传染病最简单模型

传染病最简单模型：巳感染人数(病人)x(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为入有 x(t+A?)—x(t)=Xx(t)At 又设x(0)=工。，得微分方程~^=Xx解得x(t)=x0e舄SI模型：区分巳感染者(病人)和未感染者(健康人)。总人数N不变，入为日接触率，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)。则有d=XS"又有s(t)+i(t)=1。所以有d=Xi(l一社，i(0)=%。"、 1 1a求解出i(t)=——i ，传染速度最快时刻为t=A-1ln(-—1)1+(-—1)e上 m\i0SIS模型：传染病无免疫性。总人数N不变，病人的日接触率为A，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)，接触数b(感di染期内每个病人的有效接触人数)。病人日治愈率为U，所以有Nd=ANsi—UNi… di 1…由s(t)+i(t)=1，。=入/日，就推出了=-切—(1—)］。dt bSIR模型：为A，病人日治愈率为U传染病有免疫性。总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t)，s(t)为A，病人日治愈率为U，接触数b=A/U。且有s(t)+i(t)+r(t)=1。则有di—=Asi—Uidtds =—Asis0因通常r(0)=r0很小，故i0+s0因通常r(0)=r0很小，故i0+s0牝0。推出i(0)=i0，s(0)经济增长模型；1)道格拉斯(Douglas)生产函数Q(t)，K(t)，L(t)，f0分别表示某地区在t时刻的产值、资金、劳动力和技术。静态模型令z=Q/L，y=K/L，则z是每个劳动力产值，y是每个劳动力投资。由于z随y增加而增长，但增速递减。Z=Q/L=指(^)g(y)=ya, 0<a<1 Q=fL(K/L)a|'：Q(K,L)=fKaL1-a1 0 此为Douglas生产函数。更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数为Q(K,L)=fKaL,0<a,"1,f>02)资金与劳动力的最佳分配(静态模型)S=Q-rK-wL资金来自贷款，利率r,劳动力付工资w,资金和劳动力创造的效益为资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.Q r―『=——Q vvL ,% 推出awL1—otr3)经济(生产率)增长的条件投资增长率与产值成正比dK(动态模型)——=XQX>0dt,劳动力相对增长率为常数。地r地r业+有dr"dr它的解为y=fey01此为Bernoulli方程,L—[i

|Ll(1K日一Ko1匕D—)C-(1-oc)piz]>一般战争模型y(t)〜乙方兵力，甲乙双方的增援率为y(t)〜乙方兵力，甲乙双方的增援率为u(t),v(t)。每方非战斗减员率与本方兵力成正比.。则有，戏/)=f(x,y)—以工+a>0正规战争模型；双方均以正规部队作战，f(x,y)=P—ay—otx+〃(/)

［炒-foe-py+V(O〔做，正规战争模型；双方均以正规部队作战，f(x,y)=P—ay—otx+〃(/)

［炒-foe-py+V(Oay,a〜乙方每个士兵的杀伤率，a=rypy,ry〜射击率，py〜命中率g=-bx,b=rpXX,忽略非战斗减员就有jSc=-ay匚|<j&=—bx工(0)=x,y(0)=0游击战争模型双方都用游击部队作战，甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加，f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵g(x,y)=-dxy,d=rp=rsIs的杀伤率，C=rP,r~射击率P〜命中率， xxX小y,忽略yyy y非战斗减员-cxy)&=-dxyi(