【高中数学题型归纳】8.2空间几何体的直观图与三视图

第二节空间几何体的直观图与三视图考纲解读认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。能画出简单空间图形(长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合)的三视图，能识别三视图,能所表示的立体模型,并会用斜二测画法画出它们的直观图.会用平行投影,画出简单空间图形的三视图与直视图,了解空间图形的不同表示形式.会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).命题趋势探究高考中对本节内容的考查,可以分为以下两类.柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础,以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。三视图为新课标新增内容,所以高考会加大对其考查的粒度.在高考中,主要考查三视图和直观图,特别是通过三视图确定原几何体的相关量.多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题,侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力.知识精讲一、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy，建立直角坐标系.画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于O'x',O'y',使厶'O'y'二45(或135°),它们确定的平面表示水平平面.画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴的线段，且长度保持不变;在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变，纵减半”.擦去辅助线.图画好后，要擦去x'轴、y'轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.注：直观图和平面图形的面积比为迈：4.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.二、空间几何体的三视图三视图的概念将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图，统称三视图.它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.作、看三视图的三原则(1)位置原则：

度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚俯视图几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度□诀正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等三、常见几何体的直观图与三视图常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.几何体直规图正（主［搜图侧（左）视图正一梭柱厨□□□V直匸植社的3个視图星2个樂形和1平三命形正四[1□宜俱检柱的3『观罔足3正六aiLuJu〈〉宜六陵社的3个规图星2个矩形1琵有議段［和1牛六边形BOom.的a个视圏是匸个距旳和1牛岡形正三桩锥©AAV正注链的3于视图是3T=角揺iF四△△X止四陵靈的3牛视圈是2牛=角形和1个正方形（含对托馥｝正為楼滩AA△>正亢縫锥闾$牛祕图显2个二苗母和J个六边形（含时弼线】续表几何体直现圈止（主）视罔趣左）视罔的视圈说明

球◎UOU球的3个視图岗対删题型归纳及思路提示题型斜二测画法与直观图思路提示注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同它们与实物图的对应关系例下列叙述中正确的个数是相等的角在直观图中仍相等长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.A.0B.1C.2D.3⑵如图8-10所示，X'A'B'是aOAB水平放置的直观图，贝UOAB的面积为（）图8-10D.12A.6B.3^2D.12解析⑴①因为厶Oy=90°的直观图为厶'Oy'=45。或135。,故①不正确;②因为y方向的线段的直观图在y'方向的长度减半，故②不正确;③因为所有x③因为所有x方向的线段的直观图方向不变，所以y方向的线段的直观图均在原有基础上旋转45,故方向统一，故③正确.④由③中叙述知，④不正确.故选B.⑵SO'A'B'=2O'A'11°'B'|sin45①SqB=2|°A||°B|sin90②而S.AOAB°'A'||O'而S.AOAB°'A'||O'B'|sin45|OA||OB|sin90。，所以策'A'B'2S4aoab_1x3x4sin45_3J2，所以3P2_'S24a°ab，即SAoab_12故选D.评注（1）”斜”指的是在直观图中，x',y'轴的夹角为45。，“二测”指的是“平行关系不变”，以及“长度纵变横不变”.（2）直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比.直观图与原图的面积关系:S'_寻S.4变式1已知正AABC的边长为a，以它的一边为x轴，对应的高为y轴，画出它的水平放置的直观图'B'C'，贝'B'C'的面积为（）.TOC\o"1-5"\h\z<3<366A.a2B.a2C.a2D."a248816变式2利用斜二测画法，一个平面图形的直观图时边长为1的正方形，如图8-11所示，则该平面图形的面积为（）A.朽B.2C.2迈D.4

题型直视图n三视图思路提示已知直观图描绘三视图的原则是：先看俯视图，观察几何体的摆放姿态，再看正视图与侧视图同高，正视图与俯视图同长，侧视图与俯视图同宽.例8.8正三棱柱ABC-aibici如图8-12所示，以面BCCiBi为正前方画出的三视图正确的是（）•图8-12图8-12分析先看俯视图，垂点法，把C,C投影到底面.1解析由垂点法，把C,C分别投影到底面，如图8-13所示，所以俯视图中间必有线段MN•故选A.1图8-13变式1如图8-14所示，MBC为正三角形，AA‘〃BB‘〃CC'丄平面ABC且33AA'=2BB'=CC'=AB，则多面体ABC—A'B'C'的正视图（也称主视图）是（）.图8-14变式2将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为左视D变式3

等于（C已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1变式2将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为左视D变式3

等于（C已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积面积不可能）A.B.<22-1C.22+1D.2题型直视图=直观图简单几何体的基本量的计算思路提示由三视图想象出直观图必须与实物图对应，先看俯视图，根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状，由口诀“正侧同高，正俯同长，俯侧同宽”定几何体的相关数据.例8.9若某空间几何体的三视图如图8-16所示，则该几何体的体积是（）12A.B.C.1D.233分析三视图为2个矩形和1个三角形，知该几何体是三棱柱.解析先看俯视图，定底面，再由正视图为矩形，侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱，然后由口诀知数据，如图8-17所示，所以以侧面为底得体积V=2x1xj2x迈=1.故选C.

