第1讲函数与映射的概念公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第二章函数第1讲函数与映射概念考纲要求考纲研读1.了解组成函数要素．2．会求一些简单函数定义域和值域．3．了解映射概念.函数是特殊映射，对函数考查主要为：概念(判断是否为函数或判断两个函数是否相同)、定义域(详细函数或抽象函数)组成映射个数.

1．函数概念 (1)函数定义 设A、B是两个非空数集，假如按照某种确定对应关系f，使对于集合A中____________，在集合B中都有___________数和它对应，那么这么对应叫做从A到B一个函数，通常记为_______________.每一个数x唯一确定y＝f(x)，x∈A

2．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图2－1－1所表示四个图象，其中能表示从集合M到集合N函数关系是_______(填序号)．②③图2－1－1下面哪一个图形能够作为函数图象…（）xyOxyOxyOxyO(A)(B)(C)(D)B(1)设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},以下列图,能表示从集合A到集合B函数关系是（）D(2)函数定义域、值域集合{f(x)|x∈A}

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x取值范围A叫做y＝f(x)_______；与x值相对应y值叫做函数值，_________________________称为函数y＝f(x)值域． (3)函数三个要素，即_______、_____和____________.2．映射概念定义域值域对应关系f

设A、B是两个非空集合，假如按照某种对应关系f，对于集合A中_____元素，在集合B中都有___________元素与之对应，那么这么对应叫做从A到B映射，通常记为__________.任意唯一确定f：A→B定义域函数值以下是映射是（）(A)1、2、3(B)1、2、5(C)1、3、5(D)1、2、3、5A考点1求函数定义域求一些详细函数定义域，有分母确保

；有开偶次方根要确保

；有对数函数确保真数

，底数

.在求定义域过程中，往往需要解不等式(组)，很多时候需要利用函数单调性．分母不为零被开方数为非负数大于零大于零且不等于1答案：AA3．函数f(x)＝定义域是()A．(－∞，0]C．(－∞，0)B．[0，＋∞)D．(－∞，＋∞)A．{x|x≥－3}C．{x|x≤－3}

B．{x|x>－3}D．{x|x<－3}A2．函数y＝lg(4－x)

x－3定义域是________________.

{x|x<4且x≠3}＋lg(1＋x)定义域是(

11－x)4．(年广东)函数

f(x)＝A．(－∞，－1)B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)C解析：1－x≠0，1＋x>0⇒x>－1且x≠1，则f(x)定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)．考点2判断两函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？

解题思绪：要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定义域和对应关系是否相同即可．考点3相关映射与函数概念D

例1：若

f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4

，a2

＋3a}一个映射，则自然数a＝________，自然数k＝________；集合A＝________，B＝________.解题思绪：处理映射相关问题关键是了解透概念．解析：∵f(1)＝3×1＋1＝4，f(2)＝3×2＋1＝7，f(3)＝3×3＋1＝10，f(k)＝3k＋1，由映射定义知∵a∈N，∴方程组(1)无解．解方程组(2)，得a＝2或a＝－5(舍)．3k＋1＝16,3k＝15，k＝5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．答案：25{1,2,3,5}{4,7,10,16}【互动探究】

1．已知映射：f：A→B，其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，且在集合A中没有元素与之对应，)则k取值范围是( A．k>1 C．k<1

B．k≥1D．k≤1

解析：y＝－(x－1)2＋1≤1，若k∈B，且在集合A中没有元素与之对应，则k>1.A常见函数值域

2．以下函数中与函数y＝x相同是()B[－2,2]【互动探究】

2．若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不一样，则称这些函数为“孪生函数”．比如解析式为y＝2x2＋1、值域为{9}孪生函数有三个： ①y＝2x2＋1，x∈{－2}； ②y＝2x2＋1，x∈{2}； ③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}． 那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}孪生函数共有()CA．5个B．4个C．3个D．2个易错、易混、易漏4．对复合函数定义域了解不透彻例题：(1)若函数f(x)定义域为[2,3]，则f(x－1)定义域为________；(2)若函数f(x－1)定义域为[2,3]，则f(x)定义域为________；(3)若函数f(x－1)定义域为[2,3]，则f(x)定义域为________，f(2x＋1)定义域为________；(4)若函数f(x)值域为[2,3]，则f(x－1)值域为_______；f(x)－1值域为________．只要f(x)中x取值范围与f[u(x)]中式子u(x)取值范围一致就行了

