三角函数讲义适用于高三第一轮复习

sinasina=tanacosa三角函数1．同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=12．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）sin(兀+a)=-sinacos(兀+a)=-cosatan(兀+a)=tanasin(牛sin(牛+a)=cosasin(兀-a)=sinacos(兀-a)=-cosa+a)=—sinatan(兀-a)=-tanasin(—-a)=cosa2-a)=sinasin(-a)=-sinacos(-a)=cosa3．两角和与差的公式sin(asin(a+P)=sinacosP+cosasinPsin(a-P)=sinacosP-cosasinPcos(acos(a+P)=cosacosP-sinasinPcos(a-P)=cosacosP+sinasinPtana+tanPtan(a+P)=1-tanatanPtan(a-tana+tanPtan(a+P)=1-tanatanPtan(a-P)=tana-tanP1+tanatanP4．倍角公式sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a=2cos2a-1tan2a=2tana1-tan2a5．降幂公式6．幅角公式sin2a=1-cos2a2cos2a=1+cos2a2sinacosa=sin2a2basin®x+bcos®x=\-a2+b2sin(®x+p)，其中tan申=—a&补充公式(sina±cosa)2=1土2sinacosa=1土sin2a\.l±sina=.aasm—±cos—22*知识点睛】】正切函数y=tanx的图象与性质:兀定义域为｛xIx丰k兀+—,keZ｝，值域为RZ7兀，兀、最小正周期是兀，在（刼-k兀+-）上单调增k兀没有对称轴，对称中心为（2,0），奇函数二正弦型函数y=Asingx+申）（A>0,e>0）的图象!方法一:先平移变换后伸缩变换平移变换：将y=sinx图象向左（申〉0）或向右（申<0）平移”|个单位，得到y=sin（x+申）的图象；伸缩变换：纵坐标不变，将y=sin（x+申）图象上所有点的横坐标缩短1）或伸长（0<e<1）到原2兀来的一倍，得到y=singx+申）的图象，此时函数周期为T=一；振幅变换：横坐标不变，将y=sin（wx+申）图象上所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原4．4．4．4．来的A倍，得到y=Asingx+申）的图象，此时函数的最值分别为A、-A；方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换:纵坐标不变，将y=sinx图象上所有点的横坐标缩短®>1）或伸长（0<1）到原来的丄2兀倍，所得函数y=sin&x的图象，此时函数的周期为T=一；平移变换：将y=sin®x图象向左®>0）或向右®<0）平移估个单位，得到y=sin㈣"）的图象振幅变换：同上1．解三角形：（1）边的关系1．解三角形：（1）边的关系a+b>c，a+c>b，b+c>a（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）2）角的关系：A+B+C=n，0<A、B、C<n，sinA>2）角的关系：A+B+C=n，0<A、B、C<n，sinA>0，sin(A+B)=sinC，—兀<A—B<n2．正弦定理：3．A+BCcos(A+B)=—cosC，sin—2—=cos—A+BC，cos=sm，22c==2R，其中R为AABC的外接圆半径sinAsinBsinC余弦定理：在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有b2+c2一a2cosA=—余弦定理：a2=b2+c2一2bccosA<b2=a2+c2一2accosB，其变式为：c2=a2+b2一2abcosC2bc2aca2+b2一c2cosC=—2ab三角形的面积公式：三角形的面积公式：S=—absinC=—bcsinA=—acsinB

