2018年度全国卷1理科数学含规范标准答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-i1．设z二+2i，则1z1二1．1+i2．A．0B．2．A．0B．已知集合A二&x2-x—2>0丿，则A．C.仁Ix<-l}u!xIx>2}1D.込B.{x|-1<x<2}{xIx<-1}u{xIx>2}种植收入/机咒局黒三产业收人諭慕抱收入y养殖收人謹其他收入种植收人/种植收入/机咒局黒三产业收人諭慕抱收入y养殖收人謹其他收入种植收人/I37%輕\第三产业收人30%/丿养殖收入建设后经济收入构成比例3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例则下面结论中不正确的是新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加了一倍

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设S为等差数列｛a｝的前n项和，若3S二S+S,a二2，则a5=nn32415A.—12B.-10C.10D.12设函数f(x)二x3+(a—1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y二f(x)在点(0,0)处的切线方程为a.y=—a.y=—2xB.c.y=2xD.6.在△ABC中，AD为bc边上的中线，E为AD的中点，则EB6.3uuur1uuur3uuur1uuurA.—AB——AC441uuur3uuurB.4AB—7AC3uuur1uuurC.—AB+—AC441uuur3uuurD.4AB+4AC7•某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图•圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A.2J17B.C.3D.22uuuuruuur设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为3的直线与C交于M，N两点，则FM-FN=A.5B.6C.7D.8Iex,x<0,已知函数/(x)=八g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是IInx,x>0,A．[-1，0)[0,+w)[-1,+w)[1,+w)其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自I,II,III的概率分别记为p1，p2,p3，则B．p1=p310．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,A．p1=p2D．p1=p2+D．p1=p2+p311•已知双曲线C：兰-y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点3分别为M、疋若厶OMN为直角三角形，则|MN|=TOC\o"1-5"\h\zA.3B.3C.2*3D.4212.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面«所成的角相等，则«截此正方体所得截面面积的最大值为D．.3、込c2、」3厂3込D．A.B.C.434二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x—2y—2W013•若x，y满足约束条件<x—y+1>0，则z=3x+2y的最大值为y<0TOC\o"1-5"\h\z14•记S为数列｛a｝的前n项和，若S=2a+1，则S=.nnnn615.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。(12分)在平面四边形ABCD中，ZADC=90o，ZA=45°，AB=2，BD=5.求cosZADB；若DC=2"2，求BC.(12分)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把ADFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.证明：平面PEF丄平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19．(12分)设椭圆C：—+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.20．(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科&网记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点Po•现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p作为p的值.已知每0件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．(12分)已知函数f(x)=--x+aInx.x讨论f(x)的单调性；f(x)-f(x)若f(x)存在两个极值点x,x，证明：1—<a-2.12x-x12(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C］的方程为y=klxl+2•以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P2+2pcos0-3=0.2求C的直角坐标方程；2若C与C有且仅有三个公共点，求C的方程.12123.［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知f(x)-1x+11—1ax-11.当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；若xe(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.参考答案：101112ABA13.614.参考答案：101112ABA13.614.-6315.1616.-痊217.（12分）解：（1）在AABD解：（1）在AABD中,由正弦定理得一BD=ABsinZAsinZADB由题设知，=sin45。sinZADB2，所以sinZADB=-5-.2=7232=723由题设知，ZADB<90。，所以cosZADB=(2)由题设及(1)知，cosZBDC=sinZADB=£.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2一2-BD-DC-cosZBDC=25+8-2x5x2迈x吕=25.所以BC=5.18.（12分）解：（1）由已知可得，BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF.又BFu平面ABFD,所以平面PEF丄平面ABFD.（2）作PH丄EF,垂足为由（1）得，PH丄平面ABFD.uuuruuru以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，IBFI为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得，DELPE又DP=2,DE=1,所以PE=x3•又PF=1,EF=2，故PELPF.可得PH二仝,EH=2.33uur33uur3_=晅'爲—4则H(0,0,0),P(0,0,可),D(-1,-2,0),DP二(1，2，十)，HP二(0,0,_=晅'爲—4uuuruuur,HP-DP,设DP与平面ABFD所成角为0，则sm9=Puuruur1=IHPI-1DPI所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为(12分)解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.由已知可得，点A由已知可得，点A的坐标为(1,耳)或(1,-所以AM的方程为y=———x+*'2或y=――x—\2.(2)当l与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ZOMA=ZOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x—1)(k丰0)，A(x,y),B(x,y)，1122则x<*2,x<u2，直线MA，MB的斜率之和为k+k=」+—J12MAMBx—2x—212由y=kx—k,y=kx—k得11222kxx—3k(x+x)+4kk+k=宀12MAMB(x—2)(x—2)12将y=k(x—1)代入q+y2=1得(2k2+1)x2—4k2x+2k2—2=0.4k22k2一2所以，x+x=,xx=所以，122k2+1122k2+1贝y贝y2kxx一3k(x+x)+4k=12124k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1从而k+k=0，故ma,MB的倾斜角互补，所以ZOMA=ZOMB.MAMB综上，ZOMA=ZOMB.(12分)解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C2p2(1-p)18•因此20f，(p)=C2[2p(1-p)18一18p2(1-p)17]=2C2p(1-p)17(1-10p)2020令f(p)=0，得p=0.1•当pw(0,0.1)时，f'(p)>0；当pe(0.1,1)时，f'(p)<0•所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知，p=0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1),X=20x2+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验，贝这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.(12分)解：(1)f(x)的定义域为(0,+8)，f'(x)=-一1+=-一x2xx2(i)若a<2，则f'(x)<0，当且仅当a=2，x=1时f'(x)=0，所以f(x)在(0,+8)单调递减.a-、‘a2—4a+\a2—4(ii)若a>2，令f(x)=0得，x=-或x=■-a-、■a2—4a+订a2—4当xe(0,)U(，+8)时，f(x)<0；当xe(a-‘；2-4,af：2一4)时，f'(x)>0•所以f(x)在(0,了二),(出尸,+8)单

,a—\a2—4a+Ja2—4、

调递减，在（，2）单调递增.（2）由（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当a>2.由于f（x）的两个极值点xi，x2满足x2-ax+1=0，所以xix2-1，不妨设%<J，则x2>1•由于f(x)f(x)—f(x)12—x—x12~21lnx—lnxlnx—lnx——1+a12——2+a12xxx—xx—x121212-2lnx——2+a~~12-、—xx22所以f所以f(x1)_f(x2)<a—2等价于——x+2lnx<0.x—xx22122设函数g(x)-1—x+2lnx,由(1)知，g(x)在(0,+s)单调递减,x又g⑴=0，从而当xe（1,+s）1所以1所以x+2lnx<0,x222f(x)-f(x)即亠j2<a—2x-x1222．22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）【解析】（1）由x=Pcose，y=Psin0得C2的直角坐标方程为（x+1）2+y2-4.⑵由⑴知C2是圆心为A（-1，0），半径为2的圆•由题设知，C1是过点B（°，2）且关于y轴对称的两条射线•记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为12-由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l与C2只有一个公共点且12/r/