(4)f(x－1)图象就是将f(x)图象向右平移1个单位，不改变值域．f(x)－1图象就是将f(x)图象向下平移1个单位，所以f(x－1)值域为[2,3]，f(x)－1值域为[1,2]．

【失误与防范】本题是求关于抽象复合函数定义域和值域，加深对函数定义域了解，弄明白f(x)与f[u(x)]定义域之间区分与联络，其实在这里只要f(x)中x取值范围与f[u(x)]中式子u(x)取值范围一致就行了.注意习题(3)就是习题(1)和习题(2)综合.

函数概念含有三个要素，当函数定义域及对应关系确定之后，函数值域也就随之确定．所以，“定义域和对应关系”为函数两个基本条件，当且仅当两个函数定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

对于求抽象复合函数定义域，主要了解三种情形：①已知f(x)定义域为[a，b]，求f[u(x)]定义域，只需求不等式a≤u(x)≤b解集即可；②已知f[u(x)]定义域为[a，b]，求f(x)定义域，只需求u(x)值域；③已知f[u(x)]定义域为[a，b]，求f[g(x)]定义域，必须先利用②方法求f(x)定义域然后利用①方法求解．考纲要求考纲研读1.在实际情境中，会依据不一样需要选择恰当方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．了解简单分段函数，并能简单应用.对于函数解析式考查主要集中在两个方面：求函数值或求函数解析式f(x)；分段函数主要表示分类讨论思想.第2讲函数表示法1．函数三种表示法图象法列表法解析法_______、________、_________．(1)图象法：就是_____________表示两个变量之间关系．(2)列表法：就是____________来表示两个变量函数关系．(3)解析法：就是把两个变量函数关系，用_____来表示．2．分段函数列出表格等式

在自变量不一样改变范围中，对应关系用不一样式子来表示函数称为分段函数．分段函数对应关系为一整体．用函数图象AB，若f(a)＝2，则实数考点1求函数值例1：①(年浙江)设函数f(x)＝

41－xa＝________.解析：∵f(a)＝

41－a＝2，∴a＝－1.答案：－1②(年广东)设函数

f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：f(a)＝a3cosa＋1＝11，即f(a)＝a3cosa＝10.则f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9【互动探究】

1．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝____.2解析：因为f(x)＝x2＋4x＋3，所以f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋(b2＋4b＋3)．又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，所以5a－b＝2.A2或－2考点2分段函数若f(1－a)＝f(1＋a)，则a值为______．

答案：D

分段函数对应关系是借助几个不一样表示式来表示，处理相关问题时，首先要确定自变量值属于哪一个区间，从而选定对应关系式代入计算．尤其地要注意分段区间端点取舍．【互动探究】-2

例2：①(年北京)依据统计，一名工人组装第x件某产品

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16

答案：D考点3求函数解析式

例3：(1)已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)表示式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；

解题思绪：本题侧重于从映射角度了解函数，求函数解析式f(x)即是求“对应关系f是怎样对x实施运算”．解析：(1)方法一：f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)，可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x.(f对x实施运算和对t实施运算是完全一样)方法二：令x＋1＝t，则x＝t－1.代入原式，有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x.(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17.∴a＝2，b＝7.故f(x)＝2x＋7.【互动探究】

3．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)值等于_________.2008解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4log23x＋233⇒f(x)＝4log2x＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝8×233＋4(log22＋2log22＋3log22＋…＋8log22)＝1864＋144＝2008.