侧视图止视图俯视图图8-16侧视图止视图俯视图图8-17变式1如图8-18所示，是一个几何体的三视图，若其体积为3<3,则a二变式2如图8-19图8-17存在三棱柱，其正视图、俯视图如图8-19所示；存在四棱柱，其正视图、俯视图如图8-19所示；俯视图如图8-19所示.）俯视图图8-18D.0俯视图

图8-19例8.10如图8-20所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为俯视图如图8-19所示.）俯视图图8-18D.0俯视图

图8-19例8.10如图8-20所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1,高为2的矩形，俯视图是一个圆,那么该几何体的表面积为（）.5兀B.A.2兀C.4兀分析由三视图是2个矩形和1个圆，可知该几何体为圆柱.解析由三视图是2个矩形和1个圆，可知该几何体是圆柱，如图8-21所示，再由口诀知数据，所以几何体的表面积S表=2冗+2兀x1x2=竺.故选B.22图图8-26图8-27-2cul"变式1某个几何体的三视图如图8-22所示,侧视图A.2叮3cm-2cul"变式1某个几何体的三视图如图8-22所示,侧视图A.2叮3cm3B.”3cm3俯视图图8-22则该几何体的体积是（).3込C.cm343运D.cm32变式2若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示，则其侧面积等于.变式3—个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2运,它的三视图中的俯视图如图8-24所示,左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是I'—1——1图8-23I'—1——1图8-23俯视图图8-25■>；侧视图变式4一个几何体的三视图如图8-25所示，则该几何体的体积为例8.11一个空间几何体的三视图如图8-26所示，则该几何体的表面积为（）.A.48B.32+8.17C.48+8J17D.804—►+4+正视图4—►+4+正视图Jt.丄俯视图解析由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形，上底面是长为4,宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上低长为2,下底长为4,高为4;另外两个侧面是矩形,宽为4,长为<42+12=、：17,所以S=42+2x\,；17x2=48+8\：'17.故选C.表变式1如图8-28所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为().A.6运B.9运C.12运D.18叮3正视图俯视图_图8-29侧视图正视图俯视图_图8-29侧视图变式2—个几何体的三视图如图8-29所示，则该几何体的体积是变式3(2012辽宁理13)—个几何体的三视图如图8-30所示，则该几何体的表面积为.05侧视图051图8-3005侧视图051图8-30例8.12如图8-31所示，3个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图,TOC\o"1-5"\h\z贝卩h=cm.解析先看俯视图知底面为直角三角形，再结合正视图和侧视图均为直角三角形，知其中一条侧棱垂直于1(1)底面，如图8-32所示，再根据口诀知数据，所以体积20=^x-x5x6xh,即h=4(cm).3\2丿4图8-32俯视图变式1某四面体的三视图如图8-33所示,侧视图图8-33该四面体四个面的面积中最大的是（).A.8B.6J2C.10D.8J2变式2角三角形,若几何体的三视图如图变式2角三角形,若几何体的三视图如图8-34所示,则该几何体的体积是（其中正视图、侧视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直）。A.4迈A.D.~T~变式3则该几何体的体积是（).A.125B.—C.—D.-236若几何体的三视图如图变式3则该几何体的体积是（).A.125B.—C.—D.-236若几何体的三视图如图8-35所示,正视图侧视图正视图侧视图俯视图俯视图图8-35图图8-35例&13—个几何体的三视图及其尺寸（单位:cm）如图8-36所示,则该几何体的侧面积为cm2圏8-36E8-37分析由三视图是2个三角形和1个矩形，可知该几何体是正四棱锥.解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面，再结合正视图和俯视图，将中心O“拔地而起”得直观图，如图8-37所示，再由口诀知数据，且可知斜高h'二5,所以几何体的侧面积S=4x丄x8x5=80（cm2）侧2变式1某四棱锥的三视图如图8-38所示，该四棱锥的表面积是（）.A.32B.16+16迈C.48D.16+32迈变式2一个棱锥的三视图如图8-39所示,则这个棱锥的体积为正视图侧视图3t变式2一个棱锥的三视图如图8-39所示,则这个棱锥的体积为正视图侧视图3t、—44俯视图图8-39变式3一个五面体的三视图，其正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图8-40所示，则此五面体的体积为.正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图图8-40题型直视图=简单组合体的基本量的计算

