北理工理论力学讲义第03章

1第3章复合运动9学时绝对运动、相对运动、牵连运动变矢量的绝对导数与相对导数点的复合运动的分析解法（不要求）动点的运动方程动点的速度和加速度

的解析表达式4.点的复合运动的矢量解法速度加速度5.刚体的复合运动（定理定理重点内容，简单介绍）刚体平面运动的角速度 定理刚体平面运动可分解为平移和转动某类刚体的平面运动分解为两个转动作业3.6

3.7

3.8

3.9

3.11

3.15

3.18

3.19

3.21

3.22

速度分析

加速度分析2第3章复合运动本章主要内容：物体的运动具有相对性。对于同一物体，若选取的参考空间不同，则其运动状态也就不同。面的章节中，对物体运动的研究都是在同一个参考空间中进行的。本章将在两个不同的参考空间中

同一物体的运动，并给出物体在这两个参考空间中的运动量之间的数学关系式。物体相对

间的运动可视为其相对于乙空间的运动和乙空间相对间运动的复合运动。本章介绍复合运动的基本知识。学习本章的意义：复合运动是研究刚体复杂运动的重要基础。3第3章复合运动绝对运动相对运动牵连运动§3.11.

基本概念定参考系（定系）动参考系（动系）绝对运动相对运动牵连运动2.

举例说明直升飞机车轮运动车轮上的点的运动吊车飞机螺旋桨偏心凸轮43.

复合运动研究对象在不同的参考空间中的运动状态是不同的。这种差别是由于动系相对于定系有运动，即存在牵连运动所导致的。如果没有牵连运动，研究对象的绝对运动和相对运动就没有任何差别。如果物体作相对运动的同时还存在牵连运动，两种运动的结果就是在定系中所看到的运动。换言之，当已知研究对象的相对运动及牵连运动，则研究对象的绝对运动必为某一确定的运动。这说明研究对象的绝对运动可视为其相对运动和牵连运动的

运动，通常将这种

运动称为复合运动。结论：物体（点或刚体）的相对运动与其随同动系的牵连运动为物体的绝对运动，或者说，物体的绝对运动可分解为物体的相对运动和其随同动系的牵连运动。分解（绝对运动）（相对运动）（牵连运动）注意：物体运动的

与分解是在两个有相对运动的不同的参考空间中进行的，因此，必须明确研究对象、动参考系和定参考系。4.

运动

与分解的应用12某些工程机构，只有用上述方法才能求出机构中各构件的运动关系；实际问题需要在不同的参考空间研究物体的运动。这种利用动系和定系来分析运动的方法（或运动的与分解），不仅在工程技术上有广泛应用，而且还是在非惯性参考系中研究动力学问题的基础。56§3.2

变矢量的绝对导数与相对导数目的：为了给出绝对与相对速度、加速度的关系，需要在两个相对运动着的参考空间中

同一个变矢量的变化率。为此，本节引入矢量的绝对导数变矢量A和相对导数的概念，并研究它们之间的关系。其变化依赖于所选取的参考空间。定义其中一个空间为定系，另一个空间为动系。定系动系AeAA~t

t时刻A(t

t)A

(

t

)

A

(

t

)规定：绝对增量相对增量：A~

：Ae变矢量A

相对定系的增量。：A动系相对于定系发生方位的改变，A的方位改变而产生的增量。t

时刻A

(

t

)变矢量A相对动系的增

量。迁移

增量~A

A

Ae7绝对导数：dA~相对导数：dAdt绝对增量A相应的导数为绝对导数。dt

相对增量~A相应的导数为相对导数。推导绝对导数和相对导数之间的关系：限于所学知识，仅 动系相对定系作平面运动情形，对于更复杂的运动，所得结论依然正确。

~

A

A

Ae增量。其中A是e由于动系相对定系发生方位改变，造成A的方向改变而产生的在这一变化过程中，矢量

A

的大小保持时刻t的值不发生变化，因此，当

t足够小，即动系作平面运动的角位移足够小时，由附录I.1知Ae

A则

~

A

A

AAt

t

tA

A

~

8A~tt0

t0t

tlim

A

lim

A

(

lim

)

t0t

lim

动系相对定系在t时刻的角速度矢量。t0

~

dt

dtdA

dA

A(3.1)变矢量的绝对导数与相对导数的关系式上式表明：同一变矢量相对不同的参考空间其变化率一般不同，这种差别是由动系方位变化所引起的。动系作平移的特殊情况：当动系作平移时，由于动系无方位改变，其角速度

