«-/?)-(c-J)|<|a-h|+|c-J|<25,/.|a-Z>|=9,|c-J|=16,:.\b-a\-\d-c\=\a-b\-\c-d\=9-16=-l..设aめ,c分别是ー个三位数的百位、十位和个位数字,并且aKhKc,求レー4+M—d+|cー《可能取得的最大值.【答案】16.【解析】•「aKbWc,:.\a-b\-^\b-c^+\c-a\=b-a+c—b+c-a=2c-2a,・・・4んC分别是ー个三位数的百位、十位和个位数字,・・・2c-2a<2x(9-l)=16,.,.レーZ?|+ルーc|+トー可能取得的最大值是16,此时a=l,c=9..(2013复附自招)已知レ+/?|«c,|b+dWa，|^+a|</?,求a+b+c的值.【答案】0.【解析】解法一:,•・レ+/?|«c,|/?+c|<a,|c+a|<Z?,..aNO,Z?>0,c>0,有—c<a+b<c>—a<b+c<a9—b<a+c<b9三式相加得:-(a+b+c)W2(a+〃+c)Wa+b+c,解得0Ka+/?+c《0,故a+b+c=0.解法二:v\a+t^<c,\b+(\<a,\c+ci\<b,/.a>0,b>0,c>0.三式相カ口得|a+b[+ル+c]+|c+a|4a+6+c,.,.0<a+6+c<0.故a+シ+c=0..已知国41,341,设M=|x+y|+|y+l|+|2y-x-4|,求M的最大值与最小值.【答案】7,3.【解析】••・布1,レ|41,.-.y+l>0,2y-x-4<0,r.M=|x+y|+y+l+4+x-2y=|x+y|+x-y+5,若x+y20,贝リAf=x+y+x-y+5=2x+5,J.34M47;若x+y<0,则Af=-x-y+x-y+5=-2y+5, 3<A/<7;J.M的最大值为7,M的最小值为3..函数ギ=,ーリ+2卜ー2|+3卜ー3|+4,-4|的最小值是.【答案】8.【解析】方法一:分类讨论:①xN4时,y=10x-30>10；②34x<4时,y=2x+2>8；24x<3时，y=Tx+20>8；14x<2时,y=-8x+28>12：⑤x<l时,y=-10x+30>20.综上y28,即最小值为8.方法二:y=|x-1|+|x—2|+|x—2|+|x—3|+|x—3|+|x—3|+|x—4|+|x—4|+|x—4|+|x—4|,故此函数的几何意义为数轴上的点x到点1、2、2、3、3、3、4、4、4、4合计十个点的距离和,此时应使得x落于最中间的两个点之间距离之和最小,即34x43,x=3时,函数取得最小值8..求证:对于任何实数a、人,三个数:レ+・、ー耳、|1ー4中至少有一个不小于［.【答案】略.【解析】假设1。+小ト。|、…|均小于L则ト+。|+|1一同+卩_同v_x3=二,v|a+&|4-|l-h|+|l-a|>\a+b+l-b+l-a\=|2|=2>二»与假设矛盾.故ト+小|1ーO|、卩一同中至少有一个不小于丄..（2012复旦附中自招）实数り、a2 〃“满足:①4+ム+…+。“=0,②同+同+…+同=1，求证:对于任意ん个数（ん=1,2,3,+/+…+ム|4丄.【答案】略.【解析】,.・《+ム+・.・+/=0,同+同+…+|ム|=1，若q>0,则同=4,若《<0,则同=ーq.•・将〃个数分成正数组和非正数组分别求和,则有:①s正+s非正=0，②s正一s非正=1,「.S正=5，s非正二—/,设q、生、…、4中,有i个数为正,，个数非正,i+j=k,记i个正数之和为S,，个非正数之和为5パ则:+ム+•••+%J=|Sj+Sノレ0vSj4—> —VSjV0,2 2 1••・一i工，+5jK耳,・・・|4+め+・・・+ム|く万得证・拓展题:1. （2011交大附中自招）整数％,ム々,…,々岫,/〇1。满足条件:4）二〇,

同=|%ーリ，

同=14-1|，・・・,

I。20101=|〃2009-1|♦求k+%+。3+…+%»9+。20101的最小值.【名师点拨】对于含有绝对值的等式,可将其两边平方去掉绝对值,从而化简.另本题求解最大值时,要注意4），4,4,…,。2009，。2010均为整数这一条件.【答案】7.【解析】由已知条件,将每个等式两边平方可得:粛=0,。「=（佝—1）=42—2%+l,a22=(q—1=a2—2ax+1»4010=(ム009—1)=%X»-2^2009+19将这2011个等式左右分别相加,整理得:出〇ア二一2(4+q+/+・・・+o20W)+2010,I, I 2010-%)1 1Z ハ22011・・|4+〃2+〃3+ +々2009+〃20101= 丁-+。