2017年中考复习特殊四边形综合题

特殊四边形综合题1.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD，并过点Q作Q0丄BD,垂足为0,连接0A、0P.请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？请判断0A、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；在平移变换过程中，设y=S&pBBP=x(0WxW2),求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.2.已知在矩形ABCD中，ZADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点(其中EPVPD)如图1，若点F在CD边上(不与D重合)，将ZDPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.拓展：如图2，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG丄PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.图1图2已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.如图1,当ZEAF被对角线AC平分时，求a、b的值；当AAEF是直角三角形时，求a、b的值；55如图3,探索ZEAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合)，AM,AN分别交BD于点E,F,且ZMAN始终保持45°不变.求证：世亠匚11；皿2求证：AF丄FM；请探索：在ZMAN的旋转过程中，当ZBAM等于多少度时，ZFMN=ZBAM?写出你的探索结论,并加以证明.5.如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且ZBFC=90°.当E为BC中点时，求证：ABCF竺ADEC；当BE=2EC时，求匸。的值；BC设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C',连结FC,AF,若点C'到AF的距离是L求n的值.6.如图1,在菱形ABCD中，AB=6打，tanZABC=2,点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a(a=ZBCD)，得到对应线段CF.求证：BE=DF；当t=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于;如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，AEPQ是直角三角形？如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a(a=ZBCD)，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.7.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ZABC=60°，ZEAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E,F，且ZEAF=60°.如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；如图2，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE=CF；如图3，当点E在线段CB的延长线上，且ZEAB=15。时，求点F到BC的距离.8如图①，AD为等腰直角AABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）求证：BG丄GE；设DG与AB交于点M,若AG：AE=3：4,求如的值.ND9•如图①，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC，点E在AC上（且不与点A,C重合），在厶ABC的外部作厶CED，使ZCED=90°,DE=CE，连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF．（1）请直接写出线段AF,AE的数量关系;（2）将ACED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将ACED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由.10.如图（1）矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN=90°将ZMPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E,PN交边AD（或CD）于点F,当PN旋转至PC处

时，ZMPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图Q）,发现当PM过点A时，PN也恰好过点D,此时,^ABPsApcD（填:“竺”或“〜”（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，匹的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是,请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t,^EPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．11.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合）,分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点0为AC的中点.（1）当点P与点0重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当ZOFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、0E之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明.12.如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE.（1）如图1，求证：ABCE竺ADCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB.求证：DE丄FG；已知正方形ABCD的边长为2,若点E在对角线AC上移动，当ABFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）.13.如图1,在正方形ABCD内作ZEAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH丄EF，垂足为H.如图2,将AADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.求证：AAGE竺AAFE；若BE=2,DF=3，求AH的长.如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想：线段BM,MN,ND之间有什么数量关系？并说明理由.14.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG#CD交AF于点G，连接DG.求证：四边形EFDG是菱形；探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由；若AG=6,EG=2Tg，求BE的长.15.如图1,^ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF,BD丄CF成立.当厶ABC绕点A逆时针旋转0(0°<0<90°)时，如图2,BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立,请说明理由；当厶ABC绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长BD交CF于点H.求证：BD丄CF；当AB=2,AD=3迈时，求线段DH的长.图1®216.如图1,在矩形ABCD中，BC>AB,ZBAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F,点0是BD的中点，直线OK〃AF,交AD于点K,交BC于点G.求证：①ADOK竺ABOG:②AB+AK=BG；若KD=KG,BC=4-<2-求KD的长度；如图2,点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM〃DG交KG于点M,PN〃KG交DG于点N,设PD=m,当S&mN=子时，求m的值.圉1图217.已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1,若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断AACE的形状，并说明理由；如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分ZAEC时，求a：b及ZAEC的度数.18.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，设锐角ZAOB=a，将ADOC按逆时针方向旋转得到△D'OU（0°V旋转角V90°）连接AU、BD',AU与BD，相交于点M.（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1.求证：AAOC纟△BOD'.（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2.猜想此时△AOC与ABOD'有何关系，证明你的猜想；探究AC'与BD'的数量关系以及ZAMB与a的大小关系，并给予证明.19.已知菱形ABCD的边长为1，ZADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F.（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点0即为等边厶AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AAEF的外心为P.①猜想验证：如图2,猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3,当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N,请你直接写出的值.20.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到ABCF，过点F作FG丄BD于点G，连接AG，EG.（1）问题猜想：如图1,若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是，位置关系是;（2）类比探究：如图2,若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且ZAGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度.21.如图，正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF.（1）求证：ZHEA=ZCGF；（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形;（3）设AH=x,DG=2x,AFCG的面积为y,试求y的最大值.22.如图1,四边形ABCD中，AD〃BC,AB丄BC，点E在边AB上，ZDEC=90°,且DE=EC.（1）求证：AADE竺ABEC；（2）若AD=a,AE=b,DE=c,请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF丄CF（如图2）,若AD=2,BC=4,求EF的长.23.如图1,正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt^CMN中，ZCMN=90°,CM=MN,点M在CD边上，连接AN,点E是AN的中点，连接BE.（1）若CM=2,AB=6，求AE的值；（2）求证：2BE=AC+CN；（3）当等腰RtACMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2,连接AN,点E是AN的中点，连接BE,延长NM交AC于点F.请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论.