0，因此在这特一殊情况下，变矢量A的绝对导数与相对导数相等，即dt

dt

~

dA

dA(3.2)9§3.4点的复合运动的矢量解法3.4.1

动点的运动方程(1)

确定参考点：O

定系中任一确定点O

动系中任一确定点(2)

动点M

的变化规律：rrOrOOM绝对运动方程

相对运动方程r

r(t)r

r(t)rO

rO(t)

点O相对点O的矢径牵连运动方程在任意时刻t

r

(t)

rO

(t)

r

(t)(3.3)给出了动点的绝对运动方程、相对运动方程以及牵连运动为平面运动时的牵连运动方程。根据点的运动学知识，由此完全可求出该点相对于定系或动系的轨迹、速度、加速度及其在这两个参考系中这些量之间存在的关系。103.4.2

动点的速度和加速度绝对速度：va动点M

相对于定系的速度

drva

(3.18)绝对加速度：aadt

dvaaa

dt(3.19)相对速度：vr动点M

相对于定系的加速度

dt~

dr

vr(3.20)相对加速度：动点M

相对于动系的加速度~dvar

r

dt(3.21)绝对导数绝对导数在动系中的相对导数在动系中的相对导数ar动点M

相对于动系的速度矢量解法的优点：与第二章相类似，对于能构成复合运动的机构，如果需要求系统在某一瞬时的运动学量，这时用分析法求解则比较麻烦，如果用点的速度 定理和加速度定理所给出的矢量公式进行求解则很方便。113.4.3速度定理rrOrOOM已知：动点M

r

r

(t)r

(t)r

rOrO

(t)

动点M

相对定系的绝对矢径为动点M

相对动系的相对矢径为动空间参考点O的绝对矢径为则

r

(t)

rO

(t)

r

(t)(3.3)其中3.18对时间

t求绝

对导数

，得dr

drO

dr

dt

dt

dt

vavOdrdtdrO动点M

的绝对速度动系参考点O相对定系的绝对速度dtdtdr（相对矢径的绝对速度）dAdt

dt

~

dA3.1

Ae3.1dt~re

dr

r

3.20

vr动系的角速度12

va

vO

e

r

vr(3.32)定义牵连速度：在动空间中对动点M

的绝对运动产生直接影响的是此瞬时动系上与动点相重合的点N

。定义重合点N

相对定系的绝对速度为牵连速度，记作ve。则重合点N

的绝对速度为当牵连运动为平面运动时，其角速度为e，

ve

vN

vO

e

r

(3.33)

va

ve

vr(3.34)于是速度

定理（矢量方程式，在任意瞬时均成立）速度

定理：在任一瞬时，动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。速度速度定理的适用范围：定理虽然是在牵连运动为平面运动时推导所得，但当牵连运动为其他形式的刚体运动时，依然成立。133.4.4

加速度定理加速度关系的推导：

（3.34）

d

vreva

v

vrd

va

d

vedtdt

dt

dt d

vO

aa

a

edt

edt

v

r

d

v（3.33）ddtdt

dt

r

d

r

d

d

vO

e

d

r

e

aO

e

r

e

A~

dtdt

dtdA

3.1

dA

eO

e

e(3.1)

dt

~

d

r

r

r

a

aO

e

r

e

vr

ee

r

定义牵连加速度：当动系作平面运动时，动系上与动点重合点N

的绝对加速度，定义为牵连加速度。

ae

aO

e

r

e

e

r

(3.35)则dtd

ve

ae

e

vr(3.36)牵连速度的绝对导数并不等于牵连加速度。14dtre

rdt

~ r

d

v（3.1）dve

rr

v

a

v(3.37)相对速度的绝对导数并不等于相对加速度。

e

vr

的产生原因：

e

vr

的产生时由于相对运动和牵连运动同时存在的结果。在式(3.36)