AABC222三角恒等变换三角恒等变换例题精讲【例1】考查对三角函数值''知一求二”(1)已知u是第二象限角，且【例1】考查对三角函数值''知一求二”(1)已知u是第二象限角，且sina已知a是第四象限角，且tana的掌握=5，则cosa=__5=-，贝Usina=12,cosa=已知cosa=-17，求sina、tana的值点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值'知一求二”，但要注意正负符号的确定【例2】已知tana=2，计算：&sina+2cosa1(1)；(2)sinacosa；(3)3sina+4cosa2sinacosa+cos2a点评：如果根据tana的值求sina、cosa的值，则需考虑a的象限，这里把1写成sin2a+cos2a构造关于sina、cosa的齐次式，解法干净利索【例3】（1）(3).4兀25兀5兀“亠口【例3】（1）(3)sin-cos•tan的值是3641.兀已知cos(兀+a)=——，则sin(3+a)=若记cos(—80。)=k，贝0tan100。=点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。4兀5【例4】（1）已知sina=-,ae（―,兀）,cos0=—石,0是第三象限角，求cos（a—卩）【例4】（1）J厶丄J3兀兀兀已知sina=--，a是第四象限角，求仙才-a）、c叫+a）、tan（a-才）若u为第二象限角，且sina=4，则tan2a=兀【例5】（1）已知a+0=—，求（1+tana）（1+tan0）的值2兀ABAB*（2）已知A+B=，求tan+tan+\■3tantan的值3^2^2^2^2点评：正切的和差角公式把tan（a±卩）、tana±tan0、tanatan0联系到一块，任一项都能由另两项表示，如tana+tan0=tan（a+0）（1—tanatan0）【例6】（1）若1+加"=2008，则+tan2a=—tanacos2a….3J2sin2a—2sin2a（2）若sina—cosa=，则=51—tana（3）设0<a<—，若sina+cosa=/，贝g1+tana=421—tana点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦3—【例7】（1）已知a是第三象限角，且cos2a=—-，则tanq+2a）=$$4a.1+tan—2(2)已知a是第三象限角，且cosa=_三，则a1-tan—2002V3【例8】(1)已知sin+cos-二-^'则sin0的值为,cos20的值为.3兀兀⑵已知sin6-cosd8，且7<0<込'则COS°-Sin°的值为点评：此题主要考查sin—土cos—与sin—cos—之间的关系：(cos0土sin0)2=1土2sin0cos0【例9】若sin—-cos—求值：(1)sin—cos—；(2)sin2—-cos2—；(3)sin3—-cos3—常见题型一：给角求值在求值过程中'先整体分析三角函数式的特点'如果整体符合三角公式'则整体变形'否则进行局部变换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系'要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。【例1】求值：(1)sin163sin223+sin253sin313=sin65。+sin15。sinlO。

⑵=

sin25。一cos15。cos80。(3)sin6。sin42。sin66。sin78。=⑷sin220。+cos250。+sin20。cos50。=【例2】求值：(1)【例2】求值：(1)cos20。cos35。\1—sin20。G3tan12。-3)