2010=~~\a20\0~^)+ 97010—/；2又仆/W◎,3。均为整数’.“+4+/+…+〃れ=「一也是整数,〃如〇应为偶数,取46或-44时何+生+。3+ +a2009+めoio|最小,+。2+。3+…+%)W+。20101--]X45〜H---=7,故最小值为7.【课堂练习】(15分)解方程:|2x—5|ー,+リ=2.【答案】x=Sor-.3【解析】当2x—5N0且x+lNO,即ス之ヨ时,2原方程化为,(2x—5)—(x+1)=2,.\x=8；当2x—5vO且ス+1N0,即时,2原方程化为,~(2x—5)—(x4-1)=2,.\x=—,当2x-5v0且x+lvO,即xv—1时,原方程化为,—(2x—5)+(x+1)=2,.'x=4,同时X满足条件xv-1,矛盾,故此时方程无解.综上原方程的解为:x=8or—.3（15分）解不等式:|x-3|+|3x+2|<15.【答案】ーエ<x<4.2【解析】分类讨论:当スN3时,原不等式化为（スー3）+（3x+2）<15,解得スv4,/.3<x<4；当ーラ4xv3时,原不等式化为（3-x）+（3x+2）v15,解得xv5,—<x<3；3当スVー』时,原不等式化为（3-力一（3ス+2）<15,解得x>ーー»:.--<x<--.2 2 3综上——<x<4.2(15分)已知国41,|メ［2,设M=|x+y|+|y+2|+|y+スー4レ求M的最大值与最小值.【答案】10:5.【解析】••・国くl,|y|W2,/.-l<x<l,-2<y<2,/.y+2>0,y+x-4<0,:.M=|x4-y|+y-i-2+4-x-y=|x+y|4-6-x,若x+yNO,则ー1V-xWy<2,:.M=x+y+6—x=y+6,.\5<A/<8:若x+yvO,则ー2KyくースWl, M=-x—y+6—x=6—2x-y,.•.”的最大值为10,M的最小值为5.(15分)已知不等式|ar+a＜2的解集为2Vx＜6,求a,b的值.【答案】a=l,。=-4或a=—1,6=4.【解析】原不等式化为ー2＜方+6＜2,当a=O时,不等式解集为全体实数或者无解,均不符合条件,舍去;当a＞0时,不等式解集为ユ心＜x＜二ゆ，a a-2-b_ =2有し、»解得。=レb=-A；夕=6.a当a＜0时,不等式解集为メ＜ス〈二」,a a2-b_ =2有," »解得a=—1,b=4•-2-b/ =0综上,〃=1,。=-4或。=-1,b=4.(20分)不等式卜ー4|+卜+3k。有实数解,则。的取值范围是【答案】。＞7.【解析】解法一:分类讨论xv-3时,原不等式化为,(4-x)4-(―%—3)＜a,即a＞—2x+l,...若不等式有解,贝リ。＞(一2ス+l)min=(-2)x(一3)+1=7；-3WXV4时,原不等式化为,(4ーズ)+(x+3)＜。，即。＞7；xN4时,原不等式化为,(x-4)+(x+3)<a.即:a>2x-l,若不等式有解,则a>(2x-lL=2x4-1=7；解法二:几何意义|x-q+|x+3|可看作实数x在数轴上到ー3和4的距离之和,当ー34x54时，距离之和取到最小值7,.,.若不等式有解，贝!|a>(|x-4|+|x+3|).=7.故综上可得,使不等式有实数解的a的取值范围为:a>l.(20分)若函数イ(x)=|x+l|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=【答案】4或-6.【解析】/(x)=|x+l|+|x-a|+|x-a|,由绝对值函数的几何意义，函数于x=a取到最小值,即ア(a)=|"+l|=5,解得a=4或一6.【课后作业】(15分)解不等式：(2+xX3-|x|)<0.【答案】ー3Vx<-2或x>3.【解析】当x20时，原不等式化为(x+2)(3-x)<0,解得x>3或x<—2,/.x>3；当x<0时，原不等式化为(x+2)(3+x)<0,综上,一3vxv—2或ス＞3.(15分)解不等式:ドー|2ス+リト1.【答案】x＜-ユ或x＞〇.3【解析】分类讨论:①当X2ー1时,不等式化为2有x+l＞l或ス+lv-l,得ス＞0或ズv—2,故ス＞0；②当x＜ー丄时,不等式化为|3x+l|＞l,有3x+l＞l或3x+lv-l,得ス＞0或スv——,故スv——.3 3综上ス＜——或x＞0.3(15分)设同＜1,例＜1,求证:レ+ム|+レー団＜2.【答案】略.【解析】当a+b与。一い同号时,レ+4+トー4=レ+6+〃ー・=2同＜2；当。