2019-2020年高考数学大题综合训练1

2019-2020年高考数学大题综合训练1已知等差数列｛a｝的公差dHO,其前n项和为S，若a°+a8=22,且aaa成等nn284712比数列.⑴求数列｛a｝的通项公式；n1113⑵若Tn=s+s—s，证明：Tn<4-12n⑴解•・•数列｛a｝为等差数列，且a2+a8=22,n281Aa5=2(a2+a8)=11•T11•Tn=S+S+^+S"12n•••a4,a7,a12成等比数列，••号=葺ai2，即(11+2d)2=(11—d)・(11+7d),又dHO，••・d=2,.•.a1=11—4X2=3,•a=3+2(n—1)=2n+1(nwN*).nn(a+a)⑵证明由⑴得，S=—=n(n+2),n2111(11)•S=n(n+2)=2[n_n+2丿，

(1(1Al1_3J+（11）〔3一5丿TOC\o"1-5"\h\z(11)、n_n+2丿1(111)2〔1+2_n+1_n+2丿1(11)3———+<——2(n+1n+2丿43•••Tn<4.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD〃BC,AB丄BC,AB=羽,BC=2AD=2,E为CD的中点，PB丄AE.⑴证明：平面PBD丄平面ABCD；⑵若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为扌，求二面角B—PD—C的余弦值.⑴证明由ABCD是直角梯形，AB=“...；'3,BC=2AD=2，可得DC=2，BD=2，从而△BCD是等边三角形,ZBCD=3，，BD平分ZADC,TE为CD的中点，DE=AD=1,ABD丄AE.又TPB丄AE,PBnBD=B,又PB,BDu平面PBD,AAE丄平面PBD.丁AEu平面ABCD,A平面PBD丄平面ABCD.⑵解方法一作PO丄BD于点O,连接OC,•・•平面PBD丄平面ABCD,平面PBDn平面ABCD=BDPOu平面PBD,APO丄平面ABCD,n・・・ZPCO为PC与平面ABCD所成的角，ZPCO=4，又•.•PB=PD,••・O为BD的中点，OC丄BD,OP=OC=\/3,以O为坐标原点，分别以OB,OC,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,•肩，0),D(—1,0,0),P(0,0,卡)，pC=(0,,''3，—'J3),pD=(—1,0，—3).设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),n・PC=0,|\/3y—、/3z=0,由]得]V:PD=0,[_x_寸3z=0,令z=1,则x=_\/3,丫=1,得口=(一、；3,1,1).又平面PBD的一个法向量为m=(0,1,0),设二面角B—PD—C的平面角为0,|n・m|1\[5贝Q|cos0|===斗一，|n||m|A1'5X15，由图可知0为锐角,・••所求二面角B—PD—C的余弦值是肯.方法二作PO丄BD于点O,连接OC,•・•平面PBD丄平面ABCD,平面PBDn平面ABCD=BD,POu平面PBD,PO丄平面ABCD,・・・ZPCO为PC与平面ABCD所成的角，ZPCO=4,又•.•PB=PD,O为BD的中点，OC丄BD,OP=OC=-J3,作OH丄PD于点H,连接CH,则PD丄平面CHO,又HCu平面CHO,贝i」PD丄HC,则ZCHO为所求二面角B—PD—C的平面角.由OP=・J3，得OH=^,••・CH=学，蹩厂OH2、［5・・・cosZcH°=ch=襄沽.23•某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200频数51088775以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及期望；若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？解⑴若A水果日需求量为140千克，则X=140X(15—10)—(150—140)X(10—8)=680(元)，5且P(X=680)==0.1.50若A水果日需求量不小于150千克，则X=150X(15—10)=750(元)，且P(X=750)=1—0.1=0.9.故X的分布列为E(X)=680X0.1+750X0.9=743.⑵设该超市一天购进A水果160千克,当天的利润为Y(单位：元)，则Y的可能取值为140X5—20X2,150X5—10X2,160X5，即660,730,800，则Y的分布列为Y660730800P0.10.20.7E(Y)=660X0.1+730X0.2+800X0.7=772.因为772>743,所以该超市应购进160千克A水果.若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得X,Y的分布列分别为X670750P0.10.9Y640720800P0.10.20.7因为670X0.1+750X0.9<640X0.1+720X0.2+800X0.7,所以该超市还是应购进160千克A水果.离心率为X2y2.亿[5\[3\离心率为4•如图，在平面直角坐标系中，椭圆c：a+b=1(a>b>0)过点『2，专⑴求椭圆c的标准方程；a2⑵过点K(2,0)作一直线与椭圆c交于A,B两点，过a,B两点作直线l：x=c的垂线，垂足分别为A】，B],试问直线AB】与A]B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．aa2=b2+C2,1x1x<(1)由题意得53_4a2+4b2=1，a=p5,b=1.c=2，cc=2，a=5x2所以椭圆C的标准方程为亏+y2=1.5⑵①当直线AB的斜率不存在时，直线1：x=2，(9)人匕^与舛日的交点是-,0.1x－1Ix－1当xe(0,1)时，g‘(x)<0,g(x)单调递减，②当直线ab的斜率存在时，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB为y=k(x－2)，由F=k5x-1Ix2+5y2=5,得(1+5k2)X2—20k2X+20k2—5=0,20k220k2—5所以x+x=,xx=121+5k2121+5k2所以所以1AB1：y—yy=——1”5—x21