sin12。(4cos212。—2)常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补等关系，另外还要注意角的范围的讨论【例】（1）已知cos(【例】（1）已知cos(a—^4)二,5<込，则sin“24(3)已知cos(a+2)(3)已知cos(a+2)=3,45c2已知tanQ+p)=5,—<a<——，贝0cos(2a+—)=_tan(卩—2)=1，则tan(a+?)=444（常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。：5io【例1】若sina=―^,sinp=io，且a、p为锐角，求a+卩【例2】已知a、p、丫均为锐角，且tana=1,tanp=1,tan丫=1，求a+p+Y58【例3】已知tan（a【例3】已知tan（a—卩）=”,tanppw(0,兀)，求2a—卩三角函数的图象与性质说明：(1)伸缩变换不会改变P的值，只是将X变为®x；若①相同，就不用做伸缩变换，若①不同，就一定要做伸缩变换；若P相同，就不用做平移变换，若P不同，就一定要做平移变换；¥(2)左右平移的量要看发生在自变量x上的变化。三.复合函数y=Asin(®x+申)+B的性质最值：A+B和—A+B；TOC\o"1-5"\h\z兀兀单调性：若A®>0，则正向讨论，即令2k兀--<®x+p<2册+-，可求得函数的单调增区间;厶厶兀3兀若A®<0，则反向讨论，即令2册+-<®x+p<2k兀+可，可求得函数的单调增区间2兀周期：最小正周期是T-T-7l®l对称性：函数f(x)=Asin(®x+申)+B的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令sin(®x0+申)二±1，可求得函数f(x)的所有对称轴x二x0；(令sin(®xo+Q)=0，可求得函数f(x)的所有对称中心(x0,B)【例1】考査三角函数图象的变换由函数y=sin(x+3)的图象怎么变换到函数y=sin(2x+)的图象将函数y=sin(x-才)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的兀D.y=sin(2x一一6TOC\o"1-5"\h\z图象向左平移亍个单位，得到的图象的对应解析式是()A.y=sin1xB.y=sin』x-)C.y=sin』D.y=sin(2x一一62226兀兀要得到y=sm(2x-)的图象，只需将函数y=sm(2x+)的图象兀向右平移—单位兀向右平移—单位兀兀兀A.向左平移丁单位B.向左平移卞单位C.向右平移丁单位D.24【例2】考査三角函数的对称轴和对称中心TOC\o"1-5"\h\z函数f(x)=sin(2x+申)(0<^<k)是R上的偶函数，则9的值是()兀兀A.0B.C.D.兀42兀已知函数f(x)=sin@x+-)的最小正周期为兀，则函数f(x)的图象()“兀c、兀“兀小、兀A.关于(亍。)对称B.关于x=对称C.关于(丁，0)对称D.关于x=对称443(3)兀(3)已知函数f(x)=asinx+cosx的图象关于直线x=7成轴对称图形，则实数a二4兀若函数y=3cos(2x+94兀若函数y=3cos(2x+9)的图像关于点(丁，0)中心对称，那么的最小值为()兀兀4C3A.B.(5)已知函数f(x)=sin(°x+3)(°>0)，D.兀兀，且f(X)在区间(6，1)上有最小值'无最大值，则°-【例3】考査三角函数的单调性函数f(x)=2sin(2x+)的单调减区间是6函数f(x)=-cos(|―片)的单调递增区间是【例4】已知函数f(x)=sin2x+*'3sinxcosx+2cos2x，xeR求函数f(x)的最小正周期；求函数f(x)的最小值，并求函数f(x)取得最小值时的x的集合;兀兀求函数f(x)在区间［-丁,丁］上的最小值；4求函数f(x)的单调增区间；兀兀求函数f(x)在区间［-丁，丁］上的单调增区间；44求函数f(x)的所有对称轴和对称中心；函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x，xeR的图象经过怎样的变换得到;@【例5】已知函数f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+)344兀兀(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间［-12，-］上的值域【例6】考查三角函数的最值求法设M和m分别表示函数y=1cosx-1的最大值和最小值，则M+m=兀若函数f(x)=yl3sinx+cosx，0<x<—，则f(x)的最小值为兀7兀当xe［：,丁］时，函数y=3—sinx—2cos2x的最小值是，最大值是66sinx求函数y=的值域sinx+2sinx求函数y=的值域cosx-2(6)求函数y=sinx-cosx+sinxcosx，xe［0,兀］的最大值和最小值(7)函数y=sinx-sinx的值域是点拨：三角函数的值域、最值求法(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型：利用三角函数的有界性;y=asinx+bcosx型：利用幅角公式转化为y=Asin@x+申)形式，再利用有界性；y二asin2x+bsinx+c型：配方后求二次函数的最值，应注意|sinx|<1的约束；asinx+by=型：分离常数，利用三角函数的有界性csinx+dasinx+by=型：数形结合法，这里用到直线斜率的几何意义，也可用纯代数法求法ccosx+dy=a(sinx土cosx)+bsinx-cosx+c型：换元sinx土cosx二t，要注意变量t的范围【例7】(1)求函数y=x+\1-x2的值域；(2)求函数y=ix-4+<15一3x的值域；(5)已知函数y=2cos2x一2acosx-2a-1有最大值5，求实数a的值【例8】设函数f(x)=sin2x-cosx+a若方程f(x)=0有实数根，求实数a的取值范围；兀若方程f(x)=0在xe(0,-］内有解，求实数a的取值范围;17若1<f(x)<对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围4点拨：解决方程有解问题最有效的方法是分离变量求值域【例9】若关于x的方程sin2x+*3cos2x=a+1在［0,牛］上有两个不同实根，求实数a的取值范围【例10】(1)若函数f(x)=sin2x—2(xeR)，则f(x)是()兀A.最小正周期为一的奇函数B.最小正周期为兀的奇函数2C.最小正周期为2兀的偶函数D.最小正周期为兀的偶函数函数f(x)=sin4x+cos4x的最小正周期是，最小值是x函数f(x)二sin的最小正周期是；兀1⑷函数f(x)二sin(2x+y)-的最小正周期是—点拨：(1)利用降幂公式、幅角公式把已知函数转化为y=Asingx+申)+B形式，从而得到周期；(2)根据图象变换知识画出函数图象可以直观得到函数周期。【例12】已知函数f(x)=sinwx，g(x)=sin(2x+y)，有下列命题：兀当w=2时，f(x)g(x)的最小正周期是y；9当1时，f(x)+g(x)的最大值是石，最小值是-2；8兀当w=2时，将函数f(x)的图象向左平移亍可以得到函数g(x)的图象；k兀兀当w=2时，f(x)+g(x)的对称中心是(帀-—,0)(keZ)28其中正确命题的序号是—__(把你认为正确的命题的序号都填上)兀13.已知函数f(x)=Asm(ax+申),(A>9,w>0,1申l<—,xeR)的图象的一部分如下图所示。(1)求函2数f(x)的解析式；(2)当xe[—6,—3]时，求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的