+ん与々_/J异号时,|«+Z?|4-+Z?-(«-/＞)|=21/?|＜2..•・k+.+トー・＜2.(15分)己知。、b、。满足avbvc,ab+bc+ca=O,abc=\,则( )A.|a+.＞|c| B.|a+.＜|c|C.|a+4=|c| D.无法判断k+4和耳的大小【答案】A.【解析】丁(ab+bc+ca)~=a2h2+b2c24-c2a24-2abc(a+力+c)=0,・・.a+h+c=-gレル2+が。2+c2a2)<0.\*a<b<cf.'.a<0.又あc=l>0,:,b<09c>0..\\a-^-b\=-a-b>c=|c|.(20分)(2011初中数学联赛)若不等式2卜-リ+3,ー3|4。有解,则实数。的最小值是.【答案】4.【解析】4,/(x)=2|x-1|+3|x-3|,有〃ル“リ⑶=4，f(x)4a有解,故a”(x)1111n=4,故a的最小值为4.(20分)若a,b满足3厶+5网=7,则S=26-3例的取值范围是.TOC\o"1-5"\h\z【答案】-04S4好.5 3【解析】令ス=«,y=|b|，(x>0,y>0),贝リ3x+5y=7,Wx=^^>0,W0<y<-,3 5上。ccc7-5y_ 19 14有S=2x-3y=2 :——3y=yd—,3 3 3ハフ21 19 14140<y<—, < yd<——.5 5 3 3 3有.•..七S4之5 3第十讲锐角三角比的定义及其应用本章节的内容是锐角三角比,锐角三角比在中考数学考题中常常作为连接各知识点之间的工具.本专题安排三讲内容,第十讲主要介绍锐角三角比的概念、特殊锐角的三角比、以及锐角三角比在几何综合题中的应用;第十二讲介绍ー些关于仰角、俯角、坡度（坡比）等概念以及锐角三角比在解三角形、实际问题中的应用.【知识概述】本讲分为三个模块，模块一介绍一下锐角三角比的概念;模块二介绍了锐角三角比的值的范围以及ー些特殊锐角的三角比;模块三在理解锐角三角比定义基础上，探讨了同角的锐角三角比之间的关系以及互余的两个锐角之间的锐角三角比之间的关系.【知识结构】模块ー:锐角三角比的定义人们在从事生产生活过程中,发现三角形的角与边之间存在着一种依赖关系;如果三角形中角的大小是确定了,那么这个三角形的形状就确定了,它们之间的比例关系就确定了;锐角三角比是定量地描述它们之间的依赖关系；锐角三角比首先是在直角三角形中给出雰义的，定义如下: /TOC\o"1-5"\h\z如图，己知RtAABC,AB=c,AC=b,BC=a,ZC=90°, /锐角A的对边与斜边的比叫做，A的正弦,记作sinA,即sinA=@;ハ" 7 Cc u锐角A的邻边与斜边的比叫做厶的余弦，记作cosA,即cosA=2；C锐角A的对边与邻边的比叫做厶的正切,记作tanA,即tanA=@：b锐角A的邻边与对边的比叫做/4的余切，记作cotA,即cotA=2.aー个锐角的正弦、余弦、正切、余切，统称为这个角的锐角三角比.【典型例题】1.已知sina=3,求锐角a的其他三角比的值.【名师点拨】本题仅仅给出锐角a的正弦值这ー个条件，而所求此锐角a的其他所有三角比的值;乍ー看,此题没有任何思路，不妨先画一个直角三角形，再根据三角比的定义以及勾股定理确定这个直角三角形的各边之间的比例"，题目就迎【解析】作用AABC,三角比的定义以及勾股定理确定这个直角三角形的各边之间的比例"，题目就迎【解析】作用AABC,【答案】cosa=-5AC=y/aB2-BC2=x/52-42=3个单位,TOC\o"1-5"\h\z.BC4 AC3sina==—,cosa==-AB5 AB5BC4 AC3tana==—,cota==—AC3 BC42.如图,在RtAABC中,ZC=90°,AB:AC=4:1,求tanA、tanB.2.【答案】715,巫：.BC=y/15kf/.tanA=—= =715,tanB*BCーtanB*BCー55k153.AC上,3.AC上,DEA.AB,垂足为E,则cotZAOE的值是.（2014嘉定一模）如图,已知へ4BC中,ZC=90°,AC=3,BC=2,点ク在边【答案】【解析】.DE【解析】.DE丄AB,・・.ZA£D=90°,又ZC=90。,:.ZADE=ZB、又AC=3,BC=2,2/.cotZADE=cotZB=一34.在A4BC中,ZACB=90°,C。丄AB于点ハ,设ZDC4=a,若4):8C=7:12,4.求sina,tana的值.Da

【答案】且,立.4 3【解析】・・・んD:BC=7:12,设AD=7a,则3C=1勿,设