2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案

12第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件r最新考纲考向預测1黑榊命题的貳急一riff“若力则*”形式的陆题及貝:逆命題*仰命題与連杏命题，会分析四种命题的相互爻靈-理楼血麻东什.充什东们耳充聽东件的3*曲J5侖题阳贞假判断和充井必餐能件的判定浪甘誉酌主5?形式.聲廿理售，函敢、不零式、立休几何中的线面艾菇相交兀，等笛学主的推昱能丿」，昭埜为选择题，绘空题"低Fi離度一植心素养一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pnq,则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pnq且qnpp是q的必要不充分条件pnq且qnpp是q的充要条件poqp是q的既不充分也不必要条件pnq且qnp［注意］不能将“若P，则q”与“pnq”混为一谈，只有“若p,则q”为真命题时,才有“pnq”，即“pnq”o“若p,则q”为真命题.常用结论充要条件的两个结论若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件.若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件.2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于二、习题改编(选修11P8A组T2改编)命题“若X2〉y2，则x〉y”的逆否命题是()“若x〈y,则X2〈y2”B.“若x〉y,则X2〉y2”C.“若xWy,则X2Wy2“D.“若x±y,则X2±y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若X2>y2，则x〉y”的逆否命题是“若xWy,则x2Wy2”.故选C.(选修11P10练习T3⑵改编)“(x—1)(x+2)=0”是“x=1”的()充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.若x=1,则(x—1)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若(x—1)(x+2)=0,则x的值也可能为一2.故选B.走出误区一、思考辨析判断正误(正确的打“厂，错误的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)“X2+2x—3〈0”是命题.()⑵命题“若P，则q”的否命题是“若P，则綈q”.()若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()q不是p的必要条件时，“p/q”成立.()答案：(1)X(2)X(3)V(4)V(5)V二、易错纠偏常见误区不明确命题的条件与结论；对充分必要条件判断错误；含有大前提的命题的否命题易出错．命题“若△ABC有一内角为才，贝^ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()与原命题同为假命题与原命题的否命题同为假命题与原命题的逆否命题同为假命题与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若厶ABC的三个内角成等差数列，则n△ABC有一内角为"3”，它是真命题.条件（填：充分不必要、必要不充已知p：a〈0,q：a2>a，则綈p是綈q的.条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）.解析：綈p：a±0；綈q：a2<a,即0WaWl,故綈p是綈q的必要不充分条件.答案：必要不充分已知命题“对任意a,bwR，若ab>0，则a〉0”，则它的否命题是答案：存在a,bG答案：存在a,bGR，若abW0,贝aW0.考点四种命题的相互关系及其真假判断（师生共研）例］（2020•长春质量检测（二））命题“若X2<1，则一1〈x〈1"的逆否命题是（）A.若X2±1,则x±1或A.若X2±1,则x±1或xW—lB.若一1〈X〈1,则X2〈1C.若X>1或X〈一1,则X2〉1D.若x±1或xW—1,则X2±1【解析】命题的形式是“若p,则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q,则綈p”的形式，所以“若X2<1,贝一1〈x〈1”的逆否命题是“若x±1或xW—l,则X221".故选D.【答案】D（1）判断命题真假的两种方法判断1个時题为莫命題•要给出严格的推理证明；说明一个谕题是假命题•冗需举出一个反例即可判断所给命题的逆否命題的真假，若逆否命翅.为莫’则所需判断均命题为真*若逮否命趣为假t则所需判朗的命噩为假（2）由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命题的条件与结论互换即得逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题命题“若a2+b2=0,贝ya=0且b=0”的逆否命题是()若a2+b2工0,则aM0且bM0若a2+b2工0,则aM0或bM0若a=0且b=0,则a^+b2工0若aM0或bM0,则a2+b2工0解析：选D.“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若aM0或bM0,则a2+b2工0”,故选D.