四年级等差数列求和

四年级等差数列求和TTAstandardizationoffice[TTA5AB-TTAK08-TTA2C]

第3讲：等差数列求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学计算:1+2+3+4++99+100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1+100=2+99=3+98==49+52=50+51。100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1十100）X100-2=5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列’的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和二（首项+末项）x项数末项=首项+公差x（项数-1）项数=（末项-首项）。公差+1例1：计算下列数列的和1,2,3,4,5,,100；8,15,22,29,36,,71o其中(1)是首项为L末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=(首项十末项)x项数-2随堂小练：计算等差数列L3,5,7,9,,99的和例2：计算下面数列的和1+2+3++1999分析：这串加数1,2.3,,1999是等差数列，首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得解：原式=(1+1999)x1999-2=1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例3：计算下面数列的和11+12+13++31分析：这串加数11,12,13,,31是等差数列，首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。解：原式=(H+31)x21-2=441在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=(末项-首项):公差十1,末项=首项十公差X(项数-1)。例4：计算下面数列的和3+7+11++99分析：3,7.111.99是公差为4的等差数列，项数=(99-3)-4+1=25解：原式=(3+99)x25=2=1275例5：求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项=25+3x(40-1)=142,和=(25+142)x40-2=3340o利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。随堂小练：(1)求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少？(2)求等差数列：2、6、10、14、18……它的第60项是多少？例6：已知数列2、5、8、11、14……35,这个数列共有多少项？分析：第2项比首项多1个公差,第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多(n-1)个公差。可根据,项数=(末项-首项):公差+1进行计算，(35-2)±3十1=12。所以，这个数列共有12项。由此可知：项数=(末项-首项)。公差+1随堂小练：(1)有一个等差数列：1、3、5、7、9……99,这个等差数列共有多少项？⑵(3)有一个等差数列：2、5、8、11……101,这个等差数列共有多少项？例7：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米（2）整个图形由多少根火柴棍摆成分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：⑴最大三角形面积为（1十3十5十十⑸xl2=[（1+15）x8=2]x12=768（平方厘米）2）火柴棍的数目为3+6+9H24=（3+24）x8-2=108（根）。答：最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。例8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2x2只球第十次多了2x10只球。因此拿了十次后，多了2xl+2x2++2xl0=2x（1+2++10）=2x55=110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）。解：综合列式为：（3-1）x（1+2++10）+3=2x[（1+10）xlO-2]+3=113（只）课后练习：1、求下列等差数列的和。6+7+8+9+……+74+752+6+10+14+……+122+1261+2+3+4+……+2007+20082、有一个数列，4、10、16、22……52,这个数列有多少项？3、4、一个等差数列，首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少？5、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？6、7、有一个数列：6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少？8、9、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项第50项是多少10、11、求1—99个连续自然数的所有数字的和。12、8已知等差数列5,8,11…，求出它的第1