24.正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动，且DE=DF.连接BF,作EH丄BF所在直线于点H,连接CH.（1）如图1,若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是;（2）如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明;若不成立,说明理由；（3）如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时，连接DH,过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.25.问题：如图CL）,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至厶ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论.【类比引申】如图（2）,四边形ABCD中，ZBADH90°,AB=AD,ZB+ZD=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当ZEAF与ZBAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图（3）,在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，ZB=60°,ZADC=120°,ZBAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE丄AD,DF=40（•込-1）米,现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据:..1=1.41^3=1.73）

26.如图1,正方形OABC与正方形ODEF放置在直线丨上，连结AD、CF,此时AD=CF.AD丄CF成立．（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断AD与CF还相等吗？若成立,请证明；若不成立，请说明理由.（2）正方形ODEF绕0点逆时针旋转，使点E旋转至直线丨上，如图3,求证：AD丄CF.（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G,当AO=3，OD=：p时，求线段CG的长.27.如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，ZBEF=90°,BE=EF，连接PF,点P是FD的中点，连接PE、PC.（1）如图1,当点E在CB边上时，求证：pe=¥_ce；（2）如图2,当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明.

28.已知：J\J\J\4,平行线l1与12、l2与13、13与14之间的距离分别为d］、d2、d3,且d1=d3=1,d2=2.我们把四个顶点分别在I】、\2、\3、\4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.如图1,正方形ABCD为"格线四边形”，则正方形ABCD的边长为.矩形ABCD为"格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽.如图1,EG过正方形ABCD的顶点D且垂直\1于点E,分别交\2，\4于点F,G.将ZAEG绕点A顺时针旋转30°得到ZAED(如图2)，点D'在直线\3上，以AD，为边在E0'左侧作菱形ABCD，,使B7，C分别在直线\2，\4上，求菱形ABCD，的边长.CG匿1rCG匿1rr图229.正方形ABCD边长为4cm，点E,M分别是线段AC,CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F,过点M作MN丄DF于H,交AD于N.如图1，若点M与点C重合，求证：DF=MN；如图2,若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以i2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t>0)；当点F是边AB的中点时，求t的值；连结FM,FN,当t为何值时AMMF是等腰三角形(直接写出t值).30.已知，正方形ABCD中，ZMAN=45°,ZMAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH丄MN于点H.(1)如图①，当ZMAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：(2)如图②，当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；如图③，已知ZMAN=45°,AH丄MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.图O圏②特殊四边形综合题答案1.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD，并过点Q作Q0丄BD，垂足为0，连接OA、0P.请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？请判断0A、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；在平移变换过程中，设y=S&pBBP=x(0WxW2),求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.解：(1)四边形APQD为平行四边形;(2)0A=0P,0A丄0P,理由如下：•・•四边形ABCD是正方形，.\AB=BC=PQ,ZAB0=Z0BQ=45°,V0Q±BD,?.ZPQ0=45°,.\ZAB0=Z0BQ=ZPQ0=45°,A0B=0Q,在厶A0B和厶OPQ中，"AB=PQ“ZABO=ZPQOlBO=QO.\AA0B^AP0Q(SAS),.\0A=0P,ZA0B=ZP0Q,・・.ZAOP=ZBOQ=90°,・•・0A丄OP；（3）如图，过0作OE丄BC于E.・・y」-X-.・x,即（x+1）2_.2244又V0<x<2,・当x=2时，y有最大值为2；②如图2,当P点在B点左侧时，PBeQC圉2贝VBQ=2_x,0E_龙;疋,・°・y_lX-・x,艮卩y__丄（x_1）2+,2244又V0<x<2,・••当x_1时，y有最大值为丄；4综上所述，.••当x_2时，y有最大值为2；2.已知在矩形ABCD中，ZADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点（其中EPVPD）（1）如图1,若点F在CD边上（不与D重合），将ZDPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.①求证：PG_PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.（2）拓展：如图2,若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG丄PF,交射线DA于点G,你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立,请写出它们所满足的数量关系式,并说明理由．图1图？【分析】(1)①若证PG=PF,可证△HPG竺△DPF,已知ZDPH=ZHPG，由旋转可知ZGPF=ZHPD=90。及DE平分ZADC得厶日卩。为等腰直角三角形，即ZDHP=ZPDF=45°、PD=PH,即可得证;②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG竺AOPF知HD=.：EDP,HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得;(2)过点P作PH丄PD交射线DA于点H，先证AHP。为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=■.迈DP,再证△HPG竺AOPF可得HG=DF，根据DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF=.迈DP.解：(1)①•・・ZGPF=ZHPD=90°，ZADC=90°，・・.ZGPH=ZFPD，VDE平分ZADC，・ZPDF=ZADP=45°，•••△HPD为等腰直角三角形，・ZDHP=ZPDF=45°，在△HPG和厶DPF中，rZPH&=ZPDFlZgph=Zfpd.•△HPG^^DPF(ASA)，PG=PF;②结论：DG+DF=■.迈DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG竺△DPF，.•・HD=“DP，hg=df，HD=HG+DG=DF+DG，・・.DG+DF=■.迈DP；不成立，数量关系式应为：DG-DF=■.迈DP,如图，过点P作PH丄PD交射线DA于点H,BETPF丄PG,

