【精品】高中数学选修1-1 椭圆及其标准方程 知识讲解 讲义+巩固练习

椭圆及其标准方程【学习目标】1．知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导．2．过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．3．情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．【要点梳理】要点一：椭圆的定义平面内到两个定点f、f的距离之和等于常数(大于Iff|)的点的集合叫椭圆.这两个定点1212F、F叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．12要点诠释：F、F是椭圆上不同的两个顶点；12若P是椭圆上任意一点，则|pf|+|PF1=常数；12当常数〉\fF时，轨迹为椭圆；12当常数=|FF|，则轨迹为线段FF；1212当常数＜|ff|，则轨迹不存在.12要点二：椭圆的标准方程椭圆的标准方程

要点诠释：1．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有a〉b〉0和c2=a2-b2;椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(-c,0);当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,-C)；在两种标准方程中，・・・a2>b2,・・・可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简.以焦点在x轴上的方程乞+兰二1(a>b>0)为例.a2b2建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两个定点F，F所在直线为x轴，线段FF的垂直平1212分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).2)设点设IF]F2I=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c,0).

列式由于点M(x,y)为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为：P={m\\mF|+\MF|=2a)(称此式为几何条件)12即*(x-c)2+y2+£(x+c)2+y2=2a(实现集合条件代数化)①(4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得+y2=2a一将这个方程两边平方，得(x(x+c)2+y2=4a2—4a+y2+(x-c)2+y2，整理得a2一cx=a弋(x一c)2+y2上式两边再平方，得a4一2a2cx+c2x2=a2x2一2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简.由椭圆的定乂可知2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，将方程②两边同除以a2(a2-c2)，得=1．a2a2一c2令a2-c2=b2，那么所得的椭圆方程可化为:x2y2+=1，(a>b>0)•a2b2因此，方程乂+兰二1（a>b>0）即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.a2b2要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法：（1）待定系数法：若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即即“先定型，再定量”.由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：mx2+ny2=1（m,n>0且m丰n）-（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】类型一：椭圆的定义例1.若一个动点P（x，y）到两个定点A（-1，0）、A，（1，0）的距离的和为定值m（m>0）,试求P点的轨迹方程.【解析】TIPAI+IPAl=m，IAA，1=2，IPAI+IPARAA，I，（1）当0vmv2时，P点的轨迹不存在；（2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA，•:其方程为y=0（—1<x<1）；（3）当m>2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A，为焦点的椭圆T2c=2，2a=m，b2=a2-c2=竺-14・••点P的轨迹方程为且一=1.m2m2一144【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆..当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆.举一反三：【变式1】已知圆A：(x+2)2+y2=36，圆A内一定点B(2,0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．•・•圆P与圆A内切，圆A的半径为6,・•・两圆的圆心距IPAI=6—r,即卩IPAI+IPBI=6(大于IABI).・••点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.2a=6,2c=IABI=4．a=3,c=2,b2=a2—c2=32—22=5．・••点P的轨迹方程为兰+兰二195【高清课堂：椭圆的方程356766例2】【变式2】设动圆P与圆M:(x-3)2+y2=4外切，与N:(x+3)2+y2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【答案】兰+兰=13627类型二：椭圆的标准方程例2.椭圆且+兰=1的焦距是，焦点坐标是;若AB为过椭圆的一10036个焦点F［的一条弦，F为另一个焦点，则AABF的周长是•122【答案】16F(-8,0),F(8,0)4012【解析】由椭圆方程知a2=100,b2=36