思路提示先根据三视图想象出几何的构造部分，一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分例8.14如图8-41所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）.A.9兀B.10KC.IkD.12兀分析先看俯视图定底面.解析先看俯视图为圆，再结合正视图和侧视图有上、下两部分，可知该几何体下面是圆柱，上面是球,如图8-42所示，所以2S=4兀R2+2兀R2+2兀Rh=4兀x表+2兀x—xS=4兀R2+2兀R2+2兀Rh=4兀x表2正视图侧视图评注求几何体的表面积，通常将所给几何体分成基本的球、柱、锥、台，再将它们的表面积求和或作差,求体积也是同样的道理.正视图侧视图图8-41图8-42俯视罔图8-41图8-42变式1一个几何体的三视图如图8-43所示（单位:m）,则该几何体的体积为m3变式2—空间几何体的三视图如图8-44所示，则该几何体的体积为（）.A.2兀+2J3B.4兀A.2兀+2J3B.4兀+2J3C.2K+空3D.-2—H*—2正视图侧和图俯视图图S-44图图S-44TOC\o"1-5"\h\z变式3某几何体的三视图如图8-45所示，则它的体积是（）._2兀__2兀A.8-B.8-C.8—2兀D.-333变式4一个几何体的三视图如图8-46所示，则该几何体的体积为正视图侧视图8-45俯视图图8-46正视图侧视图8-45俯视图图8-46例8.15若某几何体的三视图（单位:cm）如图8-47所示，则此几何体的体积是cm3.分析先看俯视图定底面——正四棱台的底面，再看正视图和侧视图，上面是矩形，下面是等腰梯形,属组合体.解析先看俯视图定底面——正四棱台的底面，再由正视图和俯视图知该几何体上半部分是正四棱柱，下半部分是正四棱台，如图8-49所示，再结合“正侧同高，正俯同长，俯侧同宽”知数据，所以几何体的体积为V=42x2+*x(42+4x8+82)x3=32+112=144cm3TOC\o"1-5"\h\z变式1一个几何体的三视图（单位:cm）如图8-49所示，侧该几何体的表面积是（）.A.280B.292C.360D.372变式2某几何体的三视图（单位:cm）如图8-50所示，侧此几何体的体积是cm3.

箭视图俯视图¥8-49图8-50m34变式3—个几何体的三视图如图8-51所示（单位:m）,则该几何体的体积为m3411B.8+\2,3C11B.8+\2,3C.7+、：2,3211俯视图图o■111卡俯视图图8-51例8.16一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（D.8+Q,328-52分析先看俯视图定底面，再结合正视图和侧视图.

解析解法一：先看俯视图知底面为正方形，再结合正视图和侧视图知该集合体如图8-53（。）所示，所以表面积S=12+12+2x（l+2）xlx-+1x2+^2xl=7+\：2把侧面作底知其体积表2V=1±2xlx1=3.故选C.22解法二：先把侧视图分割，如图8-53（Q所示，则结合俯视图和正视图知几何体下半部分是正方体，上半部分是三棱柱（平放）如图8-53（c）所示，所以S=5x12+1+2x丄+*2=7+J,V=12+丄x12=3.故选C.表222I也］(hI圣I也］(hI圣8-53俯视图B.3兀侧视图俯视图B.3兀侧视图）.变式1（2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（）.图8-54例8.17如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（）•

A3块B4块C.5块D.6块分析先看俯视图，从下往上“拔地而起”•解析先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示.故选B.图8-56变式1用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（）•A9与13B.7与10C.10与16D.10与15正观图俯视图图8-57题型110部分三视图其余三视图思路提示有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.例8.18一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为（）.侧视图侧视图图8-58解析因为该几何体是一个大长方体去掉一个小长方体，结合正视图及侧视图中线段均为实线，所以“缺口”就在前面的左上方，所以俯视图“缺口”必在左下方且为实线•故选D.变式1如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1,2该几何体的俯视图可以是（）•图8-59A.图8-59A.变式2在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以变式3（2012湖南理3）某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（）•图8-61■=J最【有效训练题32（限时45分钟）C.图8-61■=J最【有效训练题32（限时45分钟）C.叩o]1^1•用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是D.2•如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M,N,顶点A,D,q的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）.图8-石33•如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（）.A正方体