考点4函数中信息给予题 例4：符号[x]表示不超出x最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数{x}＝x－[x]．给出以下四个命题： ①函数{x}定义域是R，值域为[0,1]；

③函数{x}是周期函数； ④函数{x}是增函数．其中正确命题序号有()A．①④B．③④C．②③D．②④答案：C【互动探究】

4．(年广东珠海模拟)对于任意实数x，符号[x]表示x整数部分，即[x]是不超出x最大整数，比如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛应用．那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log264]值为()CA．21B．76C．264D．6421．求抽象函数解析式几个惯用方法

(1)换元法：已知f[g(x)]表示式，欲求f(x)，我们常设t＝g(x)，反解求得x＝g－1(t)，然后代入f[g(x)]表示式，从而得到f(t)表达式，即为f(x)表示式．

(2)凑配法：若已知f[g(x)]表示式，欲求f(x)表示式，用换元法有困难时[如g(x)不存在反函数]，可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成式子，再换元求出f(x)式子．

(3)消元法：已知以函数为元方程形式，若能设法结构另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法．

(4)赋值法：在求一些函数表示式或求一些函数值时，有时把已知条件中一些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数表示式．2．分段函数不论是研究性质，还是作图、求值，都是按自变量取值范围和对应关系分段处理．1．在函数f(x)中，符号f表示一个对应关系，能够是解析式，能够是图象，也能够是图表．

2．分段函数是同一个函数，因为在不一样区间上解析关系式不一样，所以轻易忽略自变量取值范围，从而造成错误．考纲要求考纲研读1.结合详细函数，了解函数奇偶性含义．2．会利用函数图象了解和研究函数性质.1.以函数奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值大小、解函数不等式及求参数取值范围是本节考查重点．2．研究函数性质时能够将抽象函数具体化、直观化(利用图象).第3讲函数奇偶性与周期性1．函数奇偶性定义

(1)对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________[或_____________]，则称f(x)为奇函数．奇函数图象关于____对称． (2)对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________[或____________]，则称f(x)为偶函数．偶函数图象关于___轴对称． (3)通常采取图象或定义判断函数奇偶性．含有奇偶性函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数必要条件是其

)．原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0yf(－x)＝f(x)定义域关于原点对称用定义判断函数奇偶性步骤是：应首先求函数定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义深入研究其奇偶性．验证f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x),最终下结论。DA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数)C2．以下函数中，在其定义域内是奇函数是(CA．y轴对称C．坐标原点对称B．直线y＝－x对称D．直线y＝x对称4．设函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则a＝___.0＝___.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即x2－|x＋a|＝(－x)2－|－x＋a|⇒＝.∴a＝0.05．(年安徽)设f(x)是定义在R上奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(A．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选A.)A已知函数f(x)是定义在R上偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，则f(2)=()12

考点1判断函数奇偶性例1：判断以下函数奇偶性：解：(1)函数定义域为x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(2)此函数定义域为{x|x>0}．因为定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)去掉绝对值符号，依据定义判断．

故f(x)定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.故f(x)为奇函数．(4)∵函数f(x)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．故函数f(x)为奇函数．(5)此函数定义域为{－1,1}，且f(x)＝0.可知图象既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．∴f(x)是奇函数．2－x

易错、易混、易漏5．判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出四个函数：①y＝lg

；2＋x②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．其中奇函数是________，偶函数是________．

正解：①②定义域相同，均为(－2,2)，且都有f(－x)＝－f(x)，所以都是奇函数；③定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有f(－x)＝f(x)，所认为偶函数；而④定义域为(2，＋∞)不对称，所以为非奇非偶函数．答案：①②③

【失误与防范】对函数奇偶性定义实质了解不全方面．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)实质是：函数定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性必要条件．