••c2=a2—b2=64，••c=&2c=16-•两焦点为F(—8,0),F(8,0)12又因为三角形的周长为为IABI+1AFI+1BFl=2a+2a=4a=4022【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a，b的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆竺+竺=l(mvnvO)的焦点坐标是.—m—n【答案】n—m,0)，(—\：n—m,0)【变式2】方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.25一m16+m【答案】9<m<252【解析】因为焦点在y轴上，所以16+m>25—m,即m>9,又因为b2=25—m>0,故mv25,2所以m的取值范围为9<m<25.它的两焦点分别是F1它的两焦点分别是F1，F2,且IF1F2I=8,【变式3】已知椭圆的标准方程是兰+21=1(a>5),a225弦AB过点F1,则AABF?的周长为【答案】4訂1【解析】因为F]F2=8，即即所以2c=8，即c=4,所以a2=25+16=41，即a，所以AABF?的周长为4a=很4!.例3.当3<k<9时，指出方程旦+旦=1所表示的曲线.9—kk—3【解析】T3<k<9•:9-k>0且k-3>0若9-k>k-3,即3<k<6时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；若9-k=k-3,即k=6时，方程表示圆x2+y2=1；若9-kvk-3,即6<k<9时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆.【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．举一反三：【变式】如果方程x2+ky2=2（k〉0）表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是.【答案】0<k<1类型三：求椭圆标准方程【高清课堂：椭圆的方程356766例1】例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0,—2）、（0,2）,并且椭圆经过点（—1,|）.【解析】（I）：'椭圆的焦点在x轴上，・•・设它的标准方程为芒+兰=1（a〉b〉0）•a2b2：2a=10，2c=8，・a=5，c=4・b2=a2—c2=52—42=9・••所求椭圆的标准方程为兰+兰二1;259（2）：椭圆的焦点在y轴上，・•・设它的标准方程为艺+乂二1（a〉b〉0）a2b2由椭圆的定义知，2a=（-3）2+（5+2）2+、：（一3）2+（|-2）2由椭圆的定义知，2a=••a=<10又c=2，•:b2=a2—c2=10—4=6・••所求椭圆的标准方程为兰+乂=1106【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a>b>0）,并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为竺+兰二1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为a2b2兰+竺=1.a2b2举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是厲（0,—1）、F2（0，1），P是椭圆上一点，并且IPFJ+IPF』==2IF]F2I,贝V椭圆的标准方程是【答案】艺+兰=143【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆兰+兰=1有相同的焦点，并且经过点(3,94－2)，求此椭圆的方程．【答案】兰+21=i.1510例5.求经过点P(－3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0,m^n).•・•椭圆经过点P(-3,0)和Q(0,2),9m9m=1,4n=1.m=—91n=4・••所求椭圆方程为兰+兰=1.94【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置,然后再设出方程.在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1(m>0,n>0,m丰n),而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置.举一反三：【变式】】过点(-3,2)且与椭圆斗+冷=1有相同焦点的椭圆的标准方程是—【答案】15+10=1【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P(3,0)且a=3b，求椭圆的标准方程.【答案】竺+y2=1或2!+乂=1.9819类型四：椭圆的综合问题例6.设F]、F2是椭圆兰+2!=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且IPF1I:IPFA=2:1,则129412△pf1f2的面积等于.【答案】4【解析】由椭圆方程，得a=3,b=2,c=i」5，・・PF1+PF2=2a=6.又PF]:PF=2:1,・・・PF]=4,PF=2,由22+42=（21：5）2可知△PF1F2是直角三角形,故A故APFiF?的面积为1PFfPF2=2-x2x4=4.2【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．举一反三：【变式1】已知P为椭圆兰+巴二1上的一点，F,F是两个焦点，ZFPF=60o,求AFPF的169121212面积．【答案】3朽【变式2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点f,F在x轴上，离心率为辽•过122点F的直线l交C于A，B两点，且AABF的周长为16，那么椭圆C的方程为.12x2y2答案】+=1答案】168类型五：坐标法的应用例7.△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，-6），另两边AB、AC的斜率的乘积是-4，求顶点A的轨迹方程.9【解析】设顶点A的坐标为（x,y）由题意得口.Z16一4（x丰o），xx9・•・顶点A的轨迹方程为兰+兰二1（x丰0）.8136【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．举一反三：【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，-5）和（0,5），直线MA与MB的斜率之积为_4，则M的轨迹方程是（）9A.兰+壬25100BA.兰+壬25100B.兰+上25100=1（x丰±5）DD．C.旦+21=1225254【答案】D【变式2】△ABC两顶点的坐标分别是B(6,0)和C(—6,0),另两边AB、AC的斜率A.乂+兰=1（y乂±6）8136C.乂+艺=1（x乂±6）1636【答案】DB．D．兰+乂=1（y乂±A.乂+兰=1（y乂±6）8136C.乂+艺=1（x乂±6）1636【答案】DB．D．兰+乂=1（y乂±6）8116乂+艺=1（x乂±6）3616高清课堂：椭圆的方程356766例3】变式3】如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP',求线段PP中点M的轨迹.【答案】设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x,y)，00则x=x°,y=予因为P（x,y）在圆x2+y2=4上，所以x2+y2=40000将x=x,y=2y代入上方程00得x2+4y2=4即4+y2=1所以点M的轨迹是一个椭圆【巩固练习】一、选择题1.满足条件a=13,c=5的椭圆的标准方程为()B.嵩+144=1C.x2y2y2x2169144169144D.不确定如果方程兰+旦=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（a2a+6A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-2TOC\o"1-5"\h\z直线y=kx+1与椭圆兰+兰=1总有公共点，则m的取值范围是（）5mA.m>1B.m>1或0<m<1C.m>1且m丰5D.0<m<5且m丰1设P是椭圆F+21=1上的点，若F,F是椭圆的两个焦点，则|pf|+|pf|等于（）25161212A.4B.5C.8D.10m>n>0是方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6..若椭圆的2kx2+ky2=1的一个焦点为（0,-4）,则k的值为（）11A.丄B.1C.8D.32328二、填空题过点（一3,2）且与椭圆兰+竺=1有相同焦点的椭圆的标准方程是.94若△ABC的两个顶点坐标A（-4,0），B（4,0），^ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为9•已知椭圆盏气=1的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上的一点，，是吩的中点,若OQl=1,贝VIPF1I=.10．设F10．设F］、F2是椭圆x2y2+-94=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PFJ：IPF2I=2:1,则△pf1f2的面积等于11.椭圆旦+上=1（m<n<0）的焦点坐标是-m-n三、解答题12.AABC的底边BC=16,AC和ab两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹

和顶点A的轨迹.13.已知圆C：(x—3)2+y2=100及点A(—3,0),P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q,求点Q的轨迹方程.14已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为竽和竽,过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.15.已知15.已知F]、F2是椭圆盏+64=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点.⑴若ZF]PF2=y，求△F1PF2的面积;⑵求IPFI-1PFI的最大值.12【答案与解析】【答案】C【解析】a=13,c=5,•:a2=169,b2=a2-c2=144,・••当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为工+兰=1；169144当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为二+竺=1，故选C.169144【答案】D【解析】焦点在x轴上，则标准方程中x2项的分母应大于y2项的分母，即a2>a+6,解得选D.【答案】C【解析】直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上【答案】D【解析】由椭圆定义知|PFl+IPFI二2a=10，所以选D12【答案】C【解析】将方程mx2+ny2=1转化为千+*=1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须mn满足mn解得m>n>0;故选C6.【答案】A；【解析】方程变形为羊+斗=1（k>0），•丄-=16,k=-1丄k2k32k2k7.【答案】乂+兰=11510【解析】因为C2=9—4=5，所以设所求椭圆的标准方程为兰+丄二=1.a2a2一594由点（—3，2）在椭圆上知-+—二二1，所以a2=15.所以所求椭圆的标准方程为a2a2一5x2y2+=1.15108.【答案】矣+罟=1（y丰0）【解析】顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a=10，所以a=5,2c=8，所以c=4，所以b2=a2—c2=9,故顶点C的轨迹方程为兰+兰=1.又A、B、C三点构成三角形，所以y工0所以顶点C的轨迹259方程为兰+兰=1（y丰0）.259

9.【答案】6【解析】如图所示，连结PF2，由于Q是PF]的中点，所以OQ是△PF]F2的中位线，所以PF2=2OQ=2,根据椭圆的定义知，PF]+PF2=2a=8，所以PF]=6.10.【答案】4【解析】由椭圆方程，得a=3，b=2，c=j5，••・PFi+PF2=2a=6.又PF】：PF2=2：1,・・・PF]=4,PF=2,11由22+42=(2*5)2可知△PF1F2是直角三角形，故厶PF1F2的面积为—PF].PF2=-x2x4=4.11.【答案】（\：n-m，0），（—n-m，0）【解析】因为mvnvO，所以一m>—n>0，故焦点在x轴上，所以c=Q-m-（-n）=Jn-m,故焦点坐标为（pn-m，0），（—In-m，/r