・・.ZGPF=ZHPD=90°,・・.ZGPH=ZFPD,TDE平分ZADC,且在矩形ABCD中，ZADC=90°,・・・ZHDP=ZEDC=45°,得到厶日卩。为等腰直角三角形，・•・ZDHP=ZEDC=45°,且PH=PD,HD=.：叵DP,.\ZGHP=ZFDP=180°-45°=135°,在△HPG和厶DPF中，rZGPH=ZFPDVZGHP=ZFDPlph=pd.•.△HPG竺△dpf,HG=DF,DH=DG-HG=DG-DF,・・.DG-DF=EDP.3.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.如图1,当ZEAF被对角线AC平分时，求a、b的值；当AAEF是直角三角形时，求a、b的值；如图3,探索ZEAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.【分析】(1)当ZEAF被对角线AC平分时，易证△ACF^^ACE，因此CF=CE,即a=b.分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8(CE+4)①，再用相似三角形得出4CF=CE(CE+4)②，两式联立解方程组即可；先判断出ZAFD=ZCEF,再判断出AF=EF，从而得到△ADF^^FCE即可.解：(1)V四边形ABCD是正方形，・ZBCF=ZDCE=90°VAC是正方形ABCD的对角线，・ZACB=ZACD=45°，・ZACF=ZACE，VZEAF被对角线AC平分，・ZCAF=ZCAE，在厶ACF和AACE中，rZACF=ZACE“AC=AC,lZcaf=Zcae.•.△acf竺Aace,・・・CE=CE,VCE=a,CF=b,・a=b,•/△acf^Aace,.\ZAEF=ZAFE,VZEAF=45°,・・・ZAEF=ZAFE=67.5°,VCE=CF,ZECF=90°,ZAEC=ZAFC=22.5°,VZCAF=ZCAE=22.5°,.\ZCAE=ZCEA,・・・CE=AC=4E,(2)当厶AEF是直角三角形时，当ZAFE=90°时，・・.ZAFD+ZCFE=90°,VZCEF+ZCFE=90°,.\ZAFD=ZCEFVZAFE=90°,ZEAF=45°,.\ZAEF=45°=ZEAFAF=EF，rZADF=ZFCE在AADF和AFCE中”ZAFD=ZCEF.•.△ADF竺Afce,FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，a=8，b=4当ZAEF=90°时，同①的方法得，CF=4,CE=8,a=4，b=8．(3)ab=32，理由：如图，TAB〃CD・•・ZBAG=ZAFC,VZBAC=45°,・・.ZBAG+ZCAF=45°,・・.ZAFC+ZCAF=45°,VZAFC+ZAEC=180°-<ZCFE+ZCEF)-ZEAF=180°-90°-45°=45°,・・.ZCAF=ZAEC,VZACF=ZACE=135°,.•.△acfs^eca,AC二CF,**EC=AC，・•・ECXCF=AC2=2AB2=32ab=32．4.（2016•淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,点M,N分别是边BC,CD上的动点（不与点B,C,D重合），AM,AN分别交BD于点E,F,且ZMAN始终保持45°不变.（1）求证：竺=立；灿2（2）求证：AF丄FM；（3）请探索：在ZMAN的旋转过程中，当ZBAM等于多少度时，ZFMN=ZBAM?写出你的探索结论,并加以证明.【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明ZAFM=90°,根据等腰直角三角形性质即可解决问题.2）由（1）的结论即可证明.（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出ZBAM=ZEFM,因为ZBAM=ZFMN,所以ZEFM=ZFMN,推出MN〃BD，得到器帶推出BM=DN,再证明△abm-^adn即可解决问题.

(1)证明：：•四边形ABCD是正方形,・・.ZABD=ZCBD=45°,ZABC=90°,VZMAN=45°,・・.ZMAF=ZMBE,・・・A、B、M、F四点共圆，・・.ZABM+ZAFM=180°,・・.ZAFM=90°,.\ZFAM=ZFMA=45°,.・.AM=iEaF,・=••■•AJfl2(2)由(1)可知ZAFM=90°,・・.AF丄FM.结论：ZBAM=22.5时，ZFMN=ZBAM理由：TA、理由：TA、B、M、F四点共圆,.\ZBAM=ZEFM,VZBAM=ZFMN,.\ZEFM=ZFMN,・•・・•・=■,CBCDTCB=DC,・CM=CN,・MB=DN,在厶ABM和厶ADN中,rAB=AD“ZABM=ZADN=90Q,.•.△ABM竺AADN,.\ZBAM=ZDAN,VZMAN=45°,.\ZBAM/r/