中，由于相对运动的存在，在定系中看到的重合点不是动系中的固定不变点，由于重合点的改变而产生了该项附加加速度。在式(3.37)

中，由于牵连运动使得相对速度的方向在定系中发生变化而产生的附加加速度。定义科氏加速度：法国人科里奥利（G.G.Coriolis

1792~1843）在1835年提出，(3.38)加速度aC

2e

vr定理：

aa

ae

ar

aC(3.39)加速度

定理的矢量公式，在任意瞬时均成立。15加速度 定理：任一瞬时动点的绝对加速度等于其相对加速度、牵连加速度与科氏加速度的矢量和。适用于

的牵连运动。3.38

科氏加速度aC的大小和方向：aC

2e

vrC

ea

2(1)

大小、方向：

v

sin

revrCa

为e的正向与vr正向的夹角；

)。沿e和vr组成平面的法向，指向由右手法则决定((2)

特殊情况：当

90时，

e

vraC

2evrevraC方向由vr

顺e的转向转90◦得到。16er

//

vCa

0

一般情况下，当

0或

180

时，(3)

综合上述：ervaCvr

rv

将vr

正交分解，得到vr

，

vr

，C

e

r大小

a

2

v

其方向为vr顺e的转向转过

90◦（如图所示）时所指方向。17思考M

N

M

N

IIIO

OM

N

III动点：水管中的水滴M

，动系：与水管固连。绝对运动：未知曲线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：随水管的定轴转动的圆周运动。rvveva以作匀速定轴转动水管中的水滴M为动点，请分析对应于式(3.39)中每一项的物理含义。aenea

0M

N

taraC大小方向r?2vrr2//

OM

OM

//

OM

OM0(3.39)

aaaa

ae

ar

aCan

atn

t

ae

ae

ar

aC

a

?v2aa

taa

n?

//

va

va18动，套筒B

和与其刚性连接的杆BD

又可绕B

轴转动。已知OA

=BD

=r

，图示瞬时杆OA

处于铅垂位置，杆AC

与水平线的夹角

=30◦，试求此时点D

的速度和加速度。例3.7

图a

所示机构中，曲柄

OA

以匀角速度0作定轴转动，带动杆

AC

在套筒

B

内滑中动点为杆AC

上的点A

；动系与BD固连。如果改变动点和动系，又会如何呢？0OABC解法一(1)

运动分析：动点：杆AC

上的点B

；动系：与BD固连。(2)

速度分析：

vB

vA

vBAvB

va

va

ve

vr大小方向vAACvBA

vA

vBAr0

AB

AC

?

OA

ACvr

ve

vr0

?//ACD19沿

轴方向投影0OABCvAACvBAvrD

vA

sin

vBA

00AC

r

1

2r

0214AC

0(

)BD

4BD

AC

1

0(

)vDvD

BD

BD0

0

r

1

1

r4

4(方向

BD

)ve

vrvBAvA

沿

轴方向投影vA

cos

vr2vr

3

r0(3)

加速度分析：

n

taB

aA

aBA

aBA

aa

aB

aa

ae

ar

aC大小方向0OAB2C0DaA0//OAACBAanAC

naA

aBAr2

AB

2//BAACBAa

ttaBAar

AB

AC?

AB//BAaC

ae

ar

aC0

?

2BD

vr

AB沿

轴方向投影

aA

cos

at

aBA

C22 3

2r

AC

2BDvr0

r

283

AC

0(

)0832BD

AC

(

)Da

naDBDt210OCDaAACaBAnACA

aBAtar

aCBDDBanaDtBDDan

BD

22041

r

(

)20161

r(方向//BD)BDD

BD

at8320

r

(2083)

r(方向

BD)22解法二0OAB(1)运动分析：动点：套筒上的点B

；动系：与杆AC

固连。(2)

速度分析：

AB

AvA大小

0方向va

ve

vr

v

v

v

eva

vA

r0

O

AACvBAAB

AC

?

