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文档简介
第四节函数的连续性一、函数连续的概念二、连续函数的局部性质三、闭区间上连续函数的性质四、初等函数在其定义域上的连续性
设函数
f(x)
在
U(x0)内有定义.一、函数连续性定义函数
f
(x)在点
x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在
U(x0)内有定义；(包括在点
x0处有定义)(极限值等于函数在点
x0处的函数值)注意：函数
f
(x)在点
x=x0处极限存在与函数
f
(x)在点
x=x0处是连续的区别。２.函数的增量
例．证明函数y=x2在给定点x0处连续。
证：在x0处，函数的改变量为y=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2。所以y=x2在给定点x0处连续。例证由定义知3.单侧连续定理:例解右连续但不左连续,例：讨论函数
f
(x)=x2,
x
1,在
x=1处的连续性.函数
f(x)在点
x=1处不连续.故函数
f
(x)在点
x=1处是左连续的.x+1,x
>1,但由于解4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的连续曲线.例如,例证同理可证：二、函数的间断点(1)f
(x)在
x0处无定义.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个,则称函数
f
(x)若函数
f
(x)在内有定义,且在点
x0处在点
x0处间断,点
x0称为函数
f
(x)的一个间断点：
.
)(
,)(
lim
(3)00xfaaxfxx¹=®但求函数间断点的途径:(1)f
(x)在
x0处无定义,但
f
(x)在内有定义.(2)中至少有一个不存在.(3)存在,但不相等.(4)但
a
f
(x0
).1.跳跃间断点例解2.可去间断点例解注意:
可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如上例中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例解例解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★
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