b在锐角AABC中，B=2A，则一的取值范围是a35在AABC中，已知sinA=-,cosB=一，则cosC二【例2】(1)在AABC中，若a=7，b=8，cosC=—，则AABC中最大角的余弦值为14某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1、+、-，则()A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形*以3、4、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为点评：最大角决定三角形的形状，由余弦定理得，较小两边的平方和与最大边的平方的差决定最大角是锐角、直角和钝角。【例3】考查正余弦定理的灵活使用⑴在MBC中’若acosB+bcosA=csinC'其面积S=4(b2+c2-a2)，则B=—在AABC中，若(J3b-c)cosA=acosC，则cosA=在AABC中，若a2一b2=J3bc，sinC=2屈sinB，则A=batanCtanC在锐角AABC中，若一+—=6cosC，则+=abtanAtanB【例4】判断满足下列条件的三角形形状(2)sinC=2cosAsinB；(4)(a2+(2)sinC=2cosAsinB；(4)(a2+b2)sin(A一B)=(a2一b2)sin(A+B)/人厂a+b(3)cosA+cosB=—c点评：与三角形形状相关的几个结论:在AABC中，若acosA二bcosB，则AABC为等腰三角形或直角三角形abc在AABC中，若==，则AABC为等边三角形cosAcosBcosC在AABC中，若acosB+bcosA二csinC，则AABC为直角三角形在AABC中，若sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC，则AABC为直角三角形【例5】在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,求Bcos(A-C)+cosB=，b2=ac24【例6】在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosB=5，b=2，(1)当a=3时，求角A的度数；(2)求AABC面积的最大值sin+sinB【例7】AABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，tanC=,sin(B-A)=cosC.cosA+cosB(1)求A,C；⑵若S=3+.3，求a,cAABC【例8】在AABC中，sin(C-A)=1sinB=(1)求sinA的值；(2)设AC=J6,求AABC的面积【例9】在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(1)求A的大小；(2)求sinB+sinC的最大值【例10】在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,S^ABC(1)求(1)求C的大小;(2)求sinAsinB的范围【例11】设AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A—C=90,a+c=^2b,求C已知sinC已知sinC+cosC=1—【例12】在AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,(1)求sinC的值;(2)若a2+b2=4(a+b)一(1)求sinC的值;【例13】在AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值；213(2)若cosB+cosC=3，a=1，求边c的值2012高考真题分类汇编：三角函数、选择题

1.设tana,tanP是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan(a+P)的值为（A）-3（B）-1（C）1（D）32.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是TOC\o"1-5"\h\z兀兀3.已知0，函数f（x）二singx+）在（三,兀）上单调递减.则®的取值范围是（）425131（A）[,]（B）[,]（C）（0，T（D）（0,2]42424•如图，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E，使AE=4•如图，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sinZCED=（）CEA、3.1010B、J币ITC、10D、155.在AABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A.2B.C.D.（A）3sin2A.2B.C.D.（A）3sin2e=387，则sine二(B)4(C)了(D)45447.已知sina-COSa=J2,aG(0,n),则tana=(A)—1(B)-亭(C)(D)18.若(A)—1(B)-亭(C)(D)18.若tan0+—1A.-5tan01B・一4=4,贝9sin20=9.函数f(x)11C.D-32兀=sinx-cos(x+)的值域为6A.[-2,2]b."3,J3]C.[-1,1]10.在10.在AABC中，若sin2A+sin2B<sin2C,则AABC的形状是(A.锐角三角形BA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定11.设申GR,贝y“申=0”是“f(x)=cos(x+申)(xGR)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件12.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c,C=2B，则cosC=A)C)725+2257⑹A)C)725+2257⑹-25D)242513•已知a为第二象限角,sina+cosa=<3丁则cos2a=(C)亭(砰、填空题14.函数f(x)=sin(®x+p)的导函数y=f'(x)的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.(1)若申=6，点P的坐标为(0,323),则O62(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点,该点在△ABC内的概率为.该点在设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角TOC\o"1-5"\h\zC=•1在AABC中，若a=2,b+c=7,cosB=——，贝卩b=。417•设AABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是兀7c兀①若ab>c2；则C<—②若a+b>2c；则C<亍兀兀③若a3+b3=c3；则C<④若(a+b)c<2ab；则C>—⑤若(a2+b2)c2<2a2b2；则C>■—18•已知△ABC得三边长成公比为U2的等比数列，则其最大角的余弦值为•3519.设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=一，cosB=,b=3则c=13(21.当函数Uli上曲"f咗二"沁取得最大值时，x=(兀、4.兀1222.设«为锐角，若cosa+-=-，则sin(2a+—)的值为—▲12丿512三、解答题23.已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，acosC+73asinC—b—c=0(1)求A(2)若a=2，AABC的面积为叮3；求b,c.24.已知向量a=(cos①x-sinwx,sinwx)，b=(—cos-sin®x,2、-：3cos®x)，设函数f(x)=a-b+九(xgR)的图象关于直线x=n对称，其中w，九为常数，且wg(1,1).(I)求函数f(x)的最小正周期；(口)若y=f(x)的图象经过点(-,0)，求函数f(x)在区间［0,3n］上的取值范围.4525.+sin225.+sin2x。设函数f(x)—~2~cos(2x+—)求函数f(x)的最小正周期；兀兀1设函数g(X)对任意xeR，有g(x+—)—g(x)，且当xG［0,—］时，g(x)—--f(x)，求函数g(x)在［-兀,0］上的解析式。26.函数f(x)—6cos-罟+J3cosex—3(®>0)/r/