ACvBAvrC

vr?//ACD沿轴方向投影0

vA

sin

vBA

AC

0

4(

)沿轴方向投影rA0

v

cos

v

0r2v

3

r(

//AC

)23(3)

加速度分析：0OAD

ae

aA

aBA

aBA

n

taa

ae

ar

aC大小方向aa

aA0

Aaa

nBAACn

taBAr2

AB

20//OA

//BAAC

aBAAB

AC?

ABaBAt//AC

ar

aC?

2AC

vr

AB沿轴方向投影0

aA

cos

at

aB

AC0AC

rAC

32

2r

2

v0

r20

382

AC(

)BD083

2BD

AC

(

)

aDaCB

arCnaDt240OAD

Aaa

nBAACaBAtBD

aDaCB

arCnaDtBDDan

BD

22041

r

(

)20161

r(方向//BD)BDD

BD

at8320

r

(

)2083

r(方向

BD)25§3.5

刚体的复合运动3.5.1

刚体平面运动的角速度公式设刚体相对于地面固连的空间作平面运动，以刚体的平面图形S代表刚体。x12xi2Ox1x21ee2Oi1SABareare1

2定系：

Ox

x

，

动系：

Ox

x

。1

2动系相对于定系作平面运动，图形S相对于动系作平面运动。平面运动方位角随时间的变化规律为r

r

ta

ae

e

t

t任一瞬时各方位角之间有如下关系a

r

e(3.40)对时间求导数

a

r

e

a

e

r(3.41)角速度转向绝对角速度相对角速度牵连角速度a

ar

re

e26用矢量表示角速度aa

i3

rre3

eei3因为在运动过程中i3

e3r

ae(3.42)称为刚体平面运动的角速度定理。对式(3.42)求导

a

e

r(3.43)dt

dter~d

d

d

d

a

e

r

dt r

d

rdt

dt

0rere

r

得到角加速度的关系273.5.2

刚体平面运动可分解为平移和转动动系原点

与O图形S上的点A铰接，使动系与点A以相同的规律作平移。图形S的绝对运动：图形S的相对运动：图形S的牵连运动：图形S的平面运动绕A轴的定轴转动平面运动；绕A轴的定轴转动；与A同规律的平面平移。分解

与A同规律的平面平移。注意：点A的选取具有任意性。e

0由于牵连运动为平移，所以e

0，

a

r

a

r平面图形S上任一点B的速度、加速度可由复合运动方法得到：x12xi1i2Ox1OSe2Ax2Bar

e1

28点B的相对运动：点B的牵连运动：以A为圆心，以AB为半径的圆周运动；以A同规律的平移。点B的速度为(3.34)

va

ve

vr

点B的加速度为(3.39)

aa

ae

ar

aC

ABaB

aA

AB

vB

vA

vBA(2.21)

(2.24)

t

naB

aA

aBA

aBA以上两式正是在第二章中得到的平面图形上两点速度与加速度关系，这些关系现在从复合运动的途径得到的。通过上述的推导可进一步理解公式(2.21)和(2.24)中各项的物理含义。

vB

vA

AB

由于刚体的平面运动可以由平移和定轴转动

得到，因此， 通常把平移和定轴转动称作刚体运动的基本形式。293.5.3

某类刚体的平面运动可分解为两个转动如果平面图形S在运动过程中，其上有一点A到定系中某一固定点O的距离始终保持不变，那么点A在定系中的轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆周曲线。对于满足上述条件的平面运动，引入动系和定系：Ox1x2

与O,A两点连线固连；定系为Ox1x2，动系：x12xe11xx2i12e2i

OSAaBre动系相对于定系绕O轴作定轴转动，图形S相对于动系绕A轴作定轴转动。刚体的平面运动分解相对于动系绕A轴的 随同动系绕O轴的定轴转定轴转动（相对运动）

动（牵连运动）。由于轴O和A相互平行，因此又称这样的平面运动为绕两平行轴转动的

。30转动偶在任意时刻(3.