(1)函数奇偶性是函数一个整体性质，定义域含有对称性(即若奇函数或偶函数定义域为D，则x∈D时都有－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数必要条件，所以判断函数奇偶性应首先考虑函数定义域．

(2)分段函数奇偶性普通要分段证实．

(3)用定义判断函数奇偶性步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(－x)＝±f(x)→下结论，还能够利用图象法或定义等【互动探究】域均为R，则()BA．f(x)与g(x)均为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数

B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数1．(广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x定义考点2利用函数奇偶性求函数解析式【互动探究】

3．(年广东广州综合测试)已知函数f(x)是定义在R上偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，则当x>0时，f(x)解析式为_________________.f(x)＝－x3－x2

2．函数周期性定义 对于函数f(x)，假如存在一个__________T，使得定义域内每一个x值，都满足_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数______．非零常数f(x＋T)＝f(x)周期考点3函数奇偶性与周期性综合应用答案：A值方法．关键是经过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间本题主要考查利用函数周期性和奇偶性求函数52[0,1]上进行求值．【互动探究】

5．(年山东)已知f(x)是

R上最小正周期为2周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)图象在区间[0,6]上与x轴交点个数为()BA．6B．7C．8D．9

解析：因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又因为f(x)是R上最小正周期为2周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝0，f(5)＝0.故函数y＝f(x)图象在区间[0,6]上与x轴交点个数为7个，故选B.D A．a<b<c

C．c<b<aB．b<a<cD．c<a<b5．设f(x)是(－∞，＋∞)上奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝_______.解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.－0.5对于函数f(x)定义域中任意x，总存在一个常数T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则T是函数y＝f(x)一个周期．(1)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则T＝2a是它一个周期．(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a是它一个周期．(3)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－

1f(x)(a≠0)，则T＝2a是它一个周期．(4)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝

1f(x)(a≠0)，则T＝2a是它一个周期．1－f(x)1＋f(x)(a≠0)，则T＝2a是它

(5)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝一个周期．(6)若函数y＝f(x)(x∈R)图象关于直线x＝a与x＝b对称，则T＝2|b－a|是它一个周期．(7)若函数y＝f(x)(x∈R)图象关于点(a,0)与x＝b对称，则T＝4|b－a|是它一个周期．

对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，则称f(x)为奇(偶)函数．所以在讨论函数奇偶性时，应首先求函数定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义深入研究其奇偶性．考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数值域．2．了解函数单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数值域或最值；或以最值为载体求参数范围，并能处理实际生活中一些优化问题.第4讲函数单调性与最值1．函数单调性定义

设函数y＝f(x)定义域为A，区间I⊆A，假如对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1<x2

时，都有__________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)______________；假如对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1<x2

时，都有________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)____________．单调增区间f(x1)>f(x2)单调减区间

f(x1)<f(x2)

2．用导数语言来描述函数单调性 设函数y＝f(x)，假如在某区间I上___________，那么f(x)为区间I上增函数；假如在某区间I上____________，那么f(x)为区间I上减函数．f′(x)>0f′(x)<0

3．函数最大(小)值 设函数y＝f(x)定义域为A，假如存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有____________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)最大值；假如存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有___________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A．k>－1．函数y＝x2－6x减区间是()DA．(－∞，2]C．[3，＋∞)B．[2，＋∞)D．(－∞，3]2．函数y＝(2k＋1)x＋b在实数集上是增函数，则()A12B．k<－12C．b>0D．b>03．已知函数f(x)值域是[－2,3]，则函数f(x－2)值域为()DA．[－4,1]C．[－4,1]∪[0,5]

B．[0,5]D．[－2,3]

解析：f(x－2)图象是把f(x)图象向右平移2个单位．所以f(x－2)值域不变．单调减区间是______________．[0，＋∞)5．指数函数y＝(a－1)x

在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a取值范围为________.1<a<24．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)例1：已知函数f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)．考点1利用定义判断函数单调性ax(1)判断函数f(x)奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数a