'5)x-2j+yyy—y1AB：1，5)x—=+y51丿十y220k2一20k2一51+5k21***54x1-10综上，直线AB】与¥过定点112520k2-525xx，■i241+5k24联立解得x=x+x-5i2—45(1+k2)9-20(1+k2)=4k(x-x)代入上式可得y=-10+^+『2i一9k(X]+xj+4kxXq+20k4x1-1020k220k2-5-9k・i+k2+4k・l+kT+20k=0.5.设函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)(aWR).⑴当a=1时，求f(x)的单调区间;⑵若f(x)20对任意xe[1，+^)恒成立，数a的取值围;并说明理由.⑶当0丘[0，2)时，试比较*ln(tan0)与tan”-》的大小,并说明理由.解⑴当a=1时，f(x)=(x+1)lnx-(x-1),if(x)=lnx+—.g(x)i=g(1)=1>o,min:,f(x)>0.故f(x)在区间(0,+^)上单调递增，无单调递减区间．1(2)f(x)=lnx+-+1-a=g(x)+1-a,x由(1)可知g(x)在区间[1,+^)上单调递增，则g(x)±g(1)=1,即f(x)在区间[1,+^)上单调递增，且f(1)=2—a,当aW2时，f(x)20,f(x)在区间[1,+^)上单调递增，.•・f(x)2f(1)=0满足条件;1当a>2时，设h(x)=lnx+x+1—a(x±1),111x－1即尹x>xn，当0<x<l时，->1,x——111——111-ln>2-1ln--—1<■—2x+1(nAtan0—1又•••3心=亦+1，n当0<0<4时，0<tan0<1,2】n(tan0)<tan(0—4)；当0=4时，tan0=1,2】n(tan0)=tan(0—4)；当4<"<2时，tan°>1,2】n(tan0)>tan(0—4)综上，当0丘(0,£时,2】n(tan0)<tanf0—4j；当0=4时,2】n(tan0)=tanf0—4j；”(nnAt1(nA当0GI4,2丿时,2】n(tan0)>tanl0—4J.6•已知直线1经过点P(1,2),倾斜角a=6，圆C的极坐标方程为p=2-./2cos(0—4j.⑴写出直线1的参数方程的标准形式，并把圆C的方程化为直角坐标方程;22⑵若直线1与圆c相交于A,B两点，求线段AB的中点M到点P的距离.nx=1+tcos二,6解⑴直线1的参数方程为、y=2+tsin£,x=1tly=2+2(t为参数,tWR).由p=2i.jNosp—4j,得p=2cos0+2sin0,.•.p2=2pcos0+2psin0,.•.x2+y2=2x+2y,・••圆C的直角坐标方程为(x—1)2+(y—1)2=2.x=⑵把'tx=⑵把't代入(x—1)2+(y—1)2=2得,1(tA2+2+2—12=2k2丿整理得t2+t—1=0，/=5>0,t]+t2=—y=y=2+2.|MP|=t+t127.(2018模拟)已知函数f(x)=X2—|x|+3.⑴求不等式f(x)23x的解集；x⑵若关于X的不等式f(x)—X2W2+a恒成立，数a的取值围.解⑴当x20时，f(x)=X2—x+323x,即X2—4X+320,解得x23或xW1,所以x23或0WxW1;当x<0时，f(x)=X2+x+323x,此不等式X2—2X+320恒成立，所以x<0.综上所述，原不等式的解集为{x|x±3或xW1}.x(2)f(x)—X/r/