(2020•甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()“若xy=1,则lgx+lgy=0”的逆命题；“若a・b=a・c,则a丄(b—c)”的否命题；“若bW0,则方程x2—2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.①②B.①②③④C.②③④D.①③④解析：选B.①“若xy=1,则lgx+lgy=0”的逆命题为“若lgx+lgy=0,则xy=1”，该命题为真命题；“若a・b=a・c,则a丄(b—c)”的否命题为“若a・bMa・c,则a不垂直(b—c)”，由a・bMa・c可得a(b—c)工0,据此可知a不垂直(b—c)，该命题为真命题；若bW0,则方程X2—2bx+b2+b=0的判别式A=(—2b)2—4(b2+b)=—4b三0,方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60。的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)例2(1)(2019•高考天津卷)设xWR,则“X2—5x〈0”是“|x—1|〈1”的()充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2019•高考北京卷)设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件【解析】(1)由X2—5x〈0可得0〈x〈5,由|x—1|〈1可得0〈x〈2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故*—5x〈0”是“|x—1|〈1”的必要而不充分条件.(2)b=0时，f(x)=cosx,显然f(x)是偶函数，故“b=0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(—x)=f(x)，即cos(—x)+bsin(—x)=cosx+bsinx,又cos(—x)=cosx,sin(—x)=—sinx，所以cosx—bsinx=cosx+bsinx，贝2bsinx=0对任意xWR恒成立，得b=0,因此“b=0”是“f(x)是偶函数”的必要条件.因此“b=0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法定义法：根据pnq,qnp进行判断.集合法：根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得AcC,BeJC”是“AnB=0”的()充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.由AeC,BeJC，易知AnB=0，但AnB=0时未必有AeC,Be[Q如图充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析：选B.2—X20,则xW2,(x—1)2W1,则一1Wx—1W1,即0WxW2,据此可知,“2—x20”是“(x—1)2W1”的必要不充分条件.已知p：x+yH—2,q：x,y不都是一1,则p是口的()充分不必要条件必要不充分条件

c.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.因为P：x+yf—2,q：x丰一1或y主一1,所以綈P：x+y=—2,綈q：乂=一1且丫=一1,因为綈q綈P但綈P/綈q,所以綈q是綈P的充分不必要条件，即P是q的充分不必要条件•故选A.31充分条件、必要条件的应用（典例迁移）例吕已知条件P：集合P={x|x2—8x—20<0}，条件q：非空集合S={x|1—m<x<1+m}.若p是q的必要条件，求m的取值范围.【解】由X2—8x—20<0,得—2<x<10,所IXP={x|-2<x<10},由P是q的必要条件，知SP.1—m<1+m,贝U1—m>-2,所以0<m<3.1+m<10,所以当0<m<3时，P是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].【迁移探究1】（变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m,使p是q的充要条件.解：若p是q的充要条件，则p=s,所以1-m=-2,所以1-m=-2,1+m=10,所以m=3,m=9,即不存在实数m,使p是q的充要条件.【迁移探究2】（变结论）本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由例题知卩=仪一2<乂<10},因为綈p是綈q的必要不充分条件,所以pq且qp.所以[-2,10][1-m,1+m].1—m<—2,1—m<—2,所以I“或I、“1+m>101+m>10.所以m>9，即m的取值范围是[9,+s).餌豳豳岡

已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈P，綈q之间的关系转化成P，q之间的关系来求解.［注意］(1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设P：〈专^(m〉0)；q：x〈2或X〉l,若p是设P：件，则实数m的取值范围为解析：因为P是q的充分不必要条件，又解析：因为P是q的充分不必要条件，又m>0,所以•m—1~T~<2，所以o〈mW2.答案：(0，2］思想方法系列1等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式.倒已知条件p：|x—4|W6；条件q：(x—l)2—m2<0(m〉0).若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为.【解析】条件P：—2WxW10，条件q：1—mWxWl+m,又綈p是綈q的充分不必要"m〉0,条件，则q是p的充分不必要条件.故有］l—m±—2，所以0<m<3.、l+m<10,【答案】(o，3］本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．拓展憑习1.如果x,y是实数，那么“xMy”是“cosxMcos丫”的()充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A=｛（x,y）|xMy｝,B=｛（x,y）|cosxMcosy｝，则A的补集C=｛（x，y）|x=y｝，B的补集D=｛（x，y）|cosx=cosy｝，显然CD,所以BA,于是“xMy”是“cosxMcosy”的必要不充分条件.法二（等价转化法）：因为x=yncosx=cosy,而cosx=cosy^/x=y,所以“cosx=cosy”是“x=y”的必要不充分条件，故“xMy”是“cosxMcosy”的必要不充分条件.（2020•宁夏银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）充分条件B.必要条件充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件.故选B.>倉型演练'劭倉突碾［基础题组练］已知命题P：若x±a2+b2，贝yx±2ab,则下列说法正确的是（）命题p的逆命题是“若xVa汁b2，则xV2ab”命题p的逆命题是“若xV2ab,则xVa2+b2”命题p的否命题是“若xVa汁b2，贝则xV2ab”命题p的否命题是“若x±a汁b2，贝则xV2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x±2ab,贝x三比+匕2”，故A,B都错误；命题p的否命题是“若xVa2+b2，贝xV2ab”，故C正确，D错误.已知p：aM0,q：abM0,则p是口的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.aM0^/abM0,但abM0naM0,因此p是q的必要不充分条件.已知a,b,c是实数，下列结论正确的是（）“a2〉b2”是“a〉b”的充分条件“a2〉b2”是“a〉b”的必要条件“ac2〉bc2”是“a〉b”的充分条件“|a|〉|b|”是“a〉b”的充要条件解析：选C.对于A,当a=—5,b=1时，满足a2〉b2，但是a<b,所以充分性不成立；对于B,当a=1,b=—2时，满足a〉b,但是a2<b2,所以必要性不成立；对于C,由ac2〉bc2得cHO,则有a〉b成立，即充分性成立，故正确；对于D,当a=—5,b=l时，|a|〉|b|成立，但是a<b,所以充分性不成立，当a=l,b=—2时，满足a>b,但是|a|〈|b|,所以必要性也不成立，故“|a|〉|b|”是“a〉b”的既不充分也不必要条件.故选C.已知命题a：如果x〈3，那么x<5；命题B：如果x±3,那么x±5；命题Y：如果x±5，那么x±3•关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()命题a是命题B的否命题，且命题Y是命题B的逆命题；②命题a是命题B的逆命题，且命题Y是命题B的否命题；③命题B是命题a的否命题，且命题Y是命题a的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确.“(x+l)(y—2)=0”是“x=—1且y=2”的条件.解析：因为(x+1)(y—2)=0,所以x=—1或y=2,所以(x+1)(y—2)=0^/x=—1且y=2,x=—1且y=2n(x+1)(y—2)=0,所以是必要不充分条件.答案：必要不充分已知命题p：xW1,命题q：-<1,则綈p是q的.x解析：由题意，得綈P：x>1,q：x<0或x〉1,故綈p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要条件若命题“ax2—2ax—3〉0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.解析：由题意知ax2—2ax—3W0恒成立，但〈0,当a=0时，一3W0成立；当aHO时，得｛A=4a2+12aW0,解得一3Wa〈0,故一3WaW0.答案：[—3，0]已知命题p：(x+3)(x—1)〉0；命题q：x〉a2—2a—2.若綈P是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解：已知p：(x+3)(x—1)〉0，可知p：x>1或x〈一3,因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a2—2a—221,解得aW—1或a三3，即aw(—g,—1]U[3,+^).[综合题组练]1.(创新型)(2020•抚州七校联考)A,B,C三个学生参加了一次考试，A,B的得分均

为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则A,B,C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是()若及格分不低于70分，则A,B,C都及格若A,B,C都及格，则及格分不低于70分若A,B,C至少有一人及格，则及格分不低于70分若A,B,C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A,B,C